Ваше доказательство основано на математической индукции,
если ваше утверждение верно для
шагов решета, то достаточно доказать это утверждение для
шагов.
Спасибо! Я подумаю.
А сейчас продолжение.
Обозначим количество чисел в подпоследовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена, не превосходящих число N –
. На основании формулы включений и исключений получаем при
< √N:
= r + N-1 - ∑[N/pi] + ∑[N/pi pj] - ∑[N/pi pj pk] +…+(-1)r[N/p1 p2… pr] (4),
где суммирование ведется по произведению простых делителей числа
.
Например, после первого шага решета Эратосфена для N=30 количество таких чисел равно
, после второго -
. Естественно количество чисел после каждого шага решета Эратосфена убывает. Когда число шагов решета Эратосфена достигнет значения, что
≥ √N, то величина
достигнет своего минимального значения
- количества простых чисел, не превосходящих числа N, и мы получаем известную формулу [3]:
= π(√N) + N-1 - ∑[N/pi] + ∑[N/pi pj] - ∑[N/pi pj pk] +…+(-1)r[N/p1 p2… pr] (5),
где суммирование ведется по произведению простых делителей числа
.
Таким образом, для количества чисел в подпоследовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена, не превосходящих число N выполняется условие:
.≥
(6).
Учитывая формулу (3), мы получаем соотношение:
≤
≤
(7).
Равенства выполняются при k=2 и
≥ √N.
Следовательно, по количеству чисел в подпоследовательности, не превосходящих числа N, простые числа действительно занимают пограничное значение между рассматриваемыми подпоследовательностями.
Однако для сходимости треугольника Гильбрайта важно не только количество чисел в подпоследовательности, не превосходящих заданного числа, но и плотность их распределения в подпоследовательности. Действительно, в этом случае, как говорится, возможен вариант - в одном месте густо, а в другом - пусто. Поэтому для сходимости треугольника Гильбрайта важно, чтобы расстояние между членами подпоследовательности не превосходило бы расстояние между последовательными простыми числами.
Подпоследовательность чисел в решете Эратосфена имеет расстояние между числами, не превосходящее расстояние между последовательными простыми числами. Например, при r=3 между простыми числами 47 и 53 находится составное число 49. Как было показано в теореме 4, что треугольник Гильбрайта, в основании которого находится данная подпоследовательность, сходится.
С другой стороны, подпоследовательность простых чисел в арифметической прогрессии при k>2 имеет расстояние между числами, превосходящее расстояние между последовательными простыми числами. Например, в арифметической прогрессии 4t+3 пропущены простые числа 5,13,17 и.т.д. В теореме 1 было показано, что треугольник Гильбрайта, в основании которого находится данная подпоследовательность, расходится.
Таким образом, в работе показано, что последовательность простых чисел в основании треугольника Гильбрайта является пограничной, в смысле сходимости треугольника Гильбрайта.
Буду благодарен за замечания и предложения.