Частная производная функции, имеющей точки разрыва 1го рода

[maiklb2012]

Чему равняется частная производная $\frac{\partial}{\partial{x}} (f(x)x)$, если $f(x)$ имеет точки разрыва первого рода?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Munin]

Поскольку выражение $f(x)\cdot x$ не содержит никаких других независимых переменных, кроме $x,$ то, видимо, тому же, чему и обычная производная.

[maiklb2012]

То есть, продифференцировать $f(x)x$ по $f(x)$ нельзя?

[Vince Diesel]

Есть общая формула для функций, которые кусочно из $C^1$:

$$g'(x)=\{g'(x)\}+\sum_i[g]_{x_i}\delta(x-x_i). $$

Здесь производная понимается в обощенном смысле, фигурные скобки означают регулярную часть производной, квадратные - величину скачка $g(x_i+0)-g(x_i-0)$ функции в точках разрыва $x_i$.

[Munin]

Когда пишут $f(x)x,$ то считается (это просто соглашение, и вряд ли где-то явно озвученное), что всё это - функция одной независимой переменной $x.$

Если хочется рассмотреть функцию двух переменных $(f,x),$ то говорят иначе: что есть выражение $f\cdot x,$ и при этом дополнительно наложено условие (или выполняется уравнение) $f=f(x).$ Разумеется, в таком случае у нас есть плоскость $(f,x),$ на которой $f=f(x)$ изображается линией, и от выражения $f\cdot x$ можно взять все три производные: $\tfrac{\partial}{\partial f},$ $\tfrac{\partial}{\partial x},$ $\tfrac{d}{dx}$ - и все они будут разные. Они будут соответствовать на плоскости направлениям вдоль одной оси, вдоль другой оси, и вдоль линии $f=f(x).$

Но, повторяю, обычно всего этого не подразумевают, а когда надо подразумевать - оговаривают явно, как я сказал (со словами про две переменные и дополнительное связывающее их условие).

[maiklb2012]

Если рассмотреть функцию двух переменных $f \cdot x$, причем выполняется уравнение $f = f(x)$, чему равняется $\frac{\partial}{\partial{x}}$ от этой функции?

[Munin]

Когда вычисляется частная производная, уравнение $f=f(x)$ не выполняется, так что производная от $f\cdot x$ равна просто $f.$