Задача по матанализу

[Alvarg]

Длю любой интегрируемой функции $f($x) x\in [$a,$b]
верно ли что найдется такая последовательность непрерывных функций, что
\forall $x\in[$a,$b] \lim $f_n($x) = $f(x)
вот такая вот задача
например для функции которая при целых x равна 1, а иначе 0: $f_n($x)=(\cos(2\pi$x))^n

а если $f($x) имеет конечное число точек разрыва, то можем поступить следующим образом:
для какого-то разбиения \lambda_\tau имеем значение верхней интегральной суммы $S_\tau. И зададим функцию $f_n($x) следующим образом: соединим середины отрезков разбиения, в каждой точке равные своей $S_\tau получим непрерывную функцию. И при $n\to\infty пусть \lambda_\tau\to 0

но что делать если число точек разрыва не конечно? Например функция Римана($0$ в иррациональных $1/n$ в $x=m/n$)?

[мат-ламер]

Может сходимость подразумевается не во всех точках, а почти всюду?

[Alvarg]

мат-ламер
во всех

[мат-ламер]

А аргументация, связанная с мощностью множеств тут не срабатывает ( для доказательства того, что "не верно")?

[Alvarg]

мат-ламер в сообщении #577699 писал(а):

А аргументация, связанная с мощностью множеств тут не срабатывает?

Можно подробнее? Еще известно, что для функции Римана такая последовательность все-таки существует

[мат-ламер]

Alvarg в сообщении #577702 писал(а):

Можно подробнее?

Чему равна мощность всех интегрируемых функций? Я не знаю. А мощность пределов всех непрерывных функций? Тут вроде очевидно. Сами детали продумайте. И потом, может я ошибаюсь?

[Alvarg]

т.е. если мощность множества интегрируемых функций больше мощности пределов всех последователностей непрерывных функций, то получаем что не верно?

и что все-таки с функцией Римана?

[mihailm]

Ответ нет, но это не совсем простая задача,
почитайте что-нить про классы Бэра
Пример такой
нуль вне канторового мно-ва, и на концах дополнительных интервалов, в остальных 1

-- Пн май 28, 2012 20:24:12 --

Функцию Римана можно

[Alvarg]

mihailm, спасибо
про классы бэра читал.
Знаю что функцию Римана можно, а как?

[mihailm]

Там точек разрыва счетное множество

(Оффтоп)

Мне вот интересно что это за матан такой крутой?

[Alvarg]

Всем спасибо, буду думать) если у кого еще какие мысли есть, буду рад услышать.
О своих результатах чуть позже думаю отпишу

(Оффтоп)

Цитата:

Мне вот интересно что это за матан такой крутой?

такой вот матан, преподаватель дал задачу на "подумать"))

[AKM]

Alvarg,

я процитирую некоторые формулы из Вашего первого сообщения:

[math]$f($x) x\in [$a,$b][/math]
[math]\forall $x\in[$a,$b] \lim $f_n($x) = $f(x)[/math]
[math]$f_n($x)=(\cos(2\pi$x))^n[/math]
[math]$f($x)[/math]
[math]$f_n($x)[/math]

Я оставил и тэги, которые, судя по всему, вы вставляли вручную (хотя, например, здесь явно призывают этого не делать. Я совершенно не могу понять Вашу логику расстановки долларов.

Вот, например, Вы пишете
[math]\forall $x\in[$a,$b] \lim $f_n($x) = $f(x)[/math]
вместо простого и правильного
$ \forall x\in [a,b] \quad \lim f_n(x) = f(x)$
(ну да, я добавил пробел \quad) или
$ \forall x\in [a,b]$   $\lim f_n(x) = f(x)$ (одна $формула в долларах$, вторая $формула в долларах$)

Я буду очень признателен, если Вы дадите себе труд рассказать ---
из каких соображений Вы наставили этих странных долларов?
чего не хватает в наших руководствах, многочисленных инструкциях? что непонятно, что помешало Вам написать нормально=просто:
открывающий_доллар вся_формула_целиком закрывающий_доллар ?

Спасибо.

[Alvarg]

AKM
неправильно понял FAQ, прочитал поверхностно. Понял свою ошибку, далее буду оформлять правильно.

[Alvarg]

mihailm в сообщении #577737 писал(а):

Там точек разрыва счетное множество

Счетное, но не конечное...и как в этом случае поступать? какой пример последовательности непрерывных функций? или хотя бы алгоритм построения такой в этом случае.

[mihailm]

Alvarg в сообщении #583183 писал(а):

mihailm в сообщении #577737 писал(а):

Там точек разрыва счетное множество

Счетное, но не конечное...и как в этом случае поступать? какой пример последовательности непрерывных функций? или хотя бы алгоритм построения такой в этом случае.

Вроде это есть в Натансоне ТФВП, посмотрите там