Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582440 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #582349 писал(а):

Я об этом писал:

Вы странно называете аксиому выделения. Под названием "аксиома подмножеств" я её не узнал. Я подумал, что речь идёт об аксиоме степени. Кстати, заодно нет и аксиомы подстановки.

Также сильно подозреваю, что нет и аксиомы объединения.

Вообще, какие-то непонятные у Вас идеи. Зачем это?

Я верю в объективную истинность или ложность арифметических утверждений.
В теории множеств истинность утверждений зависит от принятых аксиом.
Поэтому, нельзя сказать, что доказанные математические утверждения,
например, парадокс Банаха-Тарского, являются истиной.
Мои идеи являются неудачной попыткой свести математические утверждения к арифметическим.
Особенно неудачно название темы, потому что неразрешимые множества, конечно, существуют.

-- Сб июн 09, 2012 06:16:50 --

Профессор Снэйп в сообщении #582474 писал(а):

Да идеи, вообще говоря, не новые, и не его. Роджерс, \S 11.4

Не читал.

[Профессор Снэйп]

Феликс Шмидель в сообщении #582483 писал(а):

Не читал.

Ну так почитайте!

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582483 писал(а):

Я верю в объективную истинность или ложность арифметических утверждений.
В теории множеств истинность утверждений зависит от принятых аксиом.

Не истинность, а доказуемость (выводимость). Доказуемость зависит от принятых аксиом как в теории множеств, так и в арифметике.
Что касается истинности, то она зависит от модели. Как в теории множеств, так и в арифметике. Это так же хорошо известно, причём, известны конкретные арифметические утверждения, истинные в одних моделях и ложные в других (например, теорема Гудстейна).

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582557 писал(а):

Что касается истинности, то она зависит от модели. Как в теории множеств, так и в арифметике. Это так же хорошо известно, причём, известны конкретные арифметические утверждения, истинные в одних моделях и ложные в других (например, теорема Гудстейна).

Возьмём некоторое диофантово уравнение и утверждение, что оно не имеет решений в натуральных числах. Например, существует конкретное диофантово уравнение, которое не имеет решений тогда и только тогда когда Геделево предложение $G$ истинно. Предложение $G$ независимо от аксиом Пеано, поэтому существует модель $M$, в которой оно ложно. Однако, на самом деле, $G$ истинно, и соответствующее диофантово уравнение не имеет решений в натуральных чисел. А то, что в модели $M$, предложение $G$ ложно говорит о том, что $M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):

$M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.

А что такое "натуральный ряд"?

Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):

Однако, на самом деле, $G$ истинно

Что значит "на самом деле"? Это "истинно" относится к вполне определённой интерпретации натуральных чисел, и $G$ легко может оказаться не истинным при другой интерпретации.

Арифметическое утверждение, о котором идёт речь - это просто утверждение о натуральных числах. Оно, в частности, само по себе не означает никакой доказуемости или недоказуемости чего-либо. Оно связывается с доказуемостью через метатеорию, и без метатеории мы его с доказуемостью связать не можем. Сама теорема Гёделя - это теорема метатеории, а не арифметики.

[Профессор Снэйп]

Someone в сообщении #582623 писал(а):

Сама теорема Гёделя - это теорема метатеории, а не арифметики.

Я бы выразился точнее: это теорема арифметики, которая в связи с наличием гёделевской нумерации формул арифметики имеет метаарифметическую интерпритацию.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582623 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #582593 писал(а):

$M$ не представляет натуральный ряд, несмотря на то что в $M$ выполняются аксиомы Пеано.

А что такое "натуральный ряд"?

Нестандартная модель арифметики Пеано не представляет натуральный ряд по той причине, что в ней существует число, которое больше бесконечного колличества других чисел этой модели.
Чтобы понять это, вовсе не обязательно определять, что такое "натуральный ряд".

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582654 писал(а):

Нестандартная модель арифметики Пеано не представляет натуральный ряд по той причине, что в ней существует число, которое больше бесконечного колличества других чисел этой модели.

Это опять же метаутверждение. Откуда Вы знаете, что такое число есть, если в Вашем распоряжении нет никакой конкретной модели, а Вы просто имеете систему аксиом? Когда Вы думаете о некоей "стандартной" модели, Вы ведь её не имеете фактически, Вы только верите, что она есть. Вдруг та модель, с которой Вы работаете фактически, нестандартная? Отличить стандартную модель от нестандартной, располагая только интерпретацией системы аксиом Пеано, нельзя.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582658 писал(а):

Когда Вы думаете о некоей "стандартной" модели, Вы ведь её не имеете фактически, Вы только верите, что она есть. Вдруг та модель, с которой Вы работаете фактически, нестандартная? Отличить стандартную модель от нестандартной, располагая только интерпретацией системы аксиом Пеано, нельзя.

Когда я работаю с натуральным рядом 1, 2, 3, ... я вовсе не думаю о модели аксиом Пеано на языке логики первого порядка.
Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.
Это утверждение можно доказать исходя и из другой системы аксиом.
А если взять систему аксиом в которой это утверждение ложно, то эти аксиомы определяют не натуральные числа, а другие (например, рациональные).

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):

Когда я работаю с натуральным рядом 1, 2, 3, ... я вовсе не думаю о модели аксиом Пеано на языке логики первого порядка.

Тогда разговор о "стандартной" или "нестандартной" модели становится бессмысленным.

Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):

Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.

Это верно для любых диофантовых уравнений?

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582760 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #582674 писал(а):

Истинность утверждения, что уравнение $2x=5$ не имеет решений в натуральных числах не зависит от аксиом Пеано.

Это верно для любых диофантовых уравнений?

Да, конечно, хотя аксиомы Пеано можно использовать для доказательства истинности арифметических утверждений.
Например, истинность утверждения Гёделя $G$ следует из истинности аксиом Пеано, несмотря на то, что формально $G$ не следует из аксиом Пеано.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582814 писал(а):

истинность утверждения Гёделя $G$ следует из истинности аксиом Пеано, несмотря на то, что формально $G$ не следует из аксиом Пеано

Сами же пишете, что $G$ в некоторых моделях может быть ложным. А формальная теория "не знает", какую модель Вы имеете в виду, когда говорите о натуральных числах. Поэтому истинность $G$ никак не может следовать из аксиом.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582860 писал(а):

Сами же пишете, что $G$ в некоторых моделях может быть ложным. А формальная теория "не знает", какую модель Вы имеете в виду, когда говорите о натуральных числах. Поэтому истинность $G$ никак не может следовать из аксиом.

Может, если рассуждать неформально. Утверждение $G$ может быть ложно, но в этом случае ни о каких моделях аксиом Пеано не может быть и речи, их просто не существует.

[Someone]

Феликс Шмидель в сообщении #582867 писал(а):

Может, если рассуждать неформально.

Извините, но для меня, как математика, рассуждения, которые не могут быть формализованы, ничего не значат.

[Феликс Шмидель]

Someone в сообщении #582871 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #582867 писал(а):

Может, если рассуждать неформально.

Извините, но для меня, как математика, рассуждения, которые не могут быть формализованы, ничего не значат.

Эти рассуждения могут быть формализованы. Примем за аксиому утверждение о непротиворечивости аксиом Пеано. Тогда утверждение $G$ можно доказать формально.