нам примерно так и объясняли, говоря, что в механических системах, в которых возникает резонанс, ведущий к разрушению системы, исследование этой задачи приводило к уравнению

. Мы принимали на веру)))
Неправильно объясняли. С резонансами это не связано (разве что косвенно). В произвольной
свободной колебательной системе с затуханием

существуют разные типы поведения (отклик на начальные условия, или на воздействие типа

-функции) в зависимости от типа решения
характеристического уравнения этой системы

При двух действительных корнях


- отклик складывается из двух затухающих экспонент.
При двух совпадающих корнях


- отклик может рассматриваться как предельный случай двух затухающих экспонент.
При двух комплексных корнях


- отклик представляет собой бесконечные затухающие колебания.
Эти решения находятся и описываются единообразно (не считая кратного корня), если использовать комплексные числа. Если не использовать комплексные числа, пришлось бы отдельно решать две задачи как разные и несвязанные между собой.
Резонанс - совсем другая задача, в которой такая же система совершает не свободные, а
вынужденные колебания, на некоторой заданной частоте:

И в этом случае резонанс всегда существует, когда

а перечисленные выше случаи различаются между собой только количественно.