Задача для демонстрации полезности комплексных чисел

[Diom]

Нужно придумать по возможности максимально простой и наглядный алгебраический пример (желательно сводящийся к какой ни будь прикладной бытовой задачке), который можно было бы решить двумя способами: не выходя за рамки поля действительных чисел и используя комплексные числа.
При этом вторым способом решение получалось бы максимально просто и элегантно.
Может вам попадались подобные примеры или есть какие-то мысли на сей счет?
Самая общая идея мне представляется это следующим образом (извиняюсь за такую абстрактность): взять полином, скажем, второй степени не имеющий решение в поле действительных чисел и, манипулируя им, прийти к решению некоторой задачи. И второй способ – найти корни полинома и через них получить решение задачи значительно более простым способом.

[Александрович]

Подключение паяльника напряжением 42 В к цепи переменного тока 220 В через конденсатор.

[Diom]

Возможно я не до конца уловил мысль, но вообще здесь уже не алгебраический пример получится. Здесь уже теория ДУ используется.

[Александрович]

Нет. Сумма активных и реактивных сопротивлений.

[ewert]

Александрович в сообщении #546303 писал(а):

Нет. Сумма активных и реактивных сопротивлений.

А они из дифуров (правда, собственно теории дифуров и не требуют).

Вообще-то мне вопрос кажется несколько странным.

[Diom]

Цитата:

Вообще-то мне вопрос кажется несколько странным.

Я понимаю, что он звучит не достаточно определенно, особенно для людей занимающихся математикой. Но смысл таков - необходимо наглядно продемонстрировать людям не обладающим достаточной математической подготовкой, что комплексные числа это просто такая удобная абстракция без которой, в общем-то, можно обойтись, но это приведет к усложнению теорий. Так сказать, "на пальцах" мотивировать введение комплексных чисел.
Просто показать двучлен типа: $x^2+1=0$ и сказать, что для того чтобы он имел решение необходимо расширить поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мотивация, сами понимаете, не самая хорошая (для не математика). Для этого необходимо как-то показать, что такая задача вообще имеет право на существование (с практической, а не математической точки зрения). Тут хорошо бы использовать теорию линейных диффуров, но этот подход исключается - не достаточная подготовка.

[Padawan]

Формула Муавра и вывод из неё формулы синуса и косинуса кратных углов.

[alex87is]

Есть одна задачка, но она правда геометрическая немного)
но очень простая и прикольная) Рисуются три квадрата со стороной = 1, каждый
ППП
допустим это квадраты)
проводятся диогонали от нижнего левого угла первого квадрата в верниий правый первого
вторая от нижнего левого(та же точка) в верхний правый второго, и третья от нижнего левого в самый крайний правый
нужно подсчитать что сумма углов образуемых этими диоганалями с нижней стороной квадрата = 90
45 получаем автоматом, остальное получить сложнее. Решается минимум тремя способами - дополнительным построением еще пару квадратов и дальше легкая планеметрия. Второй - какое-то особое дополнительное построение и через подобие треугольников. 3 - переводом координат в комплексные числа и там две строчки.
ЗЫ - синусы косинусы - запрещены)
если инетерсно, и не разобрались - могу рассказать и нарисовать)

[Oleg Zubelevich]

Diom в сообщении #546279 писал(а):

Нужно придумать по возможности максимально простой и наглядный алгебраический пример

найти остаток от деления каког-нибудь многочлена высокой степени на $x^2+1$

[мат-ламер]

По этой ссылке http://eek.diary.ru/p58347080.htm ближе к концу есть книги для школьников.

[AKM]

alex87is в сообщении #546471 писал(а):

проводятся диогонали

alex87is,

диАгональ, диАпазон. И даже диАрея (здесь проверочное слово --- пАнос...

[g______d]

А решение кубического уравнения нельзя считать таким примером? Как я понимаю, так и появились комплексные числа. Чтобы формула Кардано давала 3 решения, надо учитывать комплексные значения кубического корня. Даже в случае, когда все 3 решения вещественные --- мнимая часть потом сократится в процессе вычислений.

Т. е. я понимаю, что можно найти один, потом разделить многочлен на линейный. Но это как-то не симметрично.

[Александрович]

g______d в сообщении #546714 писал(а):

А решение кубического уравнения нельзя считать таким примером? Как я понимаю, так и появились комплексные числа.

А я понимаю что они "выпозли" после решения квадратного уравнения.

[ewert]

Александрович в сообщении #546758 писал(а):

А я понимаю что они "выпозли" после решения квадратного уравнения.

Это сейчас. А исторически, судя по всему, действительно из кубических (как ни странно). Видимо, потому, что для квадратных уравнений комплексные корни банальны и непонятно, зачем нужны (до 16-го века ещё не было приложений, где они могли бы оказаться полезными). А для кубических они позволяли получить действительно нетривиальные результаты.

-- Сб мар 10, 2012 11:12:51 --

g______d в сообщении #546714 писал(а):

А решение кубического уравнения нельзя считать таким примером?

В данном случае нельзя -- слишком сложно.

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #546493 писал(а):

найти остаток от деления каког-нибудь многочлена высокой степени на $x^2+1$

Здесь комплексные числа по существу не нужны, это скорее иллюстрация техники сравнений в кольце многочленов. Роль равенства $i^2=-1$ успешно исполняет сравнение $x^2 \equiv -1 \pmod{x^2+1}$.