Задача для демонстрации полезности комплексных чисел

[ewert]

Комплексные числа -- проще и, главное, употребительнее, чем кольца многочленов.

[nnosipov]

ewert в сообщении #546790 писал(а):

Комплексные числа -- проще и, главное, употребительнее, чем кольца многочленов.

Это спорно. "Проще" --- это, скорее, вопрос привычки. Как мне кажется, в примере, который жаждет ТС, нужно как-то обыгрывать алгебраическую замкнутость комплексных чисел, ведь у других чисел её нет. Но это опять сложно получится. (А пример с кубическим уравнением мне кажется правильным. Одна беда: где в быту им применения найти, да и человеку с улицы как объяснить формулу Кардано.)

[ewert]

nnosipov в сообщении #546799 писал(а):

нужно как-то обыгрывать алгебраическую замкнутость комплексных чисел, ведь у других чисел её нет. Но это опять сложно получится

nnosipov в сообщении #546799 писал(а):

да и человеку с улицы как объяснить формулу Кардано

Вот именно.
Вот именно.

Судя по всему, вопрос был в том, чем мотивировать учащихся в начале изучения комплексных чисел. Формула Кардано для этого совершенно не годится. Абстрактная алгебра -- тем более: если про кубические уравнения они хоть что-то знают, то про алгебру -- ничего совершенно.

Я обычно привожу в качестве примера колебательный контур с затуханием (уж про хоть какой-нибудь контур они хоть что-нибудь да слышали). И говорю, что описание процессов в нём сводится к решению такого-то вот квадратного уравнения (если они и об этом что-то слышали -- хорошо, если нет -- могут принять на веру). После чего произношу примерно такие слова: "Если у этого уравнения есть вещественные корни -- ладно; ну а если нет? -- схема-то ведь от этого никуда не исчезнет".

Ничего лучшего мне в голову как-то не приходило.

[theambient]

у Фейнмана в третьем томе (Волны) очень хорошо продемонстрированна полезность комплексных чисел при вычислении сложении гармонических волн (дифракция/интерферения).

Глава 29. Математическое описание интерференции
Глава 30. Результирующее поле n одинаковых осцилляторов

можно найти тут
http://all-fizika.com/article/index.php?id_article=264
http://all-fizika.com/article/index.php?id_article=265

Когда нужно что-то просто, надо бежать к физикам =)

[romka_pomka]

Padawan в сообщении #546428 писал(а):

Формула Муавра и вывод из неё формулы синуса и косинуса кратных углов.

и всякие страшные тригонометрические формулы которые "мозга не хватит запоминать" и "непонятно" как выводить, типа:

$e ^{i\alpha} + e ^{i\beta} = e ^{i\frac {\alpha + \beta} 2}e ^{i\frac {\alpha - \beta} 2} + e ^{i\frac {\alpha + \beta} 2}e ^{-i\frac {\alpha - \beta} 2} = 2e ^{i\frac {\alpha + \beta} 2}\cos(\frac {\alpha - \beta} 2) \Rightarrow$ \begin{cases} \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos(\frac {\alpha + \beta} 2)\cos(\frac {\alpha - \beta} 2)\\ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\frac {\alpha + \beta} 2)\cos(\frac {\alpha - \beta} 2) \end{cases}

[AlexValk]

Качественный пример.
Возьмем школьную тему "сумма бесконечной геомерической прогрессии", и рассмотрим формулу
$1-x^2+x^4+\dots+(-1)^n x^{2n}+\dots=\frac{1}{1+x^2}$.
В школе говорится про ограничение $|x^2|<1\Leftrightarrow |x|<1$. Это условие интуитивно понятно, если смотреть на левую часть формулы суммы прогрессии - при $|x|\geqslant 1$ члены в левой части перестают убывать по абсолютной величине. Однако, если смотреть на правую часть, оставаясь в действительной области, то возникновение границы $|x|=1$ совершенно непонятно - ведь никаких проблем при $x=\pm 1$ функция $\frac{1}{1+x^2}$ не имеет, и эти значения для нее ничем не замечательны!
Однако если перейти в комплексную область, то концы с концами сходятся - правая часть имеет особенность при $x=\pm i$, для которых $|x|=1$, что делает естественным возникновение ограничения $|x|<1$.

[Leu]

ewert в сообщении #546805 писал(а):

Я обычно привожу в качестве примера колебательный контур с затуханием (уж про хоть какой-нибудь контур они хоть что-нибудь да слышали). И говорю, что описание процессов в нём сводится к решению такого-то вот квадратного уравнения (если они и об этом что-то слышали -- хорошо, если нет -- могут принять на веру). После чего произношу примерно такие слова: "Если у этого уравнения есть вещественные корни -- ладно; ну а если нет? -- схема-то ведь от этого никуда не исчезнет".
Ничего лучшего мне в голову как-то не приходило.

нам примерно так и объясняли, говоря, что в механических системах, в которых возникает резонанс, ведущий к разрушению системы, исследование этой задачи приводило к уравнению $\omega^2+1=0$. Мы принимали на веру)))

[theambient]

(Оффтоп)

а что означают комплексные резонансы?

[Leu]

theambient в сообщении #579903 писал(а):

а что означают комплексные резонансы?

резонансы не комплексные) это физическое явление, возникающее на определённых частотах

[Munin]

Leu в сообщении #579682 писал(а):

нам примерно так и объясняли, говоря, что в механических системах, в которых возникает резонанс, ведущий к разрушению системы, исследование этой задачи приводило к уравнению $\omega^2+1=0$. Мы принимали на веру)))

Неправильно объясняли. С резонансами это не связано (разве что косвенно). В произвольной свободной колебательной системе с затуханием $\ddot{x}+\chi\dot{x}+kx=0$ существуют разные типы поведения (отклик на начальные условия, или на воздействие типа $\delta$-функции) в зависимости от типа решения характеристического уравнения этой системы $\lambda^2+\chi\lambda+k=0.$

При двух действительных корнях $\lambda_{1,2}=-1/\tau_{1,2}$
$x=A\exp(-t/\tau_1)+B\exp(-t/\tau_2)$ - отклик складывается из двух затухающих экспонент.

При двух совпадающих корнях $\lambda_{1,2}=-1/\tau$
$x=A\exp(-t/\tau)+Bt\exp(-t/\tau)$ - отклик может рассматриваться как предельный случай двух затухающих экспонент.

При двух комплексных корнях $\lambda_{1,2}=-1/\tau\pm i\omega$
$x=A\exp(-t/\tau)\cos\omega t+B\exp(-t/\tau)\sin\omega t$ - отклик представляет собой бесконечные затухающие колебания.

Эти решения находятся и описываются единообразно (не считая кратного корня), если использовать комплексные числа. Если не использовать комплексные числа, пришлось бы отдельно решать две задачи как разные и несвязанные между собой.

Резонанс - совсем другая задача, в которой такая же система совершает не свободные, а вынужденные колебания, на некоторой заданной частоте: $\ddot{x}+\chi\dot{x}+kx=\cos\omega_0t.$ И в этом случае резонанс всегда существует, когда $\omega_0^2=k,$ а перечисленные выше случаи различаются между собой только количественно.

[ewert]

Munin в сообщении #581896 писал(а):

$\ddot{x}+\chi\dot{x}+kx=\cos\omega_0t.$ И в этом случае резонанс всегда существует, когда $\omega_0^2=k,$

Конечно, понимать под резонансной частотой можно разные вещи, но только не эту. Можно считать, что это частота, совпадающая с частотой свободных (затухающих) колебаний, и тогда это $\omega_0=\sqrt{k-\frac{\chi^2}4}$. А можно считать, что это частота, отвечающая максимальной амплитуде отклика, тогда это $\omega_0=\sqrt{k-\frac{\chi^2}2}$. Или считать, что резонанса вообще нет, если понимать этот термин в математическом смысле, а не в физическом. Но в любом случае не $\omega_0=\sqrt{k}$.

Т.е. это тоже, конечно, интересная точка -- именно в ней расхождение по фазе составляет ровно 90 градусов. Но называть резонансной именно её как-то гкхм.

[Munin]

Да, это обрывок промежуточных выкладок просочился, спасибо за пояснение и дополнение. Главное, что резонанс существует. И $\omega_0\sim\sqrt{k},$ в общем-то. Остальное-то без ляпов?

-- 08.06.2012 10:38:30 --

ewert в сообщении #582139 писал(а):

Можно считать, что это частота, совпадающая с частотой свободных (затухающих) колебаний, и тогда это $\omega_0=\sqrt{k-\frac{\chi^2}4}$. А можно считать, что это частота, отвечающая максимальной амплитуде отклика, тогда это $\omega_0=\sqrt{k-\frac{\chi^2}2}$.

Вот, кстати, интересно, а как на пальцах понять, что они разные? Допустим, мы плавно снижаем амплитуду вынуждающего колебания до нуля...

(Оффтоп)

ewert в сообщении #582139 писал(а):

Или считать, что резонанса вообще нет, если понимать этот термин в математическом смысле, а не в физическом.

А это что вообще такое? Мне математического смысла этого термина никогда в жизни не попадалось.

-- 08.06.2012 10:43:41 --

Munin в сообщении #582144 писал(а):

Главное, что резонанс существует.

Ни черта. И тут лажанул. Если $k-\tfrac{\chi^2}{4}>0,$ это ещё не значит, что $k-\tfrac{\chi^2}{2}>0.$

[Профессор Снэйп]

Есть какая-то красивая задача, где то ли прямоугольник режут на мелкие прямоугольники, то ли ещё что-то там с ними делают. Очень красиво и элегантно решается, если вспомнить про комплексные числа и считать интегралы по контурам. Может, кто-нибудь помнит точную формулировку задачи?

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #582245 писал(а):

Может, кто-нибудь помнит точную формулировку задачи?

Не эта?

Назовем прямоугольник полуцелым, если длина одной из его сторон выражается целым числом. Докажите, что если прямоугольник можно разрезать на полуцелые прямоугольники, то он сам --- полуцелый.

[Профессор Снэйп]

Может быть и эта. Смотрю на эту задачу и понимаю, что забыл, что там надо интегрировать.