Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Сначала рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится последовательность простых чисел в арифметической прогрессии $kt+3$ (1), где $(k,3)=1$.

Теорема.1. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность простых чисел в арифметической прогрессии kt+3 (1), где (k,3)=1, а (t=0, 1, 2…), расходится, если φ(k)>1, где φ(k) – значение функции Эйлера.
Доказательство.
Если φ(k)>1, то k>2. Учитывая, что (k,3)=1, то минимальным значением, удовлетворяющим данному условию для (1), будет k=4 для арифметической прогрессия 4t+3.
В этом случае треугольник Гильбрайта имеет вид, представленный на рис.1.
3 7 11 17 23……
4 4 6 6……
0 2 0……
Рис.1 Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность простых чисел в арифметической прогрессии 4t+1
Данный треугольник Гильбрайта расходится из-за «4» в первой строке, которая выделена жирным шрифтом. Тем более будут расходиться треугольники, в основании которых будут простые числа в подпоследовательностях: 5t+3, 7t+3 и.т.д. ч.т.д.
Обратим внимание, что подпоследовательность нечетных простых чисел полностью содержится в арифметической прогрессии 2t+3, которая имеет значение φ(k=2)=1.
Обозначим π(k,x) число простых чисел в арифметической прогрессии (1), не превосходящих число x. Тогда на основании теоремы 341 (Бухштаб):
π(k,x)~ π(x)/φ(k) (2),
где π(x)-количество простых чисел, не превосходящих числа x.
Из (2) следует, что при выполнении условий теоремы 1:
π(k,x)<π(x) (3).
Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

При $k=4$ в прогрессии $4t+3$ должно быть число $19.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581034 писал(а):

При $k=4$ в прогрессии $4t+3$ должно быть число $19.$

Спасибо!
Действительно, данный треугольник имеет вид:
3 7 11 19 23……
4 4 8 4……
0 4 4……
Но он все равно расходится по указанной выше причине.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #580799 писал(а):

Рис.1 Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность простых чисел в арифметической прогрессии 4t+1

Но в теореме 1 указана последовательность $4t+3.$

[vicvolf]

Продолжение.
Теперь рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена.
Напомним, что приведенной системой вычетов по модулю M (ПСВ$_M$) называется система чисел, взятых по одному из каждого класса, взаимно простых с модулем (Бухштаб).
ПСВ$_M$ обладает следующим свойством. Если число a принадлежит ПСВ$_M$, то число M-a также принадлежит ПСВ$_M$. Например, числа: 1, 5, 7, 11 принадлежат ПСВ$_{12}$. Для них выполняется: 1+11=5+7=12.
Теорема 2. Разности, рядом находящихся чисел в ПСВ$_M$, расположены симметрично относительно значения 0,5M.
Доказательство.
Пусть числа a1 и b1, рядом находящиеся числа в ПСВ$_M$. Тогда на основании указанного свойства ПСВ$_M$числа a2=M-a1 и b2=M-b1, расположенные симметрично относительно значения 0,5M, также принадлежат ПСВ$_M$. Разность b2-a2= (M-b1)-( M-a1)= a1- b1. Следовательно, разности в ПСВ$_M$, расположены симметрично относительно значения 0,5M.
Теорема 3. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.
Доказательство
На основании теоремы 2 в первой строке треугольника Гильбрайта разности расположены симметрично относительно значения 0,5М.. Во второй строке треугольника Гильбрайта находятся модули разностей элементов первой строки, поэтому они расположены также симметрично относительно середины строки. Аналогично симметрично относительно середины строк, на основании вышесказанного, будут расположены элементы других строк. В предпоследней строке с номером φ(M)-1 будет только два равных (симметричных) элемента. Поэтому в последней φ(M) строке будет находиться 0. Если одинаковые элементы будут находиться раньше предпоследней строки, то в следующей строке уже будут находиться одни нули ч.т.д.
В качестве примера на рис.2 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{30}$.
1 7 11 13 17 19 23 29
6 4 2 4 2 4 6
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
Рис.2 Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{30}$

Буду благодарен за замечания и предложения.

-- 05.06.2012, 17:26 --

vorvalm в сообщении #581170 писал(а):

vicvolf в сообщении #580799 писал(а):

Рис.1 Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность простых чисел в арифметической прогрессии 4t+1

Но в теореме 1 указана последовательность $4t+3.$

Большое спасибо! У меня описка в подписи к рисунку.

[vorvalm]

Доказательство вашей теоремы 2 (скорее всего леммы) не совсем корректно.
В доказательстве вы используете свойство вычетов ПСВ, которое само по себе
требует доказательства. Численный пример не является доказательством.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581184 писал(а):

В доказательстве вы используете свойство вычетов ПСВ, которое само по себе требует доказательства.

Спасибо! В теореме 2 я доказываю свойство разностей вычетов ПСВ, а не свойства ПСВ. Считается, что все свойства ПСВ уже известны и не надо проводить доказательство на основании только определения ПСВ. Кстати, Вы в теме о близнецах, тоже приводите это свойство без доказательства.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #581222 писал(а):

Считается, что все свойства ПСВ уже известны и не надо проводить доказательство на основании только определения ПСВ. Кстати, Вы в теме о близнецах, тоже приводите это свойство без доказательства.

Довольно смелое утверждение. Например, мы не знаем, чему равна максимальная разность
между вычетами ПСВ.
Да, я не стал доказывать того, что $(M-a_n)-(M-a_m)= a_m-a_n.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581253 писал(а):

Довольно смелое утверждение. Например, мы не знаем, чему равна максимальная разность между вычетами ПСВ.

Согласен.

Цитата:

Да, я не стал доказывать того, что $(M-a_n)-(M-a_m)= a_m-a_n.$

Наверно не стоит

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #581172 писал(а):

Теорема 3. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ(М) содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.

Это относится только к ПСВ(30).

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581412 писал(а):

vicvolf в сообщении #581172 писал(а):

Теорема 3. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ(М) содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.

Это относится только к ПСВ(30).

Нет доказано для любого модуля. Я проверял на ПСВ(60) и на ПСВ(210). Правда эта строка для больших модулей лежит ниже.

[vorvalm]

Дла модулей кратных $M=30$ это понятно.
А для $M>30$ можете указать № строчки, где все $0.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581518 писал(а):

А для $M>30$ можете указать № строчки, где все $0.$

Для M=210 c 43 строки.

-- 06.06.2012, 16:28 --

Продожение.
В последнем примере мы рассмотрели ПСВ по модулю 30=2*3*5, т.е модуль равный произведению последовательных простых чисел. Обозначим такой модуль – m, т.е $m=2*3*5*…* p_r$ , где $p_r$ – простое число с номером r.
Теперь рассмотрим подпоследовательность натуральных чисел, состоящую из n ПСВm, т.е периодическую последовательность с периодом m, состоящую из n периодов, где $n= 2^{a1}*3^{a2}*…* {p_r}^{a_r}$, при этом некоторые ai могут быть равны 0. Легко увидеть, что таким образом мы получили ПСВ по модулю $M=2^{a1+1}*3^{a2+1}*…* {p_r}^{ar+1}$. На основании теоремы 3 для указанной ПСВ$_M$ треугольник Гильбрайта также будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
В качестве примера на рис.3 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$ (M=60=22*3*5)
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
Рис.3 Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Таким образом, можно считать, что $\Delta$ Гильберта с основанием ПСВ(М) - расходится ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #581578 писал(а):

Таким образом, можно считать, что $\Delta$ Гильберта с основанием ПСВ(М) - расходится ?

Сходится только при $M=2^a$.
В следующем сообщении о сходимости ПСВ подробнее.