Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546505 писал(а):

Разности между нечетными числами имеют значение?

Нет, в основании треугольника Гильбрайта может быть любая возрастающая последовательность нечетных чисел. Но сходимость треугольника естественно зависит от разностей между этими числами. Об этом - в теореме 4 и признаке сходимости треугольника Гильбрайта.
Прошу прощения, в предыдущем моем сообщении должна быть ссылка на теорему 2, а не на теорему 1.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546505 писал(а):

Разности между нечетными числами имеют значение?

Вот примеры сходящихся треугольников Гильбрайта, которые поясняют значение разности между нечетными числами для сходимости треугольника Гильбрайта.
1. Последовательность нечетных чисел без пропусков:
$K_1=1,K_2=K_3=...=K_n=0$.
На основании формулы (1) теоремы 4: $P_{n+1}-P_n=2K_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}=0+2=2$, так как $K_n=0$, а $A_1_{n-1}=2$
Cам треугольник имеет вид (крупным шрифтом значения $2K_i$):
3 5 7 9 11...$P{n+1}$
2 2 2 2......2
0 0 0......0
0 0......0
...........
0
2. Естественно максимальный рост разности соседних нечетных чисел, при котором тругольник Гильбрайта,будет сходиться будет в случае: $K_1=K_2=K_3=...=K_n=1$.
На основании формулы (1) теоремы 4 - $P_{n+1}-P_n=2K_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}=2+4+...+2^{n-1}=2^n$.
Сам треугольник имеет вид:
3 5 9 17 33...$P{n+1}$
2 4 8 16...$2^n$
2 4 8...$2^{n-1}$
2 4...$2^{n-2}$
.............
2
3. Последовательность простых чисел в основании треугольника Гильбрайта: 3,5,7,11,13,17...занимает промежуточное положение между примерами 1,2. так как $K_i$ принимают значения как 0, так и 1.

[hurtsy]

vicvolf в сообщении #546306 писал(а):

О разности соседних простых чисел можно говорить только в отношении $K_1=0,5(P_2-P_1)=0,5(5-3)=1$. Остальные $K_i$ не являются разностью соседних простых чисел.

Очевидно, я неправильно понял цель введения величин $K_i$. Я думал, что у вас $K$ будут также нумероваться как $A$.
1)Объясните, пожалуйста, для чего вводятся $K$.
2)Я не настаиваю, на использовании недоказанных гипотез, но меня удивляет зачем исследовать обобщенные основания и обобщения гипотезы Гильбрайта, если основной треугольник Гильбрайта расходится(в вашей терминологии) при предположении справедливости утверждения де Полиньяка. С уважением,

[vorvalm]

В приведенных примерах нечетные числа вы берете в определенном порядке.
Я же понял, что их можно брать произвольно.

[vicvolf]

Немного подправлю пример 2 в предыдущем сообщении:
$P_{n+1}-P_n=2K_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}=2+2+4+...+2^{n-1}=2^n$.

-- 09.03.2012, 18:09 --

vorvalm в сообщении #546629 писал(а):

В приведенных примерах нечетные числа вы берете в определенном порядке.
Я же понял, что их можно брать произвольно.

В примерах я привел два крайних случая сходимости треугольника Гильбрайта. А вообще в основании может находиться любая возрастающая подпоследовательность положительных нечетных чисел, начиная с 3, либо последовательность нечетных чисел, начиная с 3, как в примере 1.

-- 09.03.2012, 18:19 --

hurtsy писал(а):

1)Объясните, пожалуйста, для чего вводятся $K$.

Если $K_i$ принимает значение 0 или 1, то левая сторона треугольника Гильбрайта будет состоять только из 1, т.е треугольник будет сходится.

-- 09.03.2012, 18:28 --

hurtsy в сообщении #546619 писал(а):

основной треугольник Гильбрайта расходится(в вашей терминологии) при предположении справедливости утверждения де Полиньяка.

Не понял почему?

[vorvalm]

А если в качестве нечетных чисел брать взаимно простые числа (вычеты ПСВ),то что будет со сходимостью?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546647 писал(а):

А если в качестве нечетных чисел брать взаимно простые числа (вычеты ПСВ),то что будет со сходимостью?

Под ПСВ Вы наверно понимаете приведенную систему вычетов по модулю m. В строгом смысле последовательность чисел: 3, ... далее нечетные с пропусками ПСВ быть не может. так как не содержит 1. Но если рассматривать ПСВ с этим допущением, то можно сказать:
1.ПСВ, реализующая данную последовательность, дожна иметь делитель 2, чтобы включать только нечетные числа.
2.ПСВ, реализуюшая данную последовательность, должна не иметь делителем 3, чтобы включать число 3.
Поэтому каноническое разложение модуля $m =2^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_l}^{a_l}$, где $p_i$ натуральное число, отличное от 3.
В отношении сходимости-сложный вопрос, который надо исследовать. Пока скажу первое впечатление. В некоторых случаях треугольник Гильбрайта с таким основанием сходится, а в некоторых расходится. Рассмотрим конкретные случаи.
1. Пусть $m =2^{a_1}{5}^{a_2}...{p_l}^{a_l}$, тогда треугольник будет расходится:
3 7 9 11........
4 2 2..........
так как $K_1=2>1$
2. Пусть $m =2^{a_1}{7}^{a_2}, тогда треугольник будет сходится:
3 5 9 11 13....
2 4 2 2.....
2 2 2.....
0 0........
0........
Пробел между 5 и 9 оказался недостаточным, чтобы треугольник расходился. Далее в основании расстояние между соседними числами будет не более, чем для простых чисел.
3. Пусть $m =2^{a_1}{11}^{a_2}...{p_l}^{a_l}$, тогда треугольник будет расходится:
3 5 7 13....
2 2 6.....
0 4 .....
4........
так как $K_3=2>1$
Анализ продолжу.

[vorvalm]

Конечно, я имел ввиду не общепринятую ПСВ, но только вычеты, взаимно простые с модулем.
Если первые члены первого ряда представить модулем ПСВ, например, 2, 3 ($M=6$), то дальше должны итти вычеты ПСВ по этому модулю без 1, т.е....5,7, 11,13, 17,19, 23,25, 29,31, 35,37......(ограничение сранимостью с модулем сняты), или
про модуле 2, 3, 5,($M=30$)....далее все простые до 49 и т.д

[vicvolf]

Продолжение.
Пусть $m =2^{a_1}{13}^{a_2}, тогда треугольник будет сходиться:
3 5 7 9 11 15....
2 2 2 2 4.....
2 2 2 2.....
0 0 0........
0 0........
0
Пробел между 11и 15 оказался недостаточным, чтобы треугольник расходился. Далее в основании идет просто последовательность нечетных чисел.
Треугольник также будет сходиться при $m =2^{a_1}{p_2}^{a_2}, для $p_2>13$.
Теперь рассмотрим, если m имеет 3 простых делителя, т.е если каноническое разложение модуля $m =2^{a_1}{p_2}^{a_2}{p_3}^{a_3}$.
Случаи, когда $p_2=5,11$ мы уже рассмотрели-в этом случае треугольник расходится. Надо рассмотреть случаи, когда $p_2=7,13,17....$. Тогда при $p_3=5,11$ естественно треугольник будет расходиться. Остальные случаи надо исследовать.
Рассмотрим случай $p_2=7$, $p_3=13$:
3 5 9 11 15 17 ...
2 4 2 4 2 ....
2 2 2 2
Следовательно, треугольник Гильбрайта сходиться.
Аналогичная ситуация будет, если m имеет 4 простых делителя и более. Треугольник будет сходиться, если делителями m не будут числа 5 и 11, хотя треугольник может также расходиться в случае, когда делителями m являются $p_i$, имеющие с $p_{i-1}$ большие пробелы, при наличии рядом стоящих простых делителей m. Это надо проверить.

[vorvalm]

Я рассматриваю не любые составные модули, но только те, которые составляют произведения последовательных простых чисел.
$M=\prod_2^p p,\; p\mid M.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546629 писал(а):

В приведенных примерах нечетные числа вы берете в определенном порядке.

Да в примерах 1,2 треугольники имеют только положительные разности. Но по теореме 3 можно любой треугольник преобразовать в треугольник с положительными разностями, не изменяя его сходимость.
Рассмотрим треугольник с отрицательными разностями, выделенными жирным шрифтом.
3 5 7 11 13
2 2 4 2
0 2 2
2 0
2
Преобразуем в треугольник только с положительными разностями.
3 5 7 11 21
2 2 4 10
0 2 6
2 4
2
При этом все $K_i$ остались без изменения и, следовательно, сходимость тоже.

[vicvolf]

hurtsy в сообщении #546619 писал(а):

меня удивляет зачем исследовать обобщенные основания и обобщения гипотезы Гильбрайта, если основной треугольник Гильбрайта расходится(в вашей терминологии) при предположении справедливости утверждения де Полиньяка. С уважением,

Треугольник Гильбрайта-это инструмент, поэтому надо исследовать механизм его взаимодействия с различными последовательностями в его основании, перед переходом к изучению основной последовательности - простых чисел. Для ответа на вторую часть вопроса, давайте рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием-простые числа -
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
1 2 2 4 2 4 2 4 6 2
1 0 2 2 2 2 2 2 4
1 2 0 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 0 2
1 2 0 0 0 2
1 2 0 0 2
1 2 0 2
1 2 2
1 0
1
Как видите модули разностей $A_i_j$ принимают в основном значения 0 и 2, при большом количестве простых чисел примерно с равной вероятностью и только в верхнем узком слое (в данном случае 2-х строках) принимает другие значения. Поэтому элементы в большинстве строк не принимают другие значения кроме 0 и 2 и утверждение де Полиньяка на них не распространяется.
Если у Вас есть какой-то материал, подтверждающий указанную связь гипотез, то интересно было бы с ним ознакомиться.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #547156 писал(а):

Я рассматриваю не любые составные модули, но только те, которые составляют произведения последовательных простых чисел.
$M=\prod_2^p p,\; p\mid M.$

Как раз я в этом направлении думал. Из теоремы 4 и признака сходимости вытекает, что треугольник Гильбрайта расходится. если
$P_{n+1}-P_n>2+\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}$. где $P_{n+1},P_n$-последовательные числа в основании треугольника. Поэтому минимальный пробел, при котором треугольник расходится: $P_{n+1}-P_n=4+\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}$.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится последовательность простых чисел: 3,5,7,11,13,17...Возьмем $P_4=11$. тогда $P'_5-P_4=4+\sum_{i=1}^{3}{A_i_{3}}=4+4+2+2=12$ или $P'_5=P_4+12=11+12=23$. Следовательно, треугольник с основанием: 3, 5, 7,11, 23,... расходится:
3 5 7 11 23
2 2 4 12
0 2 8
2 6
4
В этом случае в последовательности простых чисел пропущены три рядом стоящих простых числа -13,17,19.
Поэтому, если в основании треугольника Гильбрайта будет ПСВ по модулю $m=2^{a_1}13^{a_2}17^{a_3}19^{a_4}...$, то треугольник Гильбрайта будет расходиться.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546194 писал(а):

Пока вникаю...

Ну как вникли?

[vorvalm]

Я извиняюсь, но сейчас у меня другие проблемы.