Эллипс в Евклидовой геометрии

[Евгений Машеров]

Скажите, а кому я говорю про Аполлония Пергского?

[Ales]

gris в сообщении #579605 писал(а):

А как же залы подслушивания в Ватикане?

Кстати это отдельный вопрос.
Действительно ли существуют такие залы?

Нужен эллипсоид вращения, тогда из одного фокуса можно слушать шепот человека, находящегося в другом фокусе.
Но есть ли залы в виде эллипсоида вращения?
Пол ведь всегда плоский, стены - вертикальные, потолок тоже не такой как надо.

-- Пт июн 01, 2012 22:36:18 --

Евгений Машеров в сообщении #579607 писал(а):

Скажите, а кому я говорю про Аполлония Пергского?

У Апполония Пергского не было ничего подобного.

Если Вы настаиваете, то пожалуйста,
предъявите способ нахождения фокусов для сечения косого конуса или эллиптического цилиндра.

Если знаете этот способ, то поделитесь.
А если не знаете, то зачем же спорить?

-- Пт июн 01, 2012 22:43:15 --

Кстати похоже, что эллипс появился после параболы.
По крайней мере об этом свидетельствует объяснение его названия.

А интерес к параболе мог возникнуть только после теории Галлилея и в связи с баллистикой пушечных ядер.

[hurtsy]

Ales в сообщении #579609 писал(а):

А интерес к параболе мог возникнуть только после теории Галлилея и в связи с баллистикой пушечных ядер.

Ales в сообщении #579609 писал(а):

У Апполония Пергского не было ничего подобного.

Вот гугл принес Б. А. Розенфельд "Аполлоний Пергский".

Цитата:

Конические сечения Менехма, Аристея и Евклида
Конические сечения впервые появились в работах греческого ма-
тематика IV в. до н. э. Менехма, который с их помощью решил задачу
удвоения куба, о которой мы говорили в главе 1.
В VII книге <Математического собрания> Папп писал: <Аполлоний
дополнил четыре книги Евклида о конических сечениях и доба-
вил к ним четыре другие, образуя восемь книг ,,Конических сече-
ний“. Аристей, который написал пять книг ,,Телесных геометрических
мест“, посвященных коническим сечениям, и [другие] предшественни-
ки Аполлония называли первую из трех конических кривых сечением
остроугольного конуса, вторую—[сечением] прямоугольного [кону-
са], а третью—[сечением] тупоугольного [конуса]> [50, с. 503; 51,
с. 114—115].

Ales в сообщении #579609 писал(а):

А интерес к параболе мог возникнуть только после теории Галлилея и в связи с баллистикой пушечных ядер.

Имхо, Давид используя пращу для разгона камня использовал эллипс. В СК, в которой рука Давида неподвижна, траектория разгона есть эллипс с расстоянием между фокусами равным ширине ладони.
В противном случае у Голиафа было бы больше шансов на победу.
С уважением,

[Евгений Машеров]

Ещё раз? Вы не знаете, как найти фокусы эллипса без аналитической геометрии и полагаете, что никто в мире не знал и не знает? Впечатлён. Самоуважение у Вас титаническое...
Однако, увы, умеют и умели. (Надеюсь, пояснять, что сечение кругового конуса = эллипс, не надо?).
Итак.
Дано:
Начерченный эллипс, циркуль и линейка.
Требуется:
Найти фокусы.
Решение:
(предполагается, что ученик умеет строить параллельные и делить отрезок пополам)
Проводим линию, пересекающую эллипс в двух точках и параллельную ей, также пересекающую в двух точках. Находим середины отрезков, отсекаемых эллипсом на этих линиях. Проводим прямую через середины отрезков, она проходит через центр эллипса.
Повторяем построение с двумя другими прямыми, не параллельными первым. Пересечение прямых, проведенных через середины отрезков, даёт центр эллипса.
Проводим из центра эллипса окружность, пересекающую эллипс в четырёх точках. Эти точки задают прямоугольник, осями симметрии которого являются большая и малая оси эллипса. Разделив стороны прямоугольника пополам, строим эти оси.
Фокусы находятся, как точки пересечения большой оси с окружностью с центром в конце малой оси и радиусом, равным большой полуоси.

[Xaositect]

Надо сказать, что у Аполлония этого действительно в такой форме нет. У эллипса он рассматривает точки на большой оси такие, что прямоугольник, построенный на отрезках, на которые точка делит большую ось, равен четверти квадрата на малой оси (такие сечения греки строить умели), и доказывает для них свойство постоянства суммы расстояний.

[Евгений Машеров]

Ну, поиск фокуса эллипса это не задача уровня Аполлония, это школьная задача (ну, "повышенной сложности", на соображение,, но школьная)

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #579921 писал(а):

Ну, поиск фокуса эллипса это не задача уровня Аполлония, это школьная задача (ну, "повышенной сложности", на соображение,, но школьная)

Требовалось совсем другое.
Вы восстановили оси у проекции и отметили на большой оси пару точек.
Докажите теперь, что это фокусы.

-- Вс июн 03, 2012 14:38:13 --

Я придумал доказательство, что невозможно связать проекцию круга с эллипсом, определяемым от фокусов, по методу аналогичному конструкции Данделена.

[Евгений Машеров]

Излагайте. Посмеёмся.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #580260 писал(а):

Излагайте. Посмеёмся.

Вы пока не закончили своё. Но дело не в этом.
Я просто плохо объяснил, что мне надо, и наверное ввёл Вас в заблуждение, иначе Вы бы не привели такое доказательство.

Итак, согласно Шалю (классический труд - обзор истории геометрии с древнейших времён и до начала 19 века) никто не придумал способа подобного шарам Данделена для перехода от эллипса - сечения косого конуса к эллипсу с двумя фокусами.
И это не просто так. Дело в том, что это невозможно.

Доказательство.
Конструкция Данделена использует вписанные в конус шары, касающиеся плоскости сечения.
Она не использует координаты и пятый постулат Евклида.

Отступление:
Эта конструкция также работает в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана на сфере.
В этих геометриях сечение прямого конуса - тоже эллипс с фокусами.
Если бы хорошо знать эти геометрии, то можно было бы рассмотреть сечение косого конуса.
Если бы оно не было эллипсом с фокусами, то конструкция типа Данделена в этих геометриях для косого конуса была бы невозможна. А значит она была бы невозможна и для Евклидовой геометрии.

К счастью есть способ полегче, для которого не надо изучать неевклидову геометрию,
а можно просто воспользоваться знакомой аналитической.

Дело в том, что конструкция Данделена также распространяется на случай более высоких размерностей.
И сечение конуса в четырехмерном пространстве $x^2+y^2+z^2=w^2$ трехмерной гиперплоскостью представляет собой вытянутый эллипосид вращения с двумя фокусами.

Но параллельная проекция трехмерного шара на трехмерную гиперплоскость под косым углом - сплюснутый эллипсоид вращения, у которого нет фокусов. Значит нет конструкции по типу Данделена для проекции шара на гиперплоскость.
Но тогда нет и конструкции для случая на размерность ниже (конструкция не использует размерность) - проекции круга на плоскость (или сечение эллиптического цилиндра).

Что и требовалось доказать.

[Евгений Машеров]

Продолжая Вашу систему рассуждений, видим, что и в трёхмерном пространстве "конструкции типа Данделена" нет. Но она есть.
Ошибку в Вашем рассуждении сами найдёте?
(подсказываю - она не на уровне сложной математики, прокол в самой элементарной логике).

[hurtsy]

Ales в сообщении #580502 писал(а):

И сечение конуса в четырехмерном пространстве $x^2+y^2+z^2=w^2$ трехмерной гиперплоскостью представляет собой вытянутый эллипосид вращения с двумя фокусами.

Вы определитесь с выбором возможных гиперплоскостей. Гиперплоскость $w=\operatorname{const}$ дает сечение сферу(3-мерную) а не вытянутый эллипсоид вращения. А $w=\operatorname{const},z=\operatorname{const}$ дает в сечении окружность. С уважением.

[Ales]

Евгений Машеров в сообщении #580607 писал(а):

Продолжая Вашу систему рассуждений, видим, что и в трёхмерном пространстве "конструкции типа Данделена" нет.

Нет, это не так.
Она есть для сечения прямого конуса и прямого цилиндра (для любых размерностей, начиная с 3) и её нет для сечения эллиптического цилиндра и косого конуса (для любых размерностей, начиная с 3) - это я и доказал.

-- Пн июн 04, 2012 21:38:48 --

Другое дело, что определение: "конструкция по методу Данделена" нуждается в уточнении.

Определим её как любую конструкцию, которую можно провести в пространстве размерности 3 и выше,
при этом все действия называются одинаково: пересечение прямой и гиперплоскости это точка, касание гиперсферы и гиперплоскости это точка, касание прямого конуса и гиперсферы - гиперсфера размерности на 1 меньше и т.п.

Никого ведь не удивляет линейная алгебра в пространствах произвольной размерности, там все рассуждения одинаковы для любого числа измерений и здесь то же самое.

-- Пн июн 04, 2012 22:06:48 --

Но это не доказывает в математическом смысле, что обязательно нужна аналитическая геометрия.

Но доказывает, что надо использовать приемы, которые не распространяются на более высокие измерения.

В связи с неевклидовыми геометриями, возможно, необходим и пятый постулат.

[Munin]

Ales в сообщении #580871 писал(а):

Никого ведь не удивляет линейная алгебра в пространствах произвольной размерности, там все рассуждения одинаковы для любого числа измерений

Если их правильно проводить. Например, векторного произведения векторов для любого числа измерений не существует.

[Евгений Машеров]

Источник Ваших заблуждений (один из...) в том, что Вы рассматриваете математику не в развитии, а как возникшую, подобно кролику из шляпы. Возможно, это связано с тем, что Вы не различаете учебники и первоисточники (в учебниках всё показано уже готовым и историческое развитие там отображено весьма слабо и в отдельных от основного изложения параграфах). Это, кстати, не только в данной теме,но и, скажем, в теме про логарифмы, где Вы судите об уровне математики XVIII века по учебнику для ПТУ профессиональной школы, а в теме про "Математические начала натуральной философии" проявляется тот же эффект, но в иной форме. В данном случае стоит помнить, что Данделен прежде всего педагог высшей школы, профессор инженерного дела, и не открыл факт, а предложил способ довести его и его доказательство наиболее простым и комфортным для студентов образом. Сам же факт был доказан много ранее, хотя и более сложным способом (вспоминается известная шутка - "уровень математика определяется числом данных им плохих доказательств" - первые доказательства бывают переусложнены и плохо изложены, отшлифовывают их не открыватели, а продолжатели).

[Munin]

В учебниках про историческое развитие не зря говорят редко. Дело в том, что в учебнике предмет излагается в логической последовательности: на этом построено то, а из того вытекает этакое. А в исторической последовательности, оказывается, математика создавалась вся сразу, а вовсе не последовательно. Не было такого, что сначала изучаются уравнения 2 степени, а потом 3 степени. Нет, копались и с 1, и со 2, и с 3 степенью ещё со времён Древнего Вавилона, и ещё в те времена, когда не было понятия отрицательных чисел, а дроби были известны только рациональные (для высших степеней потребовалось обобщить понятие степени). Задачи на производные, интегралы, решение дифференциальных уравнений решались с античности, задолго до формулировки этих понятий. Линейная алгебра изучалась задолго до появления понятия вектора. И границу между "элементарными" и "высшими" разделами математики исторически тоже не проводили. Многие задачи, которые элементарно формулируются, и были сформулированы давно, оказалось, требуют для своего решения весьма продвинутых теорий, и получили своё решение гораздо позже.