действительный базис из собственных значений

[sergei1961]

Дана матрица с комплексными элементами.
Существуют ли общие теоремы, позволяющие утверждать, когда у неё существует базис из собственных векторов со всеми действительными элементами.
Пример, когда существует: матрица дискретного преобразования Фурье. Откуда следует для неё существование такого базиса? Факт существования известен.
Частный случай: дополнительно известно, что матрица унитарна (как ДПФ). Есть общие условия для этого случая?

[g______d]

Т. е. собственные вектора вещественные, а собственные значения не обязательно?

[ewert]

sergei1961 в сообщении #573619 писал(а):

Частный случай: дополнительно известно, что матрица унитарна (как ДПФ). Есть общие условия для этого случая?

Насчёт общих -- не скажу; но матрица ДПФ -- не просто унитарна. У неё ещё и квадрат симметричен и вещественен. Естественно, и собственный базис можно выбрать вещественным.

[sergei1961]

То есть квадрат симметричен и вещественен-это достаточное условие?

[g______d]

sergei1961 в сообщении #578579 писал(а):

То есть квадрат симметричен и вещественен-это достаточное условие?

Нет. Пример --- матрица $\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right)$. У нее вообще нет базиса из собственных векторов.

[shwedka]

Подумайте так. При замене произвольной матрицы на комплексно сопряженную, собственные векторы и собственные числа заменяются на комплексно сопряженные. Если собственные векторы вещественные, то это значит, что у матрицы и ее комплексно сопряженной одни и те же собственные векторы.
Тут много чего можно дальше накручивать, но сразу появляется НЕОБХОДИМОЕ условие. Матрица должна коммутировать со своей комплексно сопряженной.
Это условие, как показывает пример выше, не является достаточным.

[sergei1961]

Я про унитарные матрицы. Они коммутируют с сопряжённой автоматически.

[shwedka]

sergei1961 в сообщении #578735 писал(а):

Я про унитарные матрицы. Они коммутируют с сопряжённой автоматически.

Вы невнимательно прочитали. Я пишу о комплексно сопряженных матрицах, а не о сопряженных! То есть, транспонирование не производится.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #578579 писал(а):

То есть квадрат симметричен и вещественен-это достаточное условие?

Если у исходной матрицы есть собственный базис -- да. А у унитарной он всегда есть.

[shwedka]

ewert в сообщении #578933 писал(а):

sergei1961 в сообщении #578579 писал(а):

То есть квадрат симметричен и вещественен-это достаточное условие?

Если у исходной матрицы есть собственный базис -- да. А у унитарной он всегда есть.

А если куб симметричен и вещественный? Или еще какая другая степень? Или, вообще, какая-нибудь приличная функция от матрицы? Тоже достаточны. Так что до необходимого еще далеко.

[g______d]

Я думаю, тут дело в том, что она должна коммутировать с оператором комплексного сопряжения. Это антилинейный оператор, переводящий $a_1 e_1+\ldots+a_n e_n$ в $\bar a_1 e_1+\ldots+\bar a_n e_n$, где $\{e_i\}$ --- некоторый фиксированный базис (тот, в котором записана матрица и тот, в котором нам хочется, чтобы координаты собственного вектора были вещественны).

-- 31.05.2012, 18:00 --

Т. е. необходимое и достаточное условие --- диагонализуемость и коммутирование (коммутируемость? Как это по-русски-то? :)) с этим оператором. Только коммутирования недостаточно для диагонализуемости.

[s.n.s.]

Если $U$ унитарна, то достаточным условием существование для нее вещественного базиса является условие симметричности, $U^t=U$. Это же условие означает, что $U \overline{U} =1$.
Действительно, пусть $\lambda$ - собственное число для $U$ и $S_{\lambda}$ - соответствующее собственное подпространство (т.е. $Ux=\lambda x \,$ $\,\forall x \in S_{\lambda}$). Возьмем какой-то собственный вектор $e \in S_{\lambda}$. Тогда $U \bar{e} = \overline{\bigl(\overline{U} e \bigr)} = \overline{\bigl( U^{-1} e \bigr)} =\overline{\bigr( \bar{\lambda} e \bigl)} = \lambda \bar{e}$, т.е. $\bar{e} \in S_{\lambda}$.
Если $e$ и $\bar{e}$ оказались линейно зависимыми, то, умножая $e$ на подходящую фазу, получим вещественный вектор $e' \in S_{\lambda}$. Если же $e$ и $\bar{e}$ оказались линейно независимыми, то рассмотрим векторы $e_1=(e + \bar{e})/2$ и $e_2=(e - \bar{e})/(2i)$. Они, очевидно, вещественны, линейно независимы и лежат в $S_{\lambda}$.
Рассматривая подпространство в $S_{\lambda}$, ортогональное $e_1$ и $e_2$ (или $e'$), и повторяя процедуру, получим вещественный базис для $S_{\lambda}$.

[sergei1961]

Так всё-таки есть критерий, выраженный только в терминах элементов матрицы? Это где-то написано, чтобы сослаться?

[g______d]

sergei1961 в сообщении #733841 писал(а):

Так всё-таки есть критерий, выраженный только в терминах элементов матрицы? Это где-то написано, чтобы сослаться?

Проблема с условием диагонализуемости. Не думаю, что оно явно выражается через матричные элементы.

[Oleg Zubelevich]

а есть еще такие матрицы $AA^*=A^*A$