Если

унитарна, то достаточным условием существование для нее вещественного базиса является условие симметричности,

. Это же условие означает, что

.
Действительно, пусть

- собственное число для

и

- соответствующее собственное подпространство (т.е.

). Возьмем какой-то собственный вектор

. Тогда

, т.е.

.
Если

и

оказались линейно зависимыми, то, умножая

на подходящую фазу, получим вещественный вектор

. Если же

и

оказались линейно независимыми, то рассмотрим векторы

и

. Они, очевидно, вещественны, линейно независимы и лежат в

.
Рассматривая подпространство в

, ортогональное

и

(или

), и повторяя процедуру, получим вещественный базис для

.