Найти мощность множества

[Yana Romanova]

Задача: Отношение эквивалентности на $\mathbf{R}$ задано следующим образом:
$x \sim y \leftrightarrow (\exists q \in \mathbf{Q})(q \neq 0 \& x=qy)$
Какова мощность множества классов эквивалентности?

Как я поняла, класс эквивалентности для $x$ - это все элементы, эквивалентные $x$ (будем писать класс эквивалентности вот так: $[x]_{\sim}$).
То есть для одного $x$ в классе эквивалентности будет $|\mathbf{Q}|$ чисел, правильно?
Чтобы оценить мощность множества $ \lbrace [x]_{\sim}|x \in \mathbf{R} \rbrace$, надо построить функцию из этого множества в другое множество, мощность которого нам известна. Но такое множество я не могу найти.
Сначала можно взять класс эквивалентности числа и подобрать соответствующий ему элемент из того другого множества. Тогда мы каждый класс эквивалентности свяжем с элементом и построим множество.
Я перепробовала уже все элементы: $x$, $\frac 1 x$, $\sqrt{x}$, $\lbrace {0,1} \rbrace$, но препод говорит, что ничего не подходит.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Пожалуйста, запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

Yana Romanova в сообщении #578887 писал(а):

Какова мощность множества классов эквивалентности?

Все числа одного класса составляют множество какой мощности?

[Yana Romanova]

TOTAL в сообщении #578913 писал(а):

Все числа одного класса составляют множество какой мощности?

У одного класса будет мощность $|\textbf{Q}|$. А если таких чисел $\textbf{R}$, то всего мощность будет $|\textbf{R}^{Q}|$, это правильно? Но я не знаю, как функцию построить.

[TOTAL]

Yana Romanova в сообщении #578915 писал(а):

Но я не знаю, как функцию построить.

Не знаю, про какую функцию говорите и зачем её строить.

[Yana Romanova]

Преподаватель сказал, что чтобы найти мощность данного множества, надо оценить его другим. То есть надо элементы данного множества сопоставить с элементами другого множества (построить функцию), мощность которого нам известна. Получается, нужно связать каждый класс эквивалентности с элеметом из другого множества.
И без этой функции он не примет задачу. Я вот хочу разобраться, что это за другое множество.

[mihailm]

Ну $R^2$ и теорема Кантора-Бернштейна

[gris]

Чего-то я не пойму. Разве может мощность множества классов эквивалентности некоторого множества быть больше мощности этого множества? И снизу Вы почти оценили. Чему равна мощность счётного объединения счётных множеств?

[Yana Romanova]

mihailm в сообщении #579042 писал(а):

Ну $R^2$ и теорема Кантора-Бернштейна

Почему именно $R^2$? Для одного элемента $x$ существует $Q$ эквивалентных ему элементов. А для множества действительных $x$ будет, соответственно, $R^Q$ элементов.

gris в сообщении #579053 писал(а):

Чего-то я не пойму. Разве может мощность множества классов эквивалентности некоторого множества быть больше мощности этого множества?

А откуда это? Теорема?

gris в сообщении #579042 писал(а):

И снизу Вы почти оценили. Чему равна мощность счётного объединения счётных множеств?

Континуум?

[Integrall]

Yana Romanova в сообщении #578921 писал(а):

Преподаватель сказал, что чтобы найти мощность данного множества, надо оценить его другим. То есть надо элементы данного множества сопоставить с элементами другого множества (построить функцию), мощность которого нам известна. Получается, нужно связать каждый класс эквивалентности с элеметом из другого множества.

прежде чем искать вашу функцию, постройте множество классов эквивалентности. Для этого вам нужно выбрать представителя для каждого класса эквивалентности. Один из классов я дарю, это $[1]$ все рациональные числа без нуля. Дальше не сложно.

[gris]

Ноль тоже рациональное число
+++ Если без нуля, то согласен.

[Yana Romanova]

Integrall в сообщении #579163 писал(а):

прежде чем искать вашу функцию, постройте множество классов эквивалентности. Для этого вам нужно выбрать представителя для каждого класса эквивалентности. Один из классов я дарю, это $[1]$ все рациональные числа без нуля. Дальше не сложно.

Да, спасибо, об этом я и хотела сказать. Но с этим как раз сложно. С иррациональными всё понятно, здесь для $[\sqrt{x}]$ представителем будет $\sqrt{x}$, и для разных классов эквивалентности получатся разные представители. Но с рациональными всё плохо. Числа, лежащие в $[1]$, будут эквивалентны, например, числам, лежащим в $[2]$. Тогда $[1]$ совпадает с $[2]$, но 1 не равно 2. Я хотела выбрать для $[x]$ представителя $\sqrt{x}$, но учителю не понравилось.

gris в сообщении #579169 писал(а):

Ноль тоже рациональное число

Но в условии $q$ не равно нулю. Значит, в $[0]$ будет единственное число - $0$.

[Integrall]

Yana Romanova в сообщении #579204 писал(а):

Я хотела выбрать для $[x]$ представителя $\sqrt{x}$, но учителю не понравилось.

учитель прав. Функция $\sqrt{x}$ не отображает однозначно $R$ в множество классов эквивалентности. Аналитическим выражением здесь не обойтись. Можно попытаться описать искомое отображение. Для этого необходимо выбрать некое подмножество иррациональных чисел и отобразить взаимно однозначно в множество классов эквивалентности.

[Joker_vD]

А нельзя ли так? Возьмем множество этих классов эквивалентности, выберем из каждого по одному элементу и составим из них новое множество $A$. Оно будет равномощно множеству всех классов эквивалентности, и легко показать, что $|A\times\mathbb Q|=|\mathbb R|$...