2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

Одним из способов доказательство является тот факт, что любое бесконечное множество $A$ изоморфно $A\times\mathbb N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 01:30 
Аватара пользователя


30/05/12
20
Integrall в сообщении #579221 писал(а):
Для этого необходимо выбрать некое подмножество иррациональных чисел и отобразить взаимно однозначно в множество классов эквивалентности.

Какое, например? Подойдёт множество с конкретными числами?

-- 01.06.2012, 02:52 --

Joker_vD в сообщении #579223 писал(а):
А нельзя ли так? Возьмем множество этих классов эквивалентности, выберем из каждого по одному элементу и составим из них новое множество $A$. Оно будет равномощно множеству всех классов эквивалентности, и легко показать, что $|A\times\mathbb Q|=|\mathbb R|$...


g______d в сообщении #579224 писал(а):
Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

Одним из способов доказательство является тот факт, что любое бесконечное множество $A$ изоморфно $A\times\mathbb N$.


Спасибо. Как я поняла, чтобы найти мощность, надо построить биективную функцию из $A\times\mathbb Q$ в $\mathbb R$. Множество $A\times\mathbb Q$ будет равномощно множествам $A$ и $\mathbb  R$. Значит, мощность будет равна континууму.
Но я ещё не совсем понимаю, что значит "оценить сверху и снизу". Я знаю теорему Кантора-Бернштейна. Но как мы можем определить, что мощность какого-то равномощного множества больше, а какого-то - меньше? На нашем примере хотя бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:00 
Аватара пользователя


02/05/12
110
€Союз
g______d в сообщении #579224 писал(а):
Очень сомнительно, что в данном случае можно построить множество классов эквивалентности в смысле явного построения проекции на фактормножество/выбора системы представителей. Существование такой функции зависимо от аксиомы выбора.

аксиома выбора не нужна, т.к. мы строим классы эквивалентности через представители явно, а не наоборот. Единственно, что нужно знать - свойства действительных чисел.

Yana Romanova в сообщении #579226 писал(а):
Какое, например? Подойдёт множество с конкретными числами?

естественно нужно использовать такие иррациональные числе, которые при делении друг на друга не дают рациональное часное, как, например, $\sqrt {2}$ и $\sqrt {3}$. Как показать, что такие числа существуют и сколько их, разберетесь сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Каждый класс эквивалентности сам по себе счётен. И если бы множество этих классов тоже было счётным, то счётным оказалось бы и $\mathbb R$. Далее -- континуум-гипотеза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:28 
Аватара пользователя


30/05/12
20
Integrall в сообщении #579304 писал(а):
естественно нужно использовать такие иррациональные числе, которые при делении друг на друга не дают рациональное часное, как, например, $\sqrt {2}$ и $\sqrt {3}$. Как показать, что такие числа существуют и сколько их, разберетесь сами.

Тогда для $[x]$ возьмём представителя $\sqrt{2}+x$. Они точно будут давать иррациональное число при делении. И всего их - континуум.

ewert в сообщении #579307 писал(а):
Каждый класс эквивалентности сам по себе счётен. И если бы множество этих классов тоже было счётным, то счётным оказалось бы и $\mathbb R$. Далее -- континуум-гипотеза.

Но никто и не говорит, что множество классов эквивалентности счётно. И так очевидно, что оно континуально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Yana Romanova в сообщении #579322 писал(а):
Но никто и не говорит, что множество классов эквивалентности счётно. И так очевидно, что оно континуально.

Если очевидно, зачем задаёте вопрос:
Yana Romanova в сообщении #578887 писал(а):
Задача: Отношение эквивалентности на $\mathbf{R}$ задано следующим образом:
$x \sim y \leftrightarrow (\exists q \in \mathbf{Q})(q \neq 0 \& x=qy)$
Какова мощность множества классов эквивалентности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:42 
Аватара пользователя


30/05/12
20
TOTAL в сообщении #579324 писал(а):
Если очевидно, зачем задаёте вопрос

Я-то уже поняла, но вот преподавателю нужно доказательство в подробном виде, которое я и пытаюсь разобрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Yana Romanova в сообщении #579326 писал(а):
Я-то уже поняла, но вот преподавателю нужно доказательство в подробном виде, которое я и пытаюсь разобрать.

Нельзя ли точно сформулировать к какому подробному доказательству стремитесь?
Хотите перечислить в явном виде все множество попарно несоизмеримых действительных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 11:51 
Аватара пользователя


02/05/12
110
€Союз
Yana Romanova в сообщении #579322 писал(а):
Тогда для $[x]$ возьмём представителя $\sqrt{2}+x$. Они точно будут давать иррациональное число при делении. И всего их - континуум.

нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Вам нужно просто определить ирр. числа $\alpha, \beta$ и т.д., которые попарно "просты" $\alpha/\beta$ не принадлежит $Q$. Всех их находить и явно выписывать не нужно. Далее нужно покозать: первое, что это множество не пусто, предьявив хотябы пару таких чисел, второе, показать, что таких чисел континуум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 14:18 
Аватара пользователя


30/05/12
20
TOTAL в сообщении #579328 писал(а):
Нельзя ли точно сформулировать к какому подробному доказательству стремитесь?
Хотите перечислить в явном виде все множество попарно несоизмеримых действительных чисел?

Каждому классу эквивалентности сопоставить число $m$, (т.е. определить функцию из множества классов эквивалентности в множество чисел $m$, мощность которого будет нам известна, ну или доказать, что это континуум). Далее по теореме Кантора-Бернштейна показать, что мощность множества классов эквивалентности - это континуум. Трудность была в том, чтобы найти множество чисел $m$ (и его мощность).

Integrall в сообщении #579330 писал(а):
нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Точно, простите.
Integrall в сообщении #579330 писал(а):
нет неверно. Если $y = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}+2\sqrt{2}$, то $y/\sqrt{2} = 3$

Вам нужно просто определить ирр. числа $\alpha, \beta$ и т.д., которые попарно "просты" $\alpha/\beta$ не принадлежит $Q$. Всех их находить и явно выписывать не нужно. Далее нужно покозать: первое, что это множество не пусто, предьявив хотябы пару таких чисел, второе, показать, что таких чисел континуум.

Учитель просит явно найти и выписать.
Можно просто взять корни из простых чисел: ${\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7},...}$ - множество не пусто и континуально, потому что эквивалентно множеству действительных чисел. Хотя нет, мне кажется, что оно счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Yana Romanova в сообщении #579382 писал(а):
Учитель просит явно найти и выписать.


Очень-очень сомневаюсь, что это возможно. Понятно, что счетных систем представителей сколько угодно: $1,\pi,\pi^2,\ldots$ или $1,e,e^2,\ldots$. Но явно выписать континуальную систему без аксиомы выбора я бы не брался.

Как было выше сказано, попробуйте сделать так: просто возьмите из каждого класса по одному произвольному элементу и доказывайте, что полученная система континуальна. Например, из того, что ее мощность не больше континуума (поскольку это подмножество $\mathbb R$), и оно не счетно (т. к. иначе $\mathbb R$ представлялась бы в виде счетного объединения счетных множеств). Здесь используется гипотеза континуума.

На самом деле можно и без гипотезы континуума: как я уже говорил выше, для любого бесконечного множества $A$ верно, что $A\times\mathbb N$ равномощно $A$. Для этого нужна лемма Цорна, которая эквивалентна аксиоме выбора и которую мы используем в любом случае. По лемме Цорна стандартными рассуждениями можно показать, что бесконечное множество является объединением какого-то числа непересекающихся счетных множеств. Дальше при декартовом умножении на $\mathbb N$ можно отдельно умножать каждую компоненту и пользоваться равномощностью $\mathbb N\times\mathbb N$ и $\mathbb N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти мощность множества
Сообщение01.06.2012, 19:52 
Аватара пользователя


30/05/12
20
Спасибо вам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group