Идеалы в кольце непрерывных функций

[Профессор Снэйп]

dikiy в сообщении #576649 писал(а):

ну а теперь предполагаем, что в данном идеале $I$ есть хотя бы две функции $f,g$, которые не имеют общих нулевых точек. А значит в этот идеал входит и функция $f^2+g^2$ нигде не равная нулю. А значит, что в этот идеал входит единичная функция => это все кольцо.

Рассмотрите к качестве $R$ множество ограниченных и непрерывных функций из $(0,1)$ в $\mathbb{R}$. В этом $R$ есть максимальный идеал $M$, состоящий из функций, имеющих нулевой предел в нуле. Однако этот идеал не имеет вид $I_c$ для $c \in (0,1)$.

Так что, батенька, компактность носителя тут по делу, никуда Вы от неё не отвертитесь!

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #576656 писал(а):

Рассмотрите к качестве $R$ множество ограниченных и непрерывных функций из $(0,1)$ в $\mathbb{R}$. В этом $R$ есть максимальный идеал $M$, состоящий из функций, имеющих нулевой предел в нуле. Однако этот идеал не имеет вид $I_c$ для $c \in (0,1)$.

Этот идеал не максимален. Без Стоуна-Чеха тут сложно обойтись, как ни крути.

[Профессор Снэйп]

Padawan писал(а):

Там двумя функциями не обойтись. $n$ надо

Ага, есть такое. Для каждого $c$ берём $f_c \in I$ со свойством $f_c(c) \neq 0$, а для этой $f_c$ - окрестность $U_c$ точки $c$ со свойством $0 \not\in f_c(U_c)$. Затем смотрим на открытое покрытие $\{ U_c \}_{c \in [0,1]}$ и вспоминаем про компактность отрезка.

Ничего более простого, увы, не вижу.

-- Сб май 26, 2012 19:19:55 --

Padawan в сообщении #576658 писал(а):

Этот идеал не максимален.

Ну а если вместо $(0,1)$ взять $(0,1]$, то, надеюсь, будет максимальным

[Padawan]

Профессор Снэйп
Нет, не будет. Возьмем последовательность стремящуюся к нулю и рассмотрим идеал,состоящий из функций, стремящихся к нулю по этой последовательности. Ваш идеал входит в этот идеал, то есть Ваш не максимален. Говорю же, явно тут максимальный идеал не реально указать.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #576661 писал(а):

Профессор Снэйп
Нет, не будет. Возьмем последовательность стремящуюся к нулю и рассмотрим идеал,состоящий из функций, стремящихся к нулю по этой последовательности. Ваш идеал входит в этот идеал, то есть Ваш не максимален. Говорю же, явно тут максимальный идеал не реально указать.

Ну да, согласен.

Для контрпримера надо брать в качестве $R$ непрерывные функции из $(0,1]$ в $\mathbb{R}$, имеющие конечный предел в нуле. То есть просто выкинуть $0$ из носителя в исходной задаче. Тривиально, конечно, но всё равно ведь контрнпример!

[Padawan]

Профессор Снэйп
Тогда это не будет кольцом $C_b(X)$ ограниченных непрерывных функций Неполноценный контрпример получается.

Вообще, фразу "компактность здесь существенна" надо бы уточнить.

[Профессор Снэйп]

Для того, чтобы показать dikiy неполноценность его рассуждений, он вполне полноценен

[dikiy]

Padawan в сообщении #576653 писал(а):

dikiy
Да ё-моё. Что значит "а теперь предполагаем"? Надо не предполагать, а доказывать. Там двумя функциями не обойтись. $n$ надо

зачем n? Если нет двух таких функций, то тем более нет и n таких.

То есть ВСЕ функции должны иметь хотя бы одну общую нулевую точку.

[Профессор Снэйп]

dikiy в сообщении #576671 писал(а):

зачем n? Если нет двух таких функций, то тем более нет и n таких.

То есть ВСЕ функции должны иметь хотя бы одну общую нулевую точку.

Детство какое-то, ей богу!

Предположим, что любая пара функций из $I$ имеет общую нулевую точку. Что теперь? Почему ВСЕ функции из $I$ обязаны иметь одну и ту же общую нулевую точку?

Вот, например, геометрическая фигура - треугольник. Любые две стороны треугольника имеют общую точку. Но это ведь не значит, что существует точка, в которой пересекаются все три стороны треугольника!

[dikiy]

Профессор Снэйп в сообщении #576656 писал(а):

dikiy в сообщении #576649 писал(а):

ну а теперь предполагаем, что в данном идеале $I$ есть хотя бы две функции $f,g$, которые не имеют общих нулевых точек. А значит в этот идеал входит и функция $f^2+g^2$ нигде не равная нулю. А значит, что в этот идеал входит единичная функция => это все кольцо.

Рассмотрите к качестве $R$ множество ограниченных и непрерывных функций из $(0,1)$ в $\mathbb{R}$. В этом $R$ есть максимальный идеал $M$, состоящий из функций, имеющих нулевой предел в нуле. Однако этот идеал не имеет вид $I_c$ для $c \in (0,1)$.

Так что, батенька, компактность носителя тут по делу, никуда Вы от неё не отвертитесь!

берем из данного идеала функцию f, которая везде положительна. Берем из кольца функцию 1/f (она, очевидно входит в кольцо, ибо так же ограничена на (0,1) и непрерывна). множим f на 1/f и получаем единичную функцию => данный идеал M является все кольцом => он не максимален по определению.

[Профессор Снэйп]

dikiy в сообщении #576675 писал(а):

она, очевидно входит в кольцо, ибо так же ограничена

С какой это радости она вдруг будет ограничена?

[dikiy]

Профессор Снэйп в сообщении #576677 писал(а):

dikiy в сообщении #576675 писал(а):

она, очевидно входит в кольцо, ибо так же ограничена

С какой это радости она вдруг будет ограничена?

аргх. Я попутал точечную ограниченность с равномерной.

[Padawan]

dikiy в сообщении #576675 писал(а):

берем из данного идеала функцию f, которая везде положительна

Откуда мы знаем, что она там есть?
Профессор Снейп уже все решение исходной задачи расписал, а Вы и не заметили даже.

[dikiy]

Цитата:

Предположим, что любая пара функций из $I$ имеет общую нулевую точку. Что теперь? Почему ВСЕ функции из $I$ обязаны иметь одну и ту же общую нулевую точку?

да. мой фейл.

-- 26.05.2012, 15:01 --

Padawan в сообщении #576680 писал(а):

dikiy в сообщении #576675 писал(а):

берем из данного идеала функцию f, которая везде положительна

Откуда мы знаем, что она там есть?
Профессор Снейп уже все решение исходной задачи расписал, а Вы и не заметили даже.

все я заметил. post576659.html#p576659

[Kallikanzarid]

Со Стоуном-Чехом получилась интересная штука, спасибо