Идеалы в кольце непрерывных функций

[Профессор Снэйп]

Хожу по кухне и пытаюсь осмыслить ситуацию.

Пусть $X$ - топологическое пространство и $R$ - кольцо всех непрерывных функций из $X$ в $\mathbb{R}$.

Если $X$ компактно, то всякий максимальный идеал в $R$ имеет вид $I_c$ для некоторого $c \in X$. Аргументы те же, что и ранее.

Пусть теперь $X$ не компактно. Пусть $\{ U_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ - открытое покрытие $X$, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Рассмотрим

$$ I = \{ f \in R : \text{ существует конечное } \Gamma \subseteq \Lambda \text{ такое, что } f(x) = 0 \text{ для всех } x \not\in \bigcup_{\gamma \in \Gamma} U_\gamma \} $$

Ясно, что $I$ - собственный идеал. В каком случае можно утверждать, что любой максимальный идеал, расширяющий $I$, не является идеалом вида $I_c$? Вроде если $X$ метризуемо, то точно можно...

-- Сб май 26, 2012 20:58:48 --

Похоже, что $X \in T_{3 \frac{1}{2}}$ достаточно.

Залез в Вики, посмотрел, что такое компактификация Стоуна-Чеха. Оно куда-то туда и выруливает...