Идеалы в кольце непрерывных функций

[Sngak]

Задача:
Пусть $R$ кольцо непрерывных функций на отрезке $[0, 1], I_c = \{ f(x) \in | f(c) = 0\}, 0 \le c \le 1$. Доказать, что $I_c$ максимальный идеал кольца $R$ и что всякий максимальный идеал кольца $R$ совпадает с $I_c$ для некоторого $c$.
Зачатки решения: (1 часть)
Для док-ва первой части воспользуемся тем, что $I_c$ максимален если $R/I_c$ является полем. Это так, так как элементы классов вычетов не делятся на (x-c) - порождающий элемент идеала $I_c$ и следовательно $I_c$ максимален.
Что делать со второй частью не соображу, подскажите?

[dikiy]

попробуй доказать обратное утверждение. То есть из того, что $I \neq I_c$ следует, что $I$ не максимален.

попробуй для начала доказать, что если в $I$ есть функция, которая нигде не равна нулю, то тогда этот идеал является всем кольцом (а значит и не максимальный по определению).

[Профессор Снэйп]

Где-то была уже эта задача на форуме. По-моему, в олимпиадном разделе пару лет назад обсуждалась.

Насколько я помню, для второй части надо использовать компактность $[0,1]$.

[dikiy]

Профессор Снэйп в сообщении #576476 писал(а):

Где-то была уже эта задача на форуме. По-моему, в олимпиадном разделе пару лет назад обсуждалась.

Насколько я помню, для второй части надо использовать компактность $[0,1]$.

Тут это не самое важное. Компактность дает нам лишь то, что функция не только непрерывна, но и ограничена. Соль доказательства не в этом.

Весь цимес как раз в том, чтобы использовать определения идеала. Решение пока публиковать не надо. Дайте ТС подумать :)

[Kallikanzarid]

Профессор Снэйп
Зачем?

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #576476 писал(а):

Насколько я помню, для второй части надо использовать компактность $[0,1]$.

dikiy в сообщении #576478 писал(а):

Компактность дает нам лишь то, что функция не только непрерывна, но и ограничена.

Не только.

Kallikanzarid в сообщении #576481 писал(а):

Зачем?

Затем, что пространство максимальных идеалов кольца $C^*(X)$ непрерывных ограниченных функций на некомпактном вполне регулярном пространстве $X$ (с соответствующей топологией) - это компактификация Стоуна - Чеха пространства $X$.

[Padawan]

dikiy в сообщении #576478 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #576476 писал(а):

Насколько я помню, для второй части надо использовать компактность $[0,1]$.

Соль доказательства не в этом.

В этом. Если я правильно понял то, что Вы написали во втором посте, то там компактность очень существенно используется.

А для некомпактных пространств утверждение неверно. Максимальные идеалы образуют те функции $f\in C_b(X)$, продолжения которых $\widetilde f$ на $\beta X$ обращаются в нуль в некоторой фиксированной точке $c\in\beta X$. В общем, присоединяюсь к Someone.

[dikiy]

Padawan в сообщении #576524 писал(а):

dikiy в сообщении #576478 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #576476 писал(а):

Насколько я помню, для второй части надо использовать компактность $[0,1]$.

Соль доказательства не в этом.

В этом. Если я правильно понял то, что Вы написали во втором посте, то там компактность очень существенно используется.

А для некомпактных пространств утверждение неверно. Максимальные идеалы образуют те функции $f\in C_b(X)$, продолжения которых $\widetilde f$ на $\beta X$ обращаются в нуль в некоторой фиксированной точке $c\in\beta X$. В общем, присоединяюсь к Someone.

зачем такие сложности, а тем более какие-то Стоуны-Чехи?

во втором посте я имел в виду то, что если функция f кольца нигде не равна нулю на [0,1], то в данном кольце будет также существовать и функция g=1/f. А значит в нем так же существует единица кольца => данный идеал не может быть максимальным по определению, ибо сам есть кольцо.

тут мы вообще нигде компактность не используем.

[Padawan]

dikiy
Никаких сложностей. Стоун-Чех упомянут только для того, чтобы показать, что без компактности обойтись нельзя.

Откуда следует, что в $R$ найдется функция, всюду отличная от нуля?

[dikiy]

Padawan в сообщении #576560 писал(а):

dikiy
Никаких сложностей. Стоун-Чех упомянут только для того, чтобы показать, что без компактности обойтись нельзя.

Откуда следует, что в $R$ найдется функция, всюду отличная от нуля?

ну мы доказываем обратное утверждение. То есть если данный идеал не является $I_c$, то он не максимальный.

Ну и рассматриваем необходимые (а также возможные) свойства такого идеала (который не является $I_c$). В качестве возможного свойства имеем, что одна из функций нигде не равна нулю. В последствии это понадобится для рассмотрения необходимого свойства идеала $ I\neq I_c$ - существования в идеале хотя бы двух функций, который не имеют ни одной общей нулевой точки.

[Padawan]

dikiy
Нет, мы можем только утверждать, что для любой точки $c\in X$ найдется функция $f\in I$ такая, что $f(c)\neq 0$ (в противном случае $I\subset I_c$, а так как $I$ -- максимальный идеал, то $I=I_c$)

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #576634 писал(а):

...так как $R$ -- максимальный идеал, то $R=I_c$

Подождите! $R$ - это ведь всё кольцо непрерывных функций. По крайней мере, в условии символ $R$ обозначает именно это.

-- Сб май 26, 2012 18:56:04 --

(Оффтоп)

А задачка-то совсем простенькая, оказывается.

[Padawan]

Профессор Снэйп
Ой, перепутал. Вместо $R$ должно быть $I$ -- рассматриваемый идеал. Исправил.

[dikiy]

Padawan в сообщении #576634 писал(а):

dikiy
Нет, мы можем только утверждать, что для любой точки $c\in X$ найдется функция $f\in I$ такая, что $f(c)\neq 0$ (в противном случае $I\subset I_c$, а так как $I$ -- максимальный идеал, то $I=I_c$)

ну а теперь предполагаем, что в данном идеале $I$ есть хотя бы две функции $f,g$, которые не имеют общих нулевых точек. А значит в этот идеал входит и функция $f^2+g^2$ нигде не равная нулю. А значит, что в этот идеал входит единичная функция => это все кольцо.

[Padawan]

dikiy
Да ё-моё. Что значит "а теперь предполагаем"? Надо не предполагать, а доказывать. Там двумя функциями не обойтись. $n$ надо