Что такое матрица плотности?

[Munin]

g______d в сообщении #575657 писал(а):

В квантовой механике наблюдаемые описываются самосопряженными операторами.

Вот я доказательства этого пункта не знаю...

[g______d]

Я тоже. Я обычно считаю это определением :)

[Lukum]

Спасибо всем. Вроде продвигаюсь. Поперемножал матрицы немного на матрицы и на вектора.
Я тут тихо сам с собою вслух...

Получается, что если есть в операторе А ненулевые элементы вне главной диагонали, то вектор, на который действуем оператором вращается и растягивается (или сжимается).
Если у оператора А вне главной диагонали нули, то вектор только растягивается (или сжимается).
В общем это понятно.

Теперь понятие проектор.
Погуглил, оказывается это тоже самое, что и импотентный, т.е. что с ним не делай, остается в прежнем состоянии.
Шутка.
Оператор $A$ является проектором, если $AA=A$
Если $A,B$ операторы, и $AB=BA$ то это произведение тоже является проектором.

Вроде понял, но по простому не могу сформулировать.
Примеры могу привести, получается, что проекторами являются единичная матрица, матрица у которой некоторые строки состоят из нулевых элементов.

[Munin]

Lukum в сообщении #575810 писал(а):

Получается, что если есть в операторе А ненулевые элементы вне главной диагонали, то вектор, на который действуем оператором вращается и растягивается (или сжимается).
Если у оператора А вне главной диагонали нули, то вектор только растягивается (или сжимается).
В общем это понятно.

Не совсем. Возьмите матрицу
$\displaystyle\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]$ и вектор $\displaystyle\left[\begin{array}{c}\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right].$ Она его тоже повернёт и сожмёт.

Lukum в сообщении #575810 писал(а):

Погуглил, оказывается это тоже самое, что и импотентный

Не импотентный, а идемпотентный. И в данном случае подразумеваются не все идемпотентные операторы, а только определённого вида, образ которых одномерное подпространство.

[Lukum]

1. Да, повернет и сожмет. У меня была ошибка.
2. Надо подумать еще над понятием проектора. Там, кажется, нужны будут собственные числа.
3. "Не импотентный, а идемпотентный." - в игре слов этой шутка заключалась.

[Munin]

Lukum в сообщении #575853 писал(а):

Надо подумать еще над понятием проектора.

Рассмотрите $n$-мерное пространство. Проектором в общем смысле, и идемпотентным оператором в том же смысле, называется оператор, оставляющий на месте $k$-мерное подпространство этого пространства, а всё остальное "сбрасывающее" на него. Идемпотентные операторы могут "сбрасывать" как хотят, а проекторы - только в перпендикулярном направлении.

Вообще, на $k$ не накладывается никаких ограничений: $0\leqslant k\leqslant n.$ Но в данном случае подразумеваются проекторы одного частного вида: $k=1.$ По крайней мере, таковы операторы плотности чистых квантовых состояний. Для смешанных состояний могут реализоваться случаи $k>1.$ Но это будут уже не проекторы, поскольку они одновременно с проецированием будут осуществлять ещё и сжатие своего $k$-мерного подпространства-образа (и не обязательно одинаково по всем направлениям).

[Lukum]

(Оффтоп)

Буду "медитировать" :)
Где-то начало проясняться, что физики делают :)
Немного фантазий.
Измерение прибором видимо описывается как воздействие оператором-проектором на вектор состояния.
Воздействуя, проектором мы выделяем некое фиксированное состояние (чистое состояние) объекта в виде измерения одного из собственных чисел оператора. Какое именно собственное число мы получим при измерении неизвестно, процесс вероятностный.
Т.е. измерили это нашли проекцию на один из собственных векторов оператора.
От измерения к измерению собственный вектор будет меняться в соответствии в вероятностью обнаружить объект в том или ином состоянии.
ps
тему нашел Измерения в Квант . Механике http://dxdy.ru/posting.php?mode=edit&f=53&p=575886

[Munin]

Всё правильно, только

Lukum в сообщении #575886 писал(а):

От измерения к измерению собственный вектор будет меняться в соответствии в вероятностью обнаружить объект в том или ином состоянии.

Не "собственный вектор", а "вектор состояния" - вероятно, описка.

Кроме того, вектор состояния будет эволюционировать и сам по себе, если измерения проводятся с интервалом времени между ними, а измеряемая физическая величина не коммутирует с гамильтонианом.

Ссылку на тему вы дали неправильную :-) Вот правильная: topic21009.html

[espe]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #575677 писал(а):

g______d в сообщении #575657 писал(а):

В квантовой механике наблюдаемые описываются самосопряженными операторами.

Вот я доказательства этого пункта не знаю...

ИМХО, математического доказательства нет и не может существовать в принципе. В математическом смысле это постулат.

С физической точки зрения это объясняется тем, что у самосопряжённых операторов вещественные собственные значения. И если сопоставить какой-либо физической величине не самосопряжённый оператор, то эта физ. величина сможет принимать комплексные значения, чего не может быть для наблюдаемых величин с физической точки зрения.

[Munin]

(Оффтоп)

А почему вообще операторам? А почему линейным? Как-то это словами про C-алгебры произносилось, но для меня так и было неясными заклинаниями без понимания смысла...

[Lukum]

Просьба к знающим
Поясните термин "наблюдаемая" по возможности "на пальцах".
В моем понимании, "наблюдаемая" это любая характеристика, значение которой можно измерить, примерно так?

[Munin]

В классической физике не приходилось особо оговаривать, что такое наблюдаемая. Там спокойно можно было наблюдать все обобщённые координаты системы $q_1,\ldots q_n,$ и соответственно, вычислять любые функции от них, или какие-то наблюдать непосредственно. В квантовой физике обобщённые координаты имеют неопределённость, и какие функции от них можно наблюдать одновременно, определяется принципом дополнительности. Из обобщённых координат и обобщённых импульсов $p_1,\ldots p_n$ формируется алгебра наблюдаемых, в которой разные функции выражаются через них как алгебраические выражения, осложнённые тем, что множители в этих выражениях неперестановочны, $ab\ne ba.$ Некоторые такие функции можно измерить реальными приборами, некоторые - вычислить из измерений. Следствием математических свойств алгебры наблюдаемых является то, что все такие функции - являются линейными операторами на пространстве векторов состояния, причём эрмитовыми (в случае, если матрица действительная - она симметрична, иначе - самосопряжённа). И это и принимается за определение наблюдаемой в КМ: берём любой эрмитов оператор, и его собственные значения называем наблюдаемой физической величиной.

[Lukum]

Возникают еще вопросы :)
Вот есть у нас какая-либо система. И мы можем наблюдать траекторию ее параметров время от времени измеряя их. По измерениям видимо можно построить матрицу плотности путем измерения собств.чисел оператора и восстановления собств.векторов оператора, правильно?
Зная оператор, мы, вроде как, знаем эволюцию системы.
С другой стороны, вроде как, сам оператор тоже может эволюционировать.
Возникает также вопрос как найти оператор эволюции оператора.
И как мы можем различить чем вызваны изменения траектории, изменением оператора или это типичная для системы динамика?
ps
Спасибо за ответы, супер :)
Где-то мое понимание приближалось к этому, теперь ускорилось в правильном направлении :)
Мне понравилось, красиво получается.

-- 25.05.2012, 13:41 --

Munin в сообщении #575373 писал(а):

То есть, наш оператор - это ровно проектор на направление, заданное исходным вектором состояния

Еще раз прочел фразу.
Получается по сути, проектором будет являться любой оператор, сконструированный по нашему алгоритму по исходныму вектору состояния. Т.е. берем конструируем оператор по какому-либо вектору состояния, получаем проектор по направлению, заданному нашим исходным вектором состояния.
Правильно?

[g______d]

Munin в сообщении #576025 писал(а):

(Оффтоп)

А почему вообще операторам? А почему линейным? Как-то это словами про C-алгебры произносилось, но для меня так и было неясными заклинаниями без понимания смысла...

(Оффтоп)

Любая $C^*$-алгебра вкладывается в алгебру операторов в гильбертовом пространстве. Почему алгебра наблюдаемых должна быть $C^*$-алгеброй --- я не знаю. В принципе, это довольно красивая математическая структура, в которой аксиом мало, а хороших свойств много.

Почему операторы/элементы алгебры, отвечающие физическим наблюдаемым, должны быть самосопряженными --- видимо, потому что мы хотим уметь вычислять функцию от наблюдаемой. В принципе, функции можно исчислять от нормальных операторов, а не только от самосопряженных, но тут уже какие-то разговоры про вещественность и, кроме того, нормальный оператор сводится к паре из унитарного и самосопряженного оператора, коммутирующих между собой.

[Munin]

Lukum в сообщении #576097 писал(а):

Вот есть у нас какая-либо система. И мы можем наблюдать траекторию ее параметров время от времени измеряя их.

Это возможно только для классической системы. Для квантовой системы при этом получится набор случайных значений. У квантовой системы нет траектории.

Точнее, если её не измерять, а оставить в покое, то её квантовый вектор состояния будет совершать какую-то эволюцию в пространстве состояний (но не в пространстве параметров!). Но наблюдать её будет нельзя, можно будет её только измерить в начале и в конце.

Lukum в сообщении #576097 писал(а):

С другой стороны, вроде как, сам оператор тоже может эволюционировать.
Возникает также вопрос как найти оператор эволюции оператора.

А, это чисто расчётная ерунда, см. ЛЛ-3 § 13, берётся оператор эволюции волновой функции, и умножается на оператор физвеличины справа и слева (справа - в обратном = сопряжённом виде).

Lukum в сообщении #576097 писал(а):

Получается по сути, проектором будет являться любой оператор, сконструированный по нашему алгоритму по исходныму вектору состояния. Т.е. берем конструируем оператор по какому-либо вектору состояния, получаем проектор по направлению, заданному нашим исходным вектором состояния.
Правильно?

Да.

g______d
Спасибо, щас бегу, потом почитаю.