Что такое матрица плотности?

[Lukum]

Здравствуйте, уважаемые форумяне.
Помогите разобраться, что такое матрица плотности в квантовой механике?
Гуглил самостоятельно, смотрел какие-то книжки, но разобраться не смог.
Если возможно, то просьба объяснить на простых примерах.
Элементарные понятия о матрицах, комплексных числах и теории вероятности имеются.

[Himfizik]

Lukum в сообщении #575333 писал(а):

Помогите разобраться

Можно сказать кучу слов о матрице плотности, при этом по-забывчивости опустив много того, что не следует упускать из рассказа. Поэтому для знакомства с этим объектом, я бы порекомендовал, сначала почитать про опыт Штерна-Герлаха из фейнмановских лекций. А затем сразу же книгу немца К. Блума "Теория матрицы плотности и ее приложения". Если не требуется глубокого погружения, то вполне достаточно прочитать только первую главу из этой книги.

(Оффтоп)

Lukum в сообщении #575333 писал(а):

уважаемые форумяне

Как Вы нас обозвали то

[Lukum]

Да, просматривал это:
Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения
Стайер Девять_формулировок_квантовой механики
и еще много, что под руку попадало. Не могу продраться сквозь необычные обозначения.

Глубокого погружения не требуется. Хочу просто понять это.
Думается, что понятие должно быть достаточно легким для того, кто знает, что такое плотность вероятности :)
И не получается понять.

Я бы предпочел пример. Возьмем шестигранный кубик.
Матрица плотности должна быть равна
p(i,i)=1/6 для i=1,...,6
p(i,j)=0 для i<>j
Мне кажется, я уже ошибся?

[Munin]

Матрица плотности - это идеологически очень простая штука. КМ можно записывать как для векторов состояния, так и для матриц плотности, и во многих случаях это будут эквивалентные способы представления.

Вектор состояния - это вектор, представим себе его как вектор-столбец

$$\psi_i=\left[\begin{array}{c}\psi_1\\\vdots\\\psi_n\end{array}\right]=\lvert\psi\rangle.$$

Вы знаете, что если вектор-строку умножить на вектор-столбец, получится скалярное произведение. Но можно заметить, что если их умножить в обратном порядке, вектор-столбец на вектор-строку, то получится матрица $n\times n.$ Мы можем проделать эту операцию для вектора с самим собой (точнее, с его сопряжённым):

$$\psi_i\psi_j^\dagger=\left[\begin{array}{c}\psi_1\\\vdots\\\psi_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\psi_1^*&\ldots&\psi_n^*\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\psi_1\psi_1^*&\ldots&\psi_1\psi_n^*\\\vdots&\ddots&\vdots\\\psi_n\psi_1^*&\ldots&\psi_n\psi_n^*\end{array}\right]=\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert.$$

В такой матрице много элементов, глаза разбегаются, но суть её легко понять, если рассмотреть её как оператор (часто так прямо и обсуждают оператор плотности). Что будет, если умножить её слева на произвольный вектор-столбец? Вектор-строка $\langle\psi\rvert$ умножится на него, дав скалярное произведение, а последующий за ним вектор-столбец $\lvert\psi\rangle$ умножится на это скалярное произведение как на численный коэффициент. Итого, наш произвольный вектор-столбец будет рассмотрен в проекции на ось, и потом заменён на вектор вдоль этой оси, длиной в проекцию. То есть, наш оператор - это ровно проектор на направление, заданное исходным вектором состояния $\lvert\psi\rangle.$ Очевидно, он несёт столько же информации (у нас, может быть, потерялась комплексная фаза, но она в КМ и не нужна, поскольку не имеет физического смысла).

Саму КМ записать для нового способа представления просто: если у нас раньше был любой оператор эволюции $S,$ действовавший $\lvert\psi\rangle\to S\lvert\psi\rangle,$ то теперь мы так же можем подействовать и на матрицу плотности: $\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert\to S\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert S^\dagger.$ Если раньше мы вычисляли среднее значение наблюдаемой как $\langle\psi\vert f\vert\psi\rangle,$ то сейчас должны взять $\operatorname{Tr}[f\lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert].$ Разумеется, и от базиса к базису (в КМ терминологии - "от представления к представлению") мы тоже можем переходить без проблем. Вот и всех отличий.

Но на самом деле аппарат матрицы плотности шире по возможностям, чем аппарат векторов состояния. Если мы проделаем любые операции сложения с векторами состояния, мы снова получим вектор состояния - мы можем перейти от чистого состояния только к суперпозиции, которая в другом базисе снова будет чистым состоянием. Если же мы возьмём две матрицы плотности, то мы можем получить из них (просто линейной комбинацией) новую матрицу, которая по свойствам будет не хуже, чем исходные, но не будет отвечать никакому чистому состоянию, а будет называться смесью.

Теперь, зачем это нужно. Есть три примера, которые по сути исчерпывают три направления приложения матриц плотности (во всех остальных случаях достаточно использовать КМ в виде векторов состояния). Книга Блума упоминает только одно из них, ЛЛ-3 - другое только одно.

Например:

Пусть у нас есть квантовая система, состоящая из нескольких подсистем, например, две взаимодействующие между собой частицы. Если мы сосредоточим своё внимание только на одной подсистеме (на одной частице), то мы не сможем описать её вектором состояния - не всегда её состояние будет чистым. Чтобы рассматривать её эволюцию и наблюдаемые, нужно записать её состояние как матрицу плотности.

Например:

Пусть у нас есть квантовая статистическая система, которая находится случайно в одном из множества состояний, мы не знаем, в каком. Тогда, чтобы описать её свойства, мы должны снова прибегнуть к матрице плотности, считая её взвешенной суммой чистых состояний, где веса - вероятности. Такое описание необходимо, когда мы рассматриваем систему, не замкнутую, а находящуюся в тепловом контакте с окружением (при конечной температуре).

Например:

Пусть мы экспериментаторы, и приготавливаем квантовую систему в каком-то состоянии (на начало квантового эксперимента). У нас могут быть способы приготовить систему в чистом состоянии, так, чтобы были точно заданы все её квантовые числа; а могут быть способы приготовить её в состоянии смеси, так что мы каких-то квантовых чисел не знаем. Например, пусть у нас есть способ излучить фотон, но неизвестной поляризации. Тогда в базисе состояний поляризации наш фотон приходится описать матрицей плотности, считая его дополнительные состояния поляризации равновероятными.

[Himfizik]

Lukum в сообщении #575358 писал(а):

Думается, что понятие должно быть достаточно легким для того, кто знает, что такое плотность вероятности :)

Lukum в сообщении #575358 писал(а):

Я бы предпочел пример. Возьмем шестигранный кубик.

Понятие, действительно, не очень сложное и тем паче для того, "кто знает, что такое плотность вероятности". Но Вам ведь не одно определение требуется, иначе хватило бы совсем небольшого параграфа из ЛЛ. Хорошо относиться к физическим понятиям не как к абстрактным конструкциям, но к объектам с определенным физическим содержанием. Самое, на мой взгляд, последовательное, логичное, простое (и совсем без дебрей в обозначениях, о которых Вы намекаете) изложение именно у Блума, взгляните на первую главу еще раз с бОльшим вниманием (старт с опыта Штерна-Герлаха, материал разбирается на множестве примеров).

Если очень грубо заглянуть с позиций статистики (без всяких физических вступлений). То картина следующая. У Вас есть система, содержащая две взаимодействующие подсистемы. Первая подсистема описывается набором переменных $x,$ а вторая - $y.$ В общем случае волновую функции всей системы нельзя представить в виде произведения двух функций для каждой подсистемы. И несмотря на то, что произвести такое разделение не удается "в лоб", а уметь описывать подсистему с переменными $x$ очень хочется, можно ввести т.н. матрицу плотности.

Пусть у Вас в руках есть оператор физической величины $\widehat{A}(x)$ (для первой подсистемы), среднее значение которого Вы грезите найти. Как Вы запишите это среднее?! Вот так:
$<A>=\int \psi^*(x,y)\widehat{A}\psi(x,y)dxdy=...$ Интегрирование проводим по названию форума, в котором пишем. Представим среднее в виде $...=\int A(x',x)\rho(x,x')dxdx',$
где $\rho(x,x')=\int \psi^*(x',y)\psi(x,y)dy - $ как раз матрица плотности подсистемы $x,$ а $A(x',x)=\delta(x-x')\widehat{A}(x) - $ оператор наблюдаемой величины в матричном виде.

Мораль: хотим описывать незамкнутые системы, надо использовать оператор с нехитрым названием - матрица плотности.

P.S. В таком изложении индексы матрицы непрерывно пробегают область определения. Существует также рассмотрение с дискретными индексами в т.н. энергетическом представлении. Могу и про него написать необходимый минимум.

P.P.S. Но это минимум слов. О физической сути читайте у Блума.

[Munin]

Lukum в сообщении #575358 писал(а):

Я бы предпочел пример. Возьмем шестигранный кубик.
Матрица плотности должна быть равна
p(i,i)=1/6 для i=1,...,6
p(i,j)=0 для i<>j
Мне кажется, я уже ошибся?

Нельзя считать, что если вы указали объект, то его матрица плотности уже задана. Матрица плотности описывает не объект, а состояние объекта. Например, если мы подкинули шестигранный кубик, и ничего не знаем о том, на какую грань он упал, то да, его матрица плотности

$$\left[\begin{array}{cccccc}\tfrac{1}{6}&&&&&\\&\tfrac{1}{6}&&&&\\&&\tfrac{1}{6}&&&\\&&&\tfrac{1}{6}&&\\&&&&\tfrac{1}{6}&\\&&&&&\tfrac{1}{6}\end{array}\right].$$

Но если мы знаем, что на кубике шестёрка, то его матрица плотности будет

$$\left[\begin{array}{cccccc}0&&&&&\\&0&&&&\\&&0&&&\\&&&0&&\\&&&&0&\\&&&&&1\end{array}\right].$$

А если на нём равновероятны двойка и тройка, то

$$\left[\begin{array}{cccccc}0&&&&&\\&\tfrac{1}{2}&&&&\\&&\tfrac{1}{2}&&&\\&&&0&&\\&&&&0&\\&&&&&0\end{array}\right].$$

А вот пример поинтересней:

$$\left[\begin{array}{cccccc}0&&&&&\\&\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}&&&\\&\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}&&&\\&&&0&&\\&&&&0&\\&&&&&0\end{array}\right].$$

Он говорит о том, что у нас не смесь двух состояний $\lvert 2\rangle$ и $\lvert 3\rangle,$ а суперпозиция $\tfrac{1}{\sqrt{2}}\lvert 2\rangle+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\lvert 3\rangle.$ А вот ещё пример:

$$\left[\begin{array}{crrccc}0&&&&&\\&\tfrac{1}{2}&-\tfrac{1}{2}&&&\\&-\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}&&&\\&&&0&&\\&&&&0&\\&&&&&0\end{array}\right].$$

Сможете разобраться?

[Himfizik]

Himfizik в сообщении #575378 писал(а):

О физической сути читайте у Блума.

Ну еще у Munin'a. Он, кажется, успел написать очень много из того, что положено знать о матрице плотности.

[Munin]

Спасибо :-) Посмотрим, что скажет топикстартер.

[Lukum]

Мне надо не спеша прочитать и осмыслить.
По мере появления вопросов , я буду задавать (с вашего позволения) их.

[Munin]

Lukum в сообщении #575439 писал(а):

Мне надо не спеша прочитать и осмыслить.

Лучше поделайте упражнения. Возьмите вектор состояния, другой, их суперпозицию. Посчитайте их эволюцию, наблюдаемые. Сделайте то же самое для матриц плотности. Почувствуйте своими пальцами, как всё это происходит.

[Lukum]

1. Я догадываюсь (подозреваю ), что суперпозиция состояний и смесь состояний не одно и тоже, но чем именно различаются пока не понимаю.
2. Смутно понимаю само понятие состояния, что под этим подразумевают физики.

3. Возьмем рабочую Модель Кубик в Коробке (МКК для краткости).

Пусть имеется непрозрачная коробка со встроенным механизмом "тряски" содержимого.
На коробке есть кнопка. Если нажать на кнопку, то механизм тряски временно останавливается на 1 сек, и на дисплее коробки появляется число, которым кубик лежит вверх. Далее механизм тряски снова включается автоматически и работает до очередного нажатия кнопки.

4. Время от времени понажимав кнопку, мы посмотрели на различные цифры.
4.1. Пусть выпадали цифры 132 636 542. Логично предположить, что у нашего объекта есть 6 различных состояний, которые характеризуются числами от 1,2,3,4,5,6. Это правильно?
4.2. Пусть выпадали цифры 134 636 541. Цифра 2 не попалась, тогда логично строить предположение, что различных состояний у нас 5, правильно?
4.3. И еще. У нас есть некоторое свойство у прибора: показывать цифру, характеризующую объект.
Почему бы мне не думать, что эти цифры характеризуют одно состояние разными значениями?
Или в этом есть произвол, как нам удобно, в зависимости от того, что мы желаем, так и делаем.
4.4. Например, мы могли бы раскрасить грани с числами 1, 2 в черный цвет и с числами 3,4,5,6 в белый (добавили в прибор еще одну кнопку :) .
Тогда в зависимости от того, какую кнопку я нажимаю , я и строю модель содержимого. Если я нажимаю кнопку определения цвета, то мне будут встречаться состояния Б,Ч (Белый, Черный).
И я определю со временем, что матрица плотности у нас такая:

$$\left[\begin{array}{rr} \tfrac{1}{3} & 0 \\0 & \tfrac{2}{3}& \end{array}\right].$$

[Munin]

Lukum в сообщении #575504 писал(а):

Я догадываюсь (подозреваю ), что суперпозиция состояний и смесь состояний не одно и тоже, но чем именно различаются пока не понимаю.

Правильно, это не одно и то же. Но чем именно они различаются, можно объяснить только на матрице плотности, а не на векторе состояния. Векторы состояния позволяют описывать только чистые состояния и суперпозиции, но не смеси.

Возьмите три матрицы, и попробуйте попереводить их в разные ортонормированные базисы:

$$\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]\qquad\qquad\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{2}\end{array}\right]\qquad\qquad\left[\begin{array}{cc}\tfrac{1}{2}&0\\0&\tfrac{1}{2}\end{array}\right].$$

И поумножать их на разные векторы. Поймёте разницу между проекторами и другими эрмитовыми матрицами (здесь у нас всё действительное, так что эрмитовы - то же самое, что симметричные).

Lukum в сообщении #575504 писал(а):

2. Смутно понимаю само понятие состояния, что под этим подразумевают физики.

Ну так для этого надо сначала обычную КМ с векторами состояния хорошо изучить. ЛЛ-3 (а перед этим ЛЛ-1), ФЛФ 8-9.

Lukum в сообщении #575504 писал(а):

Пусть имеется непрозрачная коробка со встроенным механизмом "тряски" содержимого.
На коробке есть кнопка. Если нажать на кнопку, то механизм тряски временно останавливается на 1 сек, и на дисплее коробки появляется число, которым кубик лежит вверх. Далее механизм тряски снова включается автоматически и работает до очередного нажатия кнопки.

Всё это к квантовым состояниям не имеет ни малейшего отношения. Если вы не интересуетесь квантами, матрица плотности вас тоже интересовать не должна.

[Lukum]

Теперь к посту от 24.05.2012, 00:36 уважаемого Munin.
Я понял это примерно так, расскажу относительно неформально.

1. Есть у нас некое пространство Столбцов, это наши вектора, вектор-столбцы.

2. По этому пространству мы при желании можем построить пространство Строк, наши вектор-строки.

3. Захотелось нам определить две операции между этими пространствами:
3.1. Скалярное произведение=Внутреннее произведение= Строка*Столбец=число
3.2. Внешнее произведение = Столбец * Строка = Матрица= Оператор= или Оператор плотности

4. Матрица*Столбец = Столбец
на это можно смотреть так: подействовали на некий Столбец1 нашей матрицей, которую назвали мы Оператор и получили
Оператор* Столбец1= Столбец2 немного другой Столбец

5. Т.е. наш Оператор преобразовывает наши Столбцы по некоторому линейному закону, который определяется конкретным видом элемнтов матрицы Оператор, которые в свою очередь зависят от конкретных представителей из двух пространств, пространства Столбцов и пр-ва Строк.

Оператор* Столбец1= (Столбец * Строка) * Столбец1 = Столбец * (Строка * Столбец1 ) = Столбец * Число
т.е. подействовали оператором на произвольный Столбец1 и получили проекцию произвольного Столбца1 на наш исходный Столбец.

Пока хватит, потом дальше пойду текст разбирать.
ps
все действия смогу формально записать

[Munin]

Вы сказали:

Lukum в сообщении #575333 писал(а):

Элементарные понятия о матрицах... имеются.

Я это так понял, что и о линейной алгебре вообще - тоже имеются.

А сейчас вы переписываете основы линейной алгебры, как будто это для вас что-то новое.

Да, всё так, как вы пишете, только с маленьких букв :-)

[g______d]

Есть абстрактный подход. В квантовой механике наблюдаемые описываются самосопряженными операторами. Для простоты давайте считать их ограниченными (тогда вещи вроде операторов координаты и импульса туда не попадут, но ограниченные функции от них попадут). Состоянием называется линейный функционал, сопоставляющий оператору число, неотрицательное для неотрицательных операторов, и равное 1 от тождественного оператора. Он автоматически будет непрерывным. Пример такого функционала --- это $(A\psi,\psi)$, где $\psi$ принадлежит гильбертову пространству, в котором действуют операторы, и $\|\psi\|=1$. Заметим, что для $\psi$, отличающихся только фазой, функционал будет один и тот же. Менее тривиальный пример --- это ${\rm tr}(AB)$, где $B$ --- неотрицательный оператор со следом (т. е., в частности, ядерный), равным единице. Это неотрицательный функционал, т. к. для неотрицательного $A$ имеем $A=C^*C$, и $B=D^*D$, и ${\rm tr}(AB)={\rm tr}(C^*CD^*D)={\rm tr}(DC^*CD^*)={\rm tr}((CD^*)^*(CD^*))\ge 0$.

Если $B$ --- это проектор на одномерное подпространство, то этот функционал сводится к первому случаю, и состояние называется чистым. Если нет, то оно называется смешанным. Тогда матрица плотности --- изображающая матрица оператора $B$.