падение камня с центробежной силой

[Someone]

Munin писал(а):

Someone писал(а):

Я ведь здесь не о реальной физике веду речь, а о выдумке Варяга.

А я о реальной физике. И тема, заметьте, новая, в которой он ещё не отметился ни разу.

Что плохого в том, чтобы рассмотреть задачу?

Я не против того, чтобы рассмотреть задачу, но, если Вы не об "идее" Варяга, а о реальной механике, то я не понимаю, чего Вы хотите. Берёте уравнения движения камня в неподвижной системе отсчёта и преобразуете их в движущуюся. Это может быть "не совсем" тривиально, тем более, что Вы хотите взять систему, связанную с центром кривизны траектории камня. Если у Вас есть Фихтенгольц, то там можно найти формулы для нахождения радиуса кривизны, центра кривизны, вектора нормали и т.д..

Munin писал(а):

Someone писал(а):

У него "центробежная сила" тоже действует в инерциальной системе отсчёта. Иначе он не может понять, почему спутник не падает на Землю.

Ну если о Варяге речь, так он вообще в системах отсчёта не разбирается, так что в какой СО у него сила действует - не так всё просто.

Именно поэтому с системой отсчёта у него всё просто.

Munin писал(а):

Someone писал(а):

Но, как потом оказалось, он имеет в виду даже не это, а что-то ещё более странное. У меня "центробежная сила" компенсирует половину силы тяжести, действующей на спутник, а у него - полностью. При этом спутник продолжает двигаться по окружности.

А кстати, почему у вас половина? Центром кривизны круговой орбиты спутника является центр Земли, во вращающейся СО Второй закон Ньютона (с учётом неподвижности в этой СО спутника) выглядит как $m\frac{v^2}{r}=mg$, компенсация, вроде бы, полная...

Дело в том, что, как я понял Варяга, он имеет в виду не силу, действующую во вращающейся системе координат. Он просто ссылается на третий закон Ньютона, но считает, что обе упомянутые там силы приложены к одному и тому же телу. Если Земля притягивает спутник с некоторой силой, то спутник притягивает Землю с точно такой же, но противоположно направленной силой. Однако Земля далеко, поэтому Варяг считает, что вторая сила приложена не к Земле, а тоже к спутнику. И не даёт ему упасть на Землю. А если эту силу приложить к Земле, то на спутник будет действовать только одна сила тяжести, и спутник под действием этой силы по вертикали упадёт на Землю.
Эта идея внутренне противоречива и реализовать её никак нельзя: две равные противоположно направленные силы полностью компенсируются, и спутник должен двигаться по прямой, а не по окружности. Как он представляет себе силы в случае движения по эллипсу, я не знаю.

Я же просто добавил к силе тяжести "центробежную силу", определяемую известным соотношением для центробежной силы при движении по окружности. В случае спутника на круговой орбите эта сила направлена "вверх" и вычитается из силы тяжести, так что спутник будет двигаться под действием разности этих сил. Эта разность и должна равняться $\frac{mv^2}r$. Так что получается равенство $\frac{mv^2}r=mg-\frac{mv^2}r$. Отсюда и получается половина. Соответственно, скорость движения спутника оказывается в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем у Ньютона. Мне кажется, что эта идея наиболее близка к тому, что писал Варяг.

Однако введённая мной сила не инвариантна относительно преобразований Галилея, и движение камня в разных инерциальных системах отсчёта физически разное, поэтому всё это к реальности имеет, мягко выражаясь, весьма слабое отношение. Я ниже это покажу на примере.

Munin писал(а):

Было бы забавно построить графики получившихся функций

Я рассмотрел численный пример. Возьмём $v_0=20\frac{\text{м}}{\text{с}}$, $\alpha=\frac{\pi}4$, $g=9.81\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Тогда $C_1=\frac 1{100}\frac{\text{с}^2}{\text{м}^2}$, $C_2=10(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2}))\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx 22.9559\frac{\text{м}}{\text{с}}$.
Далее вычисления дают начальные значения $v_{x0}=v_x|_{t=0}=v_0\cos\alpha=10\sqrt{2}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx 14.1421\frac{\text{м}}{\text{с}}$, $v_{y0}=v_y|_{t=0}=v_0\sin\alpha=10\sqrt{2}\frac{\text{м}}{\text{с}}\approx 14.1421\frac{\text{м}}{\text{с}}$.
В ньютоновской теории $v_x$ остаётся постоянной, а $v_y=v_{y0}-gt$, при этом $v_y=0\frac{\text{м}}{\text{с}}$ при $t=\frac{v_{y0}}g\approx 1.4416\text{с}$, максимальная высота равна $\frac{v_{y0}^2}{2g}\approx 10.1937\text{м}$, общее время полёта - $\frac{2v_{y0}}g\approx 2.88321\text{с}$, дальность полёта - $\frac{v_0^2\sin 2\alpha}g\approx 40.7747\text{м}$.
В обсуждаеиой "теории" величина $v_x$ сначала уменьшается от начального значения $v_{x0}$ до минимального значения $v_{x\min}=\frac 1{\sqrt{C_1}}=10\frac{\text{м}}{\text{с}}$ в момент времени $t_1=\frac{C_2}g\approx 2.34005\text{с}$, при этом $v_y=0\frac{\text{м}}{\text{с}}$, а высота имеет наибольшее значение, равное $15.2905\text{м}$. Далее $v_x$ снова возрастает до значения $v_{x0}$ в момент падения $t=\frac{2C_2}g\approx 4.6801\text{с}$, дальность полёта равна $54.3663\text{м}$. Зависимость $v_y$ от времени нелинейная, но "на глаз" мало отличается от линейной.

Теперь будем рассматривать всё это в системе отсчёта, равномерно движущейся вдоль оси $Ox$ со скоростью $v_{x0}$. Из уравнений движения

$$\begin{cases}\dot v_x=-\frac{gv_xv_y}{2(v_x^2+v_y^2)}\text{,}\\ \dot v_y=-\frac{g(v_x^2+2v_y^2)}{2(v_x^2+v_y^2)}\end{cases}$$

в этом случае следует, что $v_x=0\frac{\text{м}}{\text{с}}$ всегда, а для $v_y$ получается обычное ньютоновское уравнение $\dot v_y=-g$, то есть, в этой системе отсчёта движение совпадает с ньютоновским. Это означает, что полученные уравнения не удовлетворяют принципу относительности Галилея.

[Developer]

Ну, у меня тогда тоже не получится:
1) рассуждаю для инерциальной системы отсчёта, привязав её осью Y параллельно вектору $\vec{g_0}$, а осью X в плоскости $v_x{Y}$.
Запись и решения уравнений движения по осям в такой системе отсчёта просты и хорошо известны (по горизонтали на камень не действуют никакие силы, и он движется прямолинейно и равномерно, а по вертикали действует одна-единственная гравитационная сила $m\vec{g_o}$, и камень движется с ускорением):
- движение вдоль оси $X$ - это $x=v_x t$, (1)
- движение вдоль оси $Y$ - это $y=v_y t +\frac{mg_0^2}2$ (2).
Здесь $v_x=v_0 cos\alpha$, $v_y=v_0 sin\alpha$, $\alpha$ - угол между горизонталью (в поле тяготения), то есть осью $X$ и вектором начальной скорости $\vec{v_0}$;
2) в неинерциальной системе отсчёта, связанной с камнем, и уравнения движения и их решения тоже вроде бы несложны:
- координаты меняются так $X=X'$; $Y=Y'+S_y$, где $S_y$ - смещение неинерциальной системы координат относительно инерциальной системы координат, которое является функцией времени и зависит от ускорения свободного падения. Тогда уравнение движения по $Y'$ в неинерциальной системе отсчёта станет несколько иным: $m\frac{d^2{y'}} {dt^2}=F_y'-mg_0$.
Появившаяся новая сила $F_y'$ - это "псевдосила", которую и называют центробежной, и на которой "ломали копья" все участники обсуждения в теме Варяга с его концом научного дефолта.
Примером появления и проявления таких псевдосил могут служить опыты с раскручиванием ведра с водой и более простой опыт по толканию ведра с водой с постоянным ускорением по горизонтальной поверхности. Сначала вода под суммарным действием силы тяжести поля Земли и псевдосилы инерции сместится к задней стенке ведра и поднимется по ней, а при окончании действия силы горизонтального ускорения наступит торможение о поверхность в результате трения, вода переместится к передней стенке и тоже поднимется по ней.

А, вот, движение в задаче Munin'а конечно сложнее, так как для параболической траектории сначала надо бы рассчитать эволюту как траекторию центра кривизны параболы, по которой будет двигаться неинерциальная система отсчёта, и уже потом написать уравнения движения и решить их.
Вот, как будут выглядеть координаты для эволюты (подстановка в выражения для вычисления координат эволюты, стр. 67 А.В. Погорелова "Дифференциальная геометрия"):
$\hat x=v_x {t}-(v_y+g_0{t})\frac{v_x^2+(v_x+g_0{t})^2} {g_0 v_x}
$\hat y=y+\frac{v_x^2+(v_x+g_0{t})^2} {g_0},
если парабола была задана уравнениями (1), (2).
От дальнейших выкладок пока воздержусь...

[Developer]

Прошло почти два дня...
Прихожу к выводу, как же скучно иметь дело с профессионалами:
- на мои "опусы" они не "му-му" и не "гу-гу", им ведь всё ясно, а посему им и не интересно!
- то ли дело мой любимый и уважаемый Варяг, уж он бы мне ответил насчёт эволюты и не забыл бы и про эвольвенту...

Добавлено две-пять минут спустя: только сейчас заметил к своему стыду, что во втором члене правой части уравнения (2) написано $\frac{mg_0^2} 2$ вместо $\frac{g_0 t^2} 2$
Наверное, потому и тема в ступоре...

[Шимпанзе]

Developer писал(а):

Прошло почти два дня...
Прихожу к выводу, как же скучно иметь дело с профессионалами:
- на мои "опусы" они не "му-му" и не "гу-гу", им ведь всё ясно, а посему им и не интересно!
- то ли дело мой любимый и уважаемый Варяг, уж он бы мне ответил насчёт эволюты и не забыл бы и про эвольвенту...

Добавлено две-пять минут спустя: только сейчас заметил к своему стыду, что во втором члене правой части уравнения (2) написано $\frac{mg_0^2} 2$ вместо $\frac{g_0 t^2} 2$
Наверное, потому и тема в ступоре...

Видимо, все же не поэтому.
Смею робко предположить, что не все в состоянии уразуметь, как можно рассматривать динамику (и кинематику ) движения камня в системе отсчета самого камня?! Вот если бы речь шла о движении , скажем, Земли и, соответственно , Вселенной относительно камня – дело другое, но кому это "великое" дело надо, опять таки робко спрашиваю я Вас ?

Шимпанзе

[Munin]

Обозначения: $\mathbf{r}^0, \dot{\mathbf{r}}^0, \ddot{\mathbf{r}}^0$ - положение, скорость и ускорение камня в исходной системе координат $K^0, \quad \mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}}, \ddot{\mathbf{r}}$ - то же в неинерциальной системе $K, \quad \mathbf{R}, \Phi$ - положение начала отсчёта и угол поворота системы $K$ в системе $K^0$ (все векторы двумерные). Для поворота использую обозначение $M(\Phi)$ - это матрица активного поворота на угол $\Phi$ (мне так удобней, чем вспоминать правила векторного произведения).

Тогда связь между системами координат выражается равенством

$$\mathbf{r}^0=\mathbf{R}+M(\Phi)\mathbf{r},$$

дающим при дифференцировании соответственно

$$\dot{\mathbf{r}}^0=\dot{\mathbf{R}}+\left(\dot{M}(\Phi)\mathbf{r}+M(\Phi)\dot{\mathbf{r}}\right).$$

Вычисляя вспомогательное соотношение $\dot{M}(\Phi)=M(\Phi)M({\pi\over 2})\dot{\Phi},$ получаем

$$\dot{\mathbf{r}}^0=\dot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\left(\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+\dot{\mathbf{r}}\right).$$

Второе дифференцирование даёт:

$$\ddot{\mathbf{r}}^0=\ddot{\mathbf{R}}+\dot{M}(\Phi)\left(\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+\dot{\mathbf{r}}\right)+M(\Phi)\left(\ddot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\dot{\mathbf{r}}+\ddot{\mathbf{r}}\right)=$$

$$=\ddot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\left(\dot{\Phi}^2M(\pi)\mathbf{r}+\ddot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+2\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\dot{\mathbf{r}}+\ddot{\mathbf{r}}\right),$$

в чём легко угадываются все три слагаемых вращательных "сил инерции" уравнения (39.7) ЛЛ-1: центробежное, неравномерности вращения и кориолисово.

Условия на вращательную систему отсчёта выглядят так:

$\mathbf{rj}=0$ (камень всегда находится на оси x) и
$\dot{\mathbf{r}}^0=M(\Phi)\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}$ (движение камня есть всегда вращение вокруг начала отсчёта $K$).

Из последнего находим $\dot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\dot{\mathbf{r}}=0$.
Я попытался наложить третье условие "нормальное ускорение камня всегда равно ускорению при равномерном движении по окружности", но получил, что оно выводится из второго условия:

$$\ddot{\mathbf{r}}^0=\dot{M}(\Phi)\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+M(\Phi)\left(\ddot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\dot{\mathbf{r}}\right)=$$

$$=M(\Phi)\left(\left(\dot{\Phi}^2M(\pi)+\ddot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\right)\mathbf{r}+\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\dot{\mathbf{r}}\right) \colon$$

нормальная часть есть та, в которую входит $M(\pi)$ (поскольку $\dot{\mathbf{r}}$ сонаправлен с $\mathbf{r}$, и поворот на $M(\textstyle{\pi\over 2})$ даёт тангенциальный вектор), а она

$$\ddot{\mathbf{r}}^0_{\perp}=\dot{\Phi}^2M(\Phi)M(\pi)\mathbf{r}$$

есть точно центростремительное ускорение.

После этого я пошёл по пути § 39 и потерпел поражение:
Функция Лагранжа в системе $K^0$ записывается как

$$L={m{\dot{\mathbf{r}}^0}^2\over 2} + m\mathbf{gr}^0.$$

Подставляя в неё известные выражения, и пользуясь тем, что $(M(\varphi)\mathbf{a},M(\varphi)\mathbf{b})=(\mathbf{a},\mathbf{b})$, находим:

$$L={m\over 2}\dot{\Phi}^2\mathbf{r}^2 + m\mathbf{gR} + m\mathbf{g}M(\Phi)\mathbf{r},$$

что уже достаточно подозрительно, потому что $\dot{\mathbf{r}}$ в неё не входит. В скалярных переменных $r_x,R_x,R_y,\Phi,$ получаем:

$$L={m\over 2}\dot{\Phi}^2{r_x}^2 + mgR_y + mgr_x\sin{\Phi},$$

то есть система распадается на независимые системы для переменных $R_x, R_y$ и $(r_x,\Phi)$. Уравнения Лагранжа для них оказываются таковы:

$0=0$ (движение по $R_x$ свободно???)
$0=mg$ (вообще несовместное уравнение)
$0=mr_x\dot{\Phi}^2+mg\sin{\Phi}$
$m\dot{\Phi}r_x^2=mgr_x\cos{\Phi}$

Последние два уравнения, в принципе, как-то решаемы, но из них нельзя найти $R_x$ и $R_y$, и уже было получено несовместное уравнение, что обесценивает все дальнейшие дёргания.

Где у меня ошибка? Как сделать правильный расчёт?

[Dolopihtis]

Извините, не могли -бы Вы пояснить самое первое уравнение.
Мне кажется , там должно быть просто

$$\mathbf{r}^0=\mathbf{R}+\mathbf{r},$$

[Munin]

Вектор $\mathbf{r}$, отложенный в системе отсчёта $K$, во-первых, поворачивается на некий угол (переменный), так что становится вектором $M(\Phi)\mathbf{r}$, а во-вторых, дополнительно сдвигается с учётом положения начала отсчёта $K$, так что получается $M(\Phi)\mathbf{r}+\mathbf{R}$.

Это, может быть, трудно себе вообразить, если считать вектор геометрической сущностью, привязанной к реальному пространству (из-за этого мне не сильно легко было читать § 39), но элементарно понимается, если представить себе вектор просто парой координат:

$$\left(\begin{array}{c}r_x\\r_y\end{array}\right).$$

В этом случае $\mathbf{r}^0=M(\Phi)\mathbf{r}+\mathbf{R}$ просто совпадает с общим видом движения на плоскости:

$$ \left(\begin{array}{c}r_x^0\\r_y^0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}\cos{\varphi}&-\sin{\varphi}\\ \sin{\varphi}&\cos{\varphi}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}r_x\\r_y\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c}R_x\\R_y\end{array}\right) ,$$

известным из линейной алгебры.

[Dolopihtis]

Спасибо, теперь понятно. Попробую посмотреть дальше. Вы не пробовали исползовать более общую подстановку в функцию Лагранжа в виде

$$\mathbf{r}^0=\mathbf{R}+M(\Phi)\mathbf{r},$$

$$\dot{\mathbf{r}}^0=\dot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\left(\dot{\Phi}M(\textstyle{\pi\over 2})\mathbf{r}+\dot{\mathbf{r}}\right)$$

,
и далее варьировать при наложенном дополнительном условии
$\dot{\mathbf{R}}+M(\Phi)\dot{\mathbf{r}}=0$
Возможно, так было-бы более правильно.

[Someone]

Munin писал(а):

Функция Лагранжа в системе $K^0$ записывается как

$$L={m{\dot{\mathbf{r}}^0}^2\over 2} + m\mathbf{gr}^0.$$

Подставляя в неё известные выражения, и пользуясь тем, что $(M(\varphi)\mathbf{a},M(\varphi)\mathbf{b})=(\mathbf{a},\mathbf{b})$, находим:

$$L={m\over 2}\dot{\Phi}^2\mathbf{r}^2 + m\mathbf{gR} + m\mathbf{g}M(\Phi)\mathbf{r},$$

что уже достаточно подозрительно, потому что $\dot{\mathbf{r}}$ в неё не входит.

По-моему, нисколько не подозрительно. Величина $\dot{\mathbf{r}}$ описывает (должна описывать) изменение радиуса кривизны, то есть, положения мгновенной оси вращения. Ось вращения не есть материальный объект, и её перемещение ни с какой энергией не связано. Аналогичная ситуация - при вращении твёрдого тела, где также движение оси вращения ни с какой энергией не связано.

Неудача же связана с тем, что задача с самого начала поставлена некорректно. Результат ведь не должен зависеть от выбора первоначальной системы отсчёта, между тем, такие объекты, как касательная и нормаль к пространственной траектории, кривизна, радиус кривизны, центр кривизны этой траектории зависят от выбора системы отсчёта и не инвариантны относительно преобразований Галилея.

[Munin]

Someone писал(а):

Munin писал(а):

Функция Лагранжа... находим:

$$L={m\over 2}\dot{\Phi}^2\mathbf{r}^2 + m\mathbf{gR} + m\mathbf{g}M(\Phi)\mathbf{r},$$

что уже достаточно подозрительно, потому что $\dot{\mathbf{r}}$ в неё не входит.

По-моему, нисколько не подозрительно. Величина $\dot{\mathbf{r}}$ описывает (должна описывать) изменение радиуса кривизны, то есть, положения мгновенной оси вращения. Ось вращения не есть материальный объект, и её перемещение ни с какой энергией не связано. Аналогичная ситуация - при вращении твёрдого тела, где также движение оси вращения ни с какой энергией не связано.

Согласен с доводом. Однако в $L$ и $\dot{\mathbf{R}}$ не входит!

Someone писал(а):

Неудача же связана с тем, что задача с самого начала поставлена некорректно. Результат ведь не должен зависеть от выбора первоначальной системы отсчёта

Апачиму? В результат должны входить не только $\mathbf{r}(t),$ но и $\mathbf{R}(t)$, а они от выбора первоначальной системы отсчёта зависят определённо.

Someone писал(а):

между тем, такие объекты, как касательная и нормаль к пространственной траектории, кривизна, радиус кривизны, центр кривизны этой траектории зависят от выбора системы отсчёта и не инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это верно. Ну так и такая вещь, как мгновенная ось вращения, также неинвариантна, однако в механике используется (другой вопрос, где, зачем и в каких пределах).

[Someone]

Munin писал(а):

Однако в $L$ и $\dot{\mathbf{R}}$ не входит!

Ну, $\dot{\mathbf{R}}$ - это тоже центр кривизны. А вся скорость движения камня у Вас "заложена" в $\dot{\Phi}\mathbf{r}$, чего же теперь удивляться, что вся кинетическая энергия через это произведение выражается.

Munin писал(а):

Someone писал(а):

Неудача же связана с тем, что задача с самого начала поставлена некорректно. Результат ведь не должен зависеть от выбора первоначальной системы отсчёта

Апачиму? В результат должны входить не только $\mathbf{r}(t),$ но и $\mathbf{R}(t)$, а они от выбора первоначальной системы отсчёта зависят определённо.

Возможно, я неудачно выразился.
Дело в том, что они в разных (инерциальных) системах отсчёта связаны отнюдь не преобразованиями Галилея. Если Вы найдёте $\mathbf{r}(t)$ и $\mathbf{R}(t)$ в двух инерциальных системах отсчёта, то, вообще говоря, радиусы кривизны $\mathbf{r}(t)$ окажутся различными, и положения центров кривизны $\mathbf{R}(t)$ будут различными. С ними можно связать описанные Вами системы отсчёта, но они будут физически различными: будут двигаться с разными скоростями и ускорениями относительно инерциальной системы отсчёта.

Движение камня в однородном гравитационном поле известно, формулы для положения центра кривизны и прочих величин известны; попробуйте написать, как это движение будет выглядеть во введённых Вами переменных и как оно зависит от выбора первоначальной инерциальной системы отсчёта.

Munin писал(а):

Someone писал(а):

между тем, такие объекты, как касательная и нормаль к пространственной траектории, кривизна, радиус кривизны, центр кривизны этой траектории зависят от выбора системы отсчёта и не инвариантны относительно преобразований Галилея.

Это верно. Ну так и такая вещь, как мгновенная ось вращения, также неинвариантна, однако в механике используется (другой вопрос, где, зачем и в каких пределах).

Вообще говоря, есть теорема о том, что движение твёрдого тела можно представить как сумму независимых движений центра масс и вращения с неподвижным центром масс. При этом цетр масс инвариантен относительно выбора системы отсчёта. А центр кривизны - нет. Но, конечно, это не доказательство некорректности задачи, а повод для того, чтобы об этом подумать. Возможно, первый раз я слишком категорично высказался.

[Антипка]

Уважаемый Munin, ваша ошибка заключается в том, что вы используете формализм уравнений Лагранжа II рода для неголономной системы. В вашей системе связь, прокомментированная как "движение камня есть всегда вращение вокруг начала отсчёта", является неинтегрируемой кинематической связью, т.е. неголономной связью, отчего вся система становится неголономной. А насколько я помню (см. Маркеев, Теоретическая механика, стр. 228, конец п.137 и начало п.138, "Уравнения Лагранжа"), уравнения Лагранжа II рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах именно в предположении голономности системы.

Таким образом, чтобы исправить ситуацию, откажитесь от использвания уравнений Лагранжа II рода и вместо них используйте общее уравнение динамики в обобщенных координатах.

[Munin]

Someone писал(а):

...вся скорость движения камня у Вас "заложена" в $\dot{\Phi}\mathbf{r}$...

Убедили.

Someone писал(а):

Возможно, я неудачно выразился.
Дело в том, что они в разных (инерциальных) системах отсчёта связаны отнюдь не преобразованиями Галилея. Если Вы найдёте $\mathbf{r}(t)$ и $\mathbf{R}(t)$ в двух инерциальных системах отсчёта, то, вообще говоря, радиусы кривизны $\mathbf{r}(t)$ окажутся различными, и положения центров кривизны $\mathbf{R}(t)$ будут различными. С ними можно связать описанные Вами системы отсчёта, но они будут физически различными: будут двигаться с разными скоростями и ускорениями относительно инерциальной системы отсчёта.

Со всем согласен, но не вижу, как это приводит к некорректности постановки задачи.

Someone писал(а):

Движение камня в однородном гравитационном поле известно, формулы для положения центра кривизны и прочих величин известны; попробуйте написать, как это движение будет выглядеть во введённых Вами переменных и как оно зависит от выбора первоначальной инерциальной системы отсчёта.

Коряво и развесисто, это заранее понятно :-)
Начиная прямо со случая $\dot{r}^0_x(0)=0$...

Антипка
Спасибо за конкретную ссылку, посмотрю. Пока ваше замечание самое информативное из прозвучавших :-)

[Антипка]

Munin писал(а):

Антипка
Спасибо за конкретную ссылку, посмотрю. Пока ваше замечание самое информативное из прозвучавших

Ну на самом деле я слегка утрировал, уравнения Лагранжа можно записать и в этом случае, но только правая часть там будет ненулевая, поскольку теперь она обязана учитывать неголономные связи. См., например, "Ландафшица", т.1, 1988 года издания, стр.159-161.

PS. А вообще, мне кажется, тут надо было действовать проще - приравнять (0, -g) вторую производную по времени радиус-вектора точки в неподвижной СК.

[Munin]

Мы не ищем лёгких путей. Задача была рассмотреть центробежную силу.

В ЛЛ укажите номера или даже названия параграфов, пожалуйста. В сети лежит 5-е изд., стереот., М.: Физматлит, 2004, где указанные страницы приходятся на задачи к § 37 Асимметрический волчок.