Антимагические квадраты

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #574533 писал(а):

По указанной вами ссылке приведены все традиционные гетероквадраты 3-го порядка (12 штук).

Это не все. См. тамже ниже про Peter Bartsch's Heterosquares. Всего количество гетероквадратов 3x3 с точностью до отражений и поворотов равно 3120.

[Nataly-Mak]

А, это я не смотрела ещё.
Ну, всё равно нет среди них пандиагонального (?)

[Pavlovsky]

Есть такая проблема
A sum packing problem of Erdős
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/su ... .1.96.9824
A set S of positive integers has distinct subset sums if the set x∈X x: X ⊂ S � has 2 |S | distinct elements.

Применительно к антимагическим квадратам.
Существует набор из n^2 натуральных чисел, что суммы любого подмножества из этих чисел различны.

Тем сымым любой квадрат составленный из этих чисел будет антимагическим. Даже суперантимагическим!!!

-- Вт май 22, 2012 13:31:17 --

http://oeis.org/A096858
77,117,137,148,154,157,159,160,161

Вот набор из 9-ти чисел. Как их не раставляй в матрице 3х3. Получится квадрат всюду антимагический.

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #574545 писал(а):

Применительно к антимагическим квадратам.
Существует набор из n^2 натуральных чисел, что суммы любого подмножества из этих чисел различны.

Неинтересно. Возьмите, например, различные степени двойки. Сумма любого подмножества будет уникальна в силу единственности двоичного представления числа.

-- Tue May 22, 2012 03:35:33 --

Nataly-Mak в сообщении #574536 писал(а):

Ну, всё равно нет среди них пандиагонального (?)

Вы же сами проверили, что нет.
Я не проверял, и нигде явного утверждения о их отсутствии не видел.

[Pavlovsky]

Чего то тема антимагических квадратов нылая.

Гипотеза. Начиная с некоторого порядка n. Построить любой вариант антимагического квадрата можно из любого набора чисел.

-- Вт май 22, 2012 13:51:01 --

maxal в сообщении #574546 писал(а):

Неинтересно. Возьмите, например, различные степени двойки. Сумма любого подмножества будет уникальна в силу единственности двоичного представления числа.

У Ердеша есть требование миниальности наибольшего числа в множестве.

Кстати, в свете темы антимагичских квадратов, получается вариант проблемы Ердеша.

Найти множество n^2 натуральных чисел, таких что любое подмножество из n чисел дает различные суммы. И максимальное число этого множества минимально.

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #574550 писал(а):

У Ердеша есть требование миниальности наибольшего числа в множестве.

Кстати, в свете темы антимагичских квадратов, получается вариант проблемы Ердеша.

А в антимагических квадратах $n\times n$ рассматриваются только (некоторые) подмножества размера $n$. Очень специфичный (и притянутый за уши) вариант получается.
P.S. Фамилия пишется Эрдёш.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #574510 писал(а):

Антимагические в англоязычной литературе называют гетероквадратами (heterosquare), в то время как antimagic square дополнительно требует, чтобы суммы были последовательными числами.

А как тогда называются "антимагические квадраты", определение которых дано в книге Стенли "Перечислительная комбинаторика" (см. начало ветки)?

Такая путанница получается!

Гетероквадраты мне явно не нравятся. А также и антимагические квадраты, которые тоже гетероквадраты с дополнительным условием, что суммы должны быть последовательными числами. Жуть! Напридумывали

Мне больше нравятся антимагические квадраты по Стенли. Но получается, что это совсем и не антимагические квадраты. А какие же тогда?

[Nataly-Mak]

Запустила программку для пандиагональных гетероквадратов 3-го порядка из простых чисел, сразу нашёлся такой квадрат:

2 17 7
19 3 23
11 13 5

В этом квадрате суммы различны во всех строках, столбцах и диагоналях.

А это из чисел Смита:

4 94 58
121 22 166
85 202 27

Подумаю над построением АМК(Ст) 4-го порядка (нетрадиционных). Это, по-моему, намного интересней, надо получить 24 одинаковых суммы.

[Nataly-Mak]

maxal
на международном конкурсе программистов
http://infinitesearchspace.dyndns.org/c ... ic-squares
предложена для нового конкурса такая задача:

Цитата:

Using all the consecutive numbers 1...N*N, build a square that has all its sums of rows and columns different, but the inner square is magic.

Как вы думаете, о каких magic-antimagic-squares здесь идёт речь?

Мне кажется, что это как раз по определению из книги Стенли.
Но здесь, как я понимаю, предлагают составлять традиционные квадраты.

Совершенно непонятно, что это за квадраты такие "magic-antimagic".

[maxal]

Nataly-Mak
По сути просят построить гетероквадрат, у которого внутренний квадрат является магическим.
Стенли здесь не причем.

[Nataly-Mak]

Что такое "внутренний квадрат"?

Ещё раз уточню: в гетероквадратах суммы должны быть различны в строках, в столбцах и в главных диагоналях (я так поняла по гетероквадратам, приведённым по ссылке). Правильно?

В задаче же конкурса написано, что суммы в строках и в столбцах различны. Так? Про суммы в диагоналях ничего не написано. А это как раз ближе к Стенли, чем к гетероквадратам.

Вот гетероквадраты 3-го порядка:



Здесь приведены значения сумм в строках, в столбцах и в главных диагоналях. Все эти суммы различны.

Где в этих гетероквадратах "внутренние квадраты"?

[maxal]

Nataly-Mak
Да, значит, это даже не гетероквадрат, а нечто более простое. Внутренний квадрат - это, наверное, исходный квадрат без границы (то есть, для квадрата $n\times n$ внутренний квадрат имеет размер $(n-2)\times (n-2)$).

И это не антимагический по Стенли, где должно получаться $n!$ равных сумм. Я вообще сомневаюсь, что квадрат Стенли можно построить из чисел $1,2,\dots,n^2$.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #574938 писал(а):

Я вообще сомневаюсь, что квадрат Стенли можно построить из чисел $1,2,\dots,n^2$.

Легко:

1 2 3
4 5 6
7 8 9

В книге Стенли написано, что самый простой обратимый квадрат любого порядка $n$ будет антимагическим в смысле приведённого определения. Только там он не назвается обратимым.
Я думаю, что не только самый простой обратимый квадрат (в котором числа написаны по порядку), но и любой другой обратимый квадрат будет АМК(Ст).

-- Ср май 23, 2012 09:36:20 --

Nataly-Mak в сообщении #267640 писал(а):

Вот пример обратимого квадрата 8-го порядка, который является антимагическим в смысле приведённого определения:

16 12 8 4 20 24 28 32
15 11 7 3 19 23 27 31
14 10 6 2 18 22 26 30
13 9 5 1 17 21 25 29
45 41 37 33 49 53 57 61
46 42 38 34 50 54 58 62
47 43 39 35 51 55 59 63
48 44 40 36 52 56 60 64

[maxal]

Nataly-Mak
OK. На самом деле только квадраты с элементами вида $m_{i,j}=a_i+b_j$, где $a_1, \dots, a_n$ и $b_1, \dots, b_n$ - фиксированные числа, будут квадратами Стенли.

[Pavlovsky]

Получается, квадрат по Стенли - это обратимый квадрат. Или по Россеру примитивный квадрат. Чего то интересных проблем для поиска пока не видно.