алгебра и геометрия макро- и микромира

[bayak]

Для разговора на эту тему предлагаю оттолкнуться от следующей математической модели.

Пусть у нас имеется псевдосфера $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}=1$, которая топологически эквивалентна цилиндру $\mathbb{R}^{4}\times S^{3}$, и мы "укладываем" её на сферу $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}=\tau$, где $\tau$ это эволюционный параметр. Имеются ли у этой конструкции некие признаки алгебры и геометрии макро- и микромира? Я утверждаю, что линейные касательные векторные поля этой псевдосферы образуют алгебру Клиффорда, известную как геометрическая алгебра пространства-времени. Возможно также, что при компактификации этой псевдосферы, некомпактная часть цилиндра приобретает метрику пространства Минковского.

[g______d]

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Пусть у нас имеется псевдосфера $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}=1$, которая топологически эквивалентна цилиндру $\mathbb{R}^{4}\times S^{3}$

Доказывайте. Кстати, Вы имеете в виду гомеоморфна или гомотопически эквивалентна?

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Имеются ли у этой конструкции некие признаки алгебры и геометрии макро- и микромира?

Что понимается под этими признаками?

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Я утверждаю, что линейные касательные векторные поля этой псевдосферы образуют алгебру Клиффорда, известную как геометрическая алгебра пространства-времени.

Кому известную?

[shwedka]

g______d в сообщении #573142 писал(а):

bayak в сообщении #573090 писал(а):
Пусть у нас имеется псевдосфера $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}=1$, которая топологически эквивалентна цилиндру $\mathbb{R}^{4}\times S^{3}$


Доказывайте. Кстати, Вы имеете в виду гомеоморфна или гомотопически эквивалентна?

или диффеоморфна

Цитата:

Я утверждаю,

Неправильная модальность.
Правильная:
Я могу доказать
и приводится доказательство
или
В .... доказано
и дается ссылка

[g______d]

shwedka в сообщении #573144 писал(а):

или диффеоморфна

А она вообще гладкая разве?

[bayak]

shwedka в сообщении #573144 писал(а):

Неправильная модальность.

Хорошо, попробую доказать это утверждение.
Итак, заменим координаты $\mathbb{R}^{8}$ так, чтобы псевдосфера имела вид $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-x_{5}^{2}-x_{6}^{2}- x_{7}^{2}-x_{8}^{2}=1$. Тогда линейные касательные к этой псевдосфере векторные поля будут ортогональны векторному полю радиус-вектора $\varepsilon = x_1\partial x_1+x_2\partial x_2+x_3\partial x_3+x_4\partial x_4+x_5\partial x_5+x_6\partial x_6+x_7\partial x_7+x_8\partial x_8$ в метрике сигнатуры $(+4,-4)$.
Возьмём четыре таких векторных поля:
$\begin{eqnarray*} \gamma^{0} & = & x_5\partial x_1+x_6\partial x_2+x_7\partial x_3+x_8\partial x_4+x_1\partial x_5+x_2\partial x_6+x_3\partial x_7+x_4\partial x_8 \\ \gamma^{1} & = & -x_2\partial x_1+x_1\partial x_2-x_4\partial x_3+x_3\partial x_4-x_6\partial x_5+x_5\partial x_6-x_8\partial x_7+x_7\partial x_8 \\ \gamma^{2} & = & -x_4\partial x_1-x_3\partial x_2+x_2\partial x_3+x_1\partial x_4-x_8\partial x_5-x_7\partial x_6+x_6\partial x_7+x_5\partial x_8 \\ \gamma^{3} & = & -x_3\partial x_1+x_4\partial x_2+x_1\partial x_3-x_2\partial x_4-x_7\partial x_5+x_8\partial x_6+x_5\partial x_7-x_6\partial x_8. \\ \end{eqnarray*}$

Тогда, если $\gamma^{i}\gamma^{j}=\nabla_{\gamma^{i}}\gamma^{j}$, то $\gamma^{i}\gamma^{j}+\gamma^{j}\gamma^{i}=2g^{ij}\varepsilon$, где $g^{ij}$ - метрика пространства Минковского.

Этого достаточно?

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Доказывайте. Кстати, Вы имеете в виду гомеоморфна или гомотопически эквивалентна?

Тут, пожалуй, я ограничусь ссылкой на монографию "Неевклидовы геометрии" Б.А. Розенфельда. Что касается топологических тонкостей, то я в них не разбираюсь.

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Кому известную?

По крайней мере Хестенсу.

-- Сб май 19, 2012 18:55:32 --

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Что понимается под этими признаками?

Имеются в виду такие математические свойства макро- и микромира как алгебра квантовых уравнений релятивистской частицы и метрика Минковского.

[g______d]

g______d в сообщении #573147 писал(а):

shwedka в сообщении #573144 писал(а):

или диффеоморфна

А она вообще гладкая разве?

Пожалуй что гладкая --- градиент левой части не обращается в нуль на поверхности.

-- 19.05.2012, 20:48 --

bayak в сообщении #573344 писал(а):

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Доказывайте. Кстати, Вы имеете в виду гомеоморфна или гомотопически эквивалентна?

Тут, пожалуй, я ограничусь ссылкой на монографию "Неевклидовы геометрии" Б.А. Розенфельда. Что касается топологических тонкостей, то я в них не разбираюсь.

Проблема не в топологических тонкостях, а в том, что Вы не можете придать математического смысла своей фразе (а именно, словосочетанию "топологически эквивалентна"). Хотя бы страницу, что ли, указали. Заодно разъясните, что такое "укладывание на сферу".

bayak в сообщении #573344 писал(а):

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Кому известную?

По крайней мере Хестенсу.

Транскрипция фамилии Ваша? Обычно, если уж ссылаются на западного ученого, то пишут фамилию в оригинале (кроме случаев, когда в русскоязычной литературе фамилия часто встречается и/или всем известна), а также более точную ссылку, подтверждающую Ваши слова.

bayak в сообщении #573344 писал(а):

g______d в сообщении #573142 писал(а):

Что понимается под этими признаками?

Имеются в виду такие математические свойства макро- и микромира как алгебра квантовых уравнений релятивистской частицы и метрика Минковского.

Понятнее не стало.

[bayak]

g______d в сообщении #573387 писал(а):

Хотя бы страницу, что ли, указали. Заодно разъясните, что такое "укладывание на сферу".

Страница 136. Дословно там следующая теорема:
гиперсфера вещественного радиуса пространства $^{l}\mathbb{R}_{n}$ гомеоморфна топологическому произведению гиперсферы пространства $\mathbb{R}_{n-l}$ на пространство $\mathbb{R}_{l}$ .

Псевдосфера "укладывается на сферу" так, что их пересечение происходит в момент $\tau$, равный квадрату радиуса сферы. Иначе говоря, псевдосфера наматывается на сферу в процессе эволюции.

g______d в сообщении #573387 писал(а):

Транскрипция фамилии Ваша? Обычно, если уж ссылаются на западного ученого, то пишут фамилию в оригинале (кроме случаев, когда в русскоязычной литературе фамилия часто встречается и/или всем известна), а также более точную ссылку, подтверждающую Ваши слова.

David Hestenes (1966) Space-Time Algebra

[g______d]

bayak в сообщении #573400 писал(а):

Псевдосфера "укладывается на сферу" так, что их пересечение происходит в момент $\tau$, равный квадрату радиуса сферы. Иначе говоря, псевдосфера наматывается на сферу в процессе эволюции.

Математически можно это описать?

[bayak]

g______d в сообщении #573412 писал(а):

Математически можно это описать?

Наверно можно. Но могут понадобиться и дополнительные параметры. Ведь сфера может расширяться и одновременно сдвигаться относительно центра псевдосферы, а может ещё и подкручиваться.

Кстати, выше описана алгебра пространства-времени над полем вещественных чисел, а алгебра уравнений (матриц) Дирака над полем комплексных чисел. Однако алгебра комплексных чисел также может быть образована касательными векторными полями сферы (псевдосферы), поэтому в плане комплексификации алгебры пространства-времени имеется некоторый оптимзм.

[g______d]

bayak в сообщении #573428 писал(а):

g______d в сообщении #573412 писал(а):

Математически можно это описать?

Наверно можно. Но могут понадобиться и дополнительные параметры. Ведь сфера может расширяться и одновременно сдвигаться относительно центра псевдосферы, а может ещё и подкручиваться.

Наверное?

Тогда ответ на вопрос

bayak в сообщении #573090 писал(а):

Имеются ли у этой конструкции некие признаки алгебры и геометрии макро- и микромира?

отрицательный, потому что конструкции пока не обнаружено.

[bayak]

В деталях конструкция может и различаться, но идея должна быть понятна - при компактификации пространство $\mathbb{R}^{4}$ приобретает жёсткость того компактного пространства, на которое оно наматывается. Если $\mathbb{R}^{4}$ наматывается на $S^{3}\times S^{1}$, то оно приобретает метрику пространства Минковского.

[Munin]

bayak в сообщении #573464 писал(а):

жёсткость

Определение? Ссылка на литературу?

[bayak]

Линейное пространство приобретает жёсткость в том смысле, что его группа допустимых линейных преобразований сужается с общей линейной группы до её подгруппы. Например, если мы намотаем плоскость на тор, а из группы его движений, сохраняющих одну неподвижную точку тора, форму и площадь тора, получим группу допустимых преобразований намотки тора, то обнаружим, что это группа вращений псевдоевклидовой плоскости. Для того, чтобы увидеть это превращение достаточно намотать изотропные прямые псевдоевклидовой плоскости на задающие окружности тора.

[g______d]

Буквально каждое Ваше слово нуждается в математическом определении, начиная от "намотать" и "допустимых" и заканчивая "сужается" и "сохраняет". Пока Вы этого не сделаете, любой читатель вполне правомерно может считать, что Вы не понимаете, о чем говорите.

[shwedka]

bayak в сообщении #573464 писал(а):

В деталях конструкция может и различаться, но идея должна быть понятна - при компактификации пространство $\mathbb{R}^{4}$ приобретает жёсткость того компактного пространства, на которое оно наматывается. Если $\mathbb{R}^{4}$ наматывается на $S^{3}\times S^{1}$, то оно приобретает метрику пространства Минковского.

У Вас некоторая путаница в понятиях, видная в этом примере.

Вот, пусть у Вас есть два Римановых многообразия, $X$ с метрикой $\mu$, $Y$ с метрикой $\nu$. Что такое 'наматывание'? Изометрия -- тогда нужно доказывать, что она есть. Если есть, то никто никакой метрики не приобретает. Метрики уже есть.
Если же наматывание -- не изометрия, то метрика на $Y$, да, порождает метрику на $X$, отличную от исходной, если отображение - локальный диффеоморфизм. Но породит Римановы метрику, а совсем не псевдориманову.
Если же Вы хотите получить где-то псевдориманову метрику, как образ римановой,
то Вам нужно очень подробно, формулами, расписать это порождение.
Вот когда Вы это сделаете, можно перейти к группам изометрий и тп.