Очень интересно. Нельзя ли поподробней?
Элементарно... Известно, что алгебру октонионов

порождает любая неассоциативная тройка ее элементов. Пусть

--- такие элементы нормы 1. Тогда в качестве базиса

можно выбрать элементы

. Причем все элементы нормы 1 образуют сферу

. Теперь, сохраняя закон умножения в

, рассмотрим порождающие вида

. Легко видеть, что эти элементы порождают уже (расщепляемую) алгебру сигнатуры

. Элементы нормы 1 в ней образуют уже подпространство

. Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.