2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
g______d в сообщении #574370 писал(а):
$\mathbb R^3$ на $S^3$ нельзя "намотать" --- если я правильно понимаю определение. Не существует накрытия $S^3$ с тотальным пространством $\mathbb R^3$.

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.


Речь не идёт о накрытии. А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать нитки этой ткани (образы координат пространства) на соответствующее компактное пространство.

Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.

-- Вт май 22, 2012 00:09:07 --

lek в сообщении #574386 писал(а):
Точно так же (используя мнимую единицу) можно перейти от расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона к алгебре октонионов. А значит, получить сферу $S^7$ из псевдосферы $R^4\times S^3$. И не надо никакой "укладки" или "наматывания"...

Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #574390 писал(а):
А "намотать" это значит взять ткань пространства

Определения, ссылки на литературу?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
873
bayak в сообщении #574390 писал(а):
Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

Элементарно... Известно, что алгебру октонионов $\mathbb{O}$ порождает любая неассоциативная тройка ее элементов. Пусть $e_1,e_2,e_4$ --- такие элементы нормы 1. Тогда в качестве базиса $\mathbb{O}$ можно выбрать элементы $1,e_1, e_2, e_1e_2, e_4,e_1e_4,e_2e_4,(e_1e_2)e_4$. Причем все элементы нормы 1 образуют сферу $S^7$. Теперь, сохраняя закон умножения в $\mathbb{O}$, рассмотрим порождающие вида $ie_1,ie_2,ie_4$. Легко видеть, что эти элементы порождают уже (расщепляемую) алгебру сигнатуры $(4,4)$. Элементы нормы 1 в ней образуют уже подпространство $R^4\times S^3$. Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение22.05.2012, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bayak в сообщении #574390 писал(а):
А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать


Действительно, что тут непонятного?

bayak в сообщении #574390 писал(а):
Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.


Недостаточно. Пока не дано определения, математического объекта не существует. В чем тогда предмет разговора?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение17.11.2013, 12:09 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
lek в сообщении #574414 писал(а):
Элементарно... Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

lek, я применил этот алгебраический трюк в работе "Алгебра линейных векторных полей" (формула 5.30), чтобы показать, что объединение алгебры касательных векторных полей семимерной сферы и псевдосферы составляет алгебру Ли $sl_{4}(\mathbb{C})$. Правда за скобками обсуждения остался вопрос о физической интерпретации этих векторных полей, но мне кажется, что векторное поле касательное к псевдосфере можно интерпретировать как динамическую составляющую, а касательное к сфере - как статическую составляющую вакуумного потока. Иначе говоря, если зафиксировать эволюционный параметр, то следует рассматривать линейные векторные поля касательные к сфере, а если зафиксировать точки на сфере, то они (вместе со сферой) будут эволюционировать касательно к псевдосфере.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group