2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
g______d в сообщении #574370 писал(а):
$\mathbb R^3$ на $S^3$ нельзя "намотать" --- если я правильно понимаю определение. Не существует накрытия $S^3$ с тотальным пространством $\mathbb R^3$.

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.


Речь не идёт о накрытии. А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать нитки этой ткани (образы координат пространства) на соответствующее компактное пространство.

Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.

-- Вт май 22, 2012 00:09:07 --

lek в сообщении #574386 писал(а):
Точно так же (используя мнимую единицу) можно перейти от расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона к алгебре октонионов. А значит, получить сферу $S^7$ из псевдосферы $R^4\times S^3$. И не надо никакой "укладки" или "наматывания"...

Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #574390 писал(а):
А "намотать" это значит взять ткань пространства

Определения, ссылки на литературу?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
879
bayak в сообщении #574390 писал(а):
Очень интересно. Нельзя ли поподробней?

Элементарно... Известно, что алгебру октонионов $\mathbb{O}$ порождает любая неассоциативная тройка ее элементов. Пусть $e_1,e_2,e_4$ --- такие элементы нормы 1. Тогда в качестве базиса $\mathbb{O}$ можно выбрать элементы $1,e_1, e_2, e_1e_2, e_4,e_1e_4,e_2e_4,(e_1e_2)e_4$. Причем все элементы нормы 1 образуют сферу $S^7$. Теперь, сохраняя закон умножения в $\mathbb{O}$, рассмотрим порождающие вида $ie_1,ie_2,ie_4$. Легко видеть, что эти элементы порождают уже (расщепляемую) алгебру сигнатуры $(4,4)$. Элементы нормы 1 в ней образуют уже подпространство $R^4\times S^3$. Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение22.05.2012, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bayak в сообщении #574390 писал(а):
А "намотать" это значит взять ткань пространства и намотать


Действительно, что тут непонятного?

bayak в сообщении #574390 писал(а):
Но Вам недостаточно этого образного определения. А мне недостаточно математической грамотности, чтобы сформулировать его на математическом языке.


Недостаточно. Пока не дано определения, математического объекта не существует. В чем тогда предмет разговора?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение17.11.2013, 12:09 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
lek в сообщении #574414 писал(а):
Элементарно... Рассуждая в обратном порядке, получаем требуемое.

lek, я применил этот алгебраический трюк в работе "Алгебра линейных векторных полей" (формула 5.30), чтобы показать, что объединение алгебры касательных векторных полей семимерной сферы и псевдосферы составляет алгебру Ли $sl_{4}(\mathbb{C})$. Правда за скобками обсуждения остался вопрос о физической интерпретации этих векторных полей, но мне кажется, что векторное поле касательное к псевдосфере можно интерпретировать как динамическую составляющую, а касательное к сфере - как статическую составляющую вакуумного потока. Иначе говоря, если зафиксировать эволюционный параметр, то следует рассматривать линейные векторные поля касательные к сфере, а если зафиксировать точки на сфере, то они (вместе со сферой) будут эволюционировать касательно к псевдосфере.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group