2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я ещё ссылку на литературу спросил.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 19:35 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
shwedka, Вы перечислили случаи, которые я не рассматриваю - ни $X$, ни $Y$ не имеют метрики. Просто $X$ компактно, а $Y$ некомпактно. Пример, где $X$ это $S^{1}\times S^{1}$, а $Y$ это $\mathbb{R}^{2}$, я привел чуть выше. Впрочем, g______d утверждает, что пример непонятный. Попробую всё же пояснить его без формул. Плоскость наматываем на тор так, что одна декартова координата плоскости наматывается на одну задающую окружность тора, а другая - на другую. Площадь тора сохраняется при пропорциональном сжатии длины одной и растяжении длины другой окружности тора, следовательно декартовы координаты намотанной на тор плоскости также получают пропорциональное сжатие и растяжение. В свою очередь, группа сжатий-растяжений намотки тора изоморфна группе вращений псевдоевклидовой плоскости.

-- Вс май 20, 2012 20:36:35 --

Munin в сообщении #573768 писал(а):
Я ещё ссылку на литературу спросил.

Это не литературный термин.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
bayak в сообщении #573801 писал(а):
Попробую всё же пояснить его без формул.

А Вы с формулами.
bayak в сообщении #573801 писал(а):
где $X$ это $S^{1}\times S^{1}$, а $Y$ это $\mathbb{R}^{2}$


Может, наоборот!!
Но Вы писали о другом примере.
$S^{3}\times S^{1}$, $\mathbb{R}^{4}$ Как там?
bayak в сообщении #573801 писал(а):
Площадь тора сохраняется при пропорциональном сжатии длины одной и растяжении длины другой окружности тора,

То есть Вы отказываетесь от слов, что изначально метрик нет, (откуда тогда площадь?) а, оказывается, рассматриваете семейство метрик -- или семейство накрытий.
bayak в сообщении #573801 писал(а):
группа сжатий-растяжений намотки


Поподробнее об этой группе, где и как она действует?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #573801 писал(а):
Это не литературный термин.

Неважно. Приведите ссылку на литературу, где рассматривается это понятие, даже если оно названо иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 21:46 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
shwedka в сообщении #573807 писал(а):
А Вы с формулами.

Хорошо.
Наматываем:
$$x_1\mapsto e^{2\pi iR_1 x_1},$$$$x_2\mapsto e^{2\pi iR_2 x_2},$$
где $R_1,R_2$ радиусы задающих окружностей тора. Локальной метрики на торе нет, но поскольку он вложен в евклидово пространство, то его площадь равна $4\pi^{2}R_1\cdot R_2$. Следовательно для того, чтобы площадь тора оставалась равной единице, необходимо сохранять величину $R'_1\cdot R'_2=1$, что выполняется если $R'_1=e^{\varphi}R_1$ и $R'_2=e^{-\varphi}R_2$. Переносим эти деформации на плоскость $(x_1,x_2)$ и получаем:
$$x'_1=e^{\varphi}x_1,$$$$x'_2=e^{-\varphi}x_2.$$
Откуда следует, что на плоскости сохраняется величина $x_1\cdot x_2$. Но поскольку $(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$, то подходящей заменой переменных мы получим группу вращений псевдоевклидовой плоскости.
shwedka в сообщении #573807 писал(а):
Но Вы писали о другом примере.

Там по той же схеме. Но прежде неплохо было бы получить при помощи намотки плоскости на сферу группу вращений евклидовой плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bayak в сообщении #573872 писал(а):
где $R_1,R_2$ радиусы задающих окружностей тора. Локальной метрики на торе нет, но поскольку он вложен в евклидово пространство, то его площадь равна $4\pi^{2}R_1\cdot R_2$.


Как-то я сомневаюсь, что плоский тор можно вложить в двумерное евклидово пространство без разрывов. Что Вы понимаете под "вложен"?

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Munin в сообщении #573823 писал(а):
Приведите ссылку на литературу, где рассматривается это понятие, даже если оно названо иначе.

Напоминаю, что вы должны ответить на вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение20.05.2012, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
bayak писал(а):
Следовательно для того, чтобы площадь тора оставалась равной единице, необходимо сохранять величину $R'_1\cdot R'_2=1$

То есть у Вас не один тор, а семейство.
Поэтому Ваши отображения - на разных торах. Запомним.
bayak в сообщении #573872 писал(а):
то подходящей заменой переменных мы получим группу вращений псевдоевклидовой плоскости.


Да, при некотором отождествлении Вы получаете группу движений гиперболической плоскости. Но Вы говорили о гиперболической псевдометрике. Не наблюдается.
bayak в сообщении #573872 писал(а):
shwedka в сообщении #573807 писал(а):
Но Вы писали о другом примере.

Там по той же схеме.


Будет по той же, когда Вы это продемонстрируете. Путь в математический ад идет через 'аналогично'

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
873
bayak в сообщении #573090 писал(а):
Для разговора на эту тему предлагаю оттолкнуться от следующей математической модели.

Пусть у нас имеется псевдосфера $x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+x_{5}x_{6}+x_{7}x_{8}=1$, которая топологически эквивалентна цилиндру $\mathbb{R}^{4}\times S^{3}$,

Точнее, диффеоморфна. Эту псевдосферу можно определить как множество всех элементов нормы 1 расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона. Хорошо известно, что такое множество диффеоморфно прямому произведению $R^4\times S^3$.
bayak в сообщении #573090 писал(а):
и мы "укладываем" её на сферу $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}=\tau$, где $\tau$ это эволюционный параметр.

Как и зачем?
bayak в сообщении #573090 писал(а):
Имеются ли у этой конструкции некие признаки алгебры и геометрии макро- и микромира?

Ответ на этот вопрос зависит от того, что вы понимаете под "алгеброй и геометрией макро- и микромира".
bayak в сообщении #573090 писал(а):
Я утверждаю, что линейные касательные векторные поля этой псевдосферы образуют алгебру Клиффорда,

Это будет так и без ее "укладывания".
bayak в сообщении #573090 писал(а):
известную как геометрическая алгебра пространства-времени.

Нет, у этой алгебры (алгебры матриц Дирака) сигнатура другая.
bayak в сообщении #573090 писал(а):
Возможно также, что при компактификации этой псевдосферы, некомпактная часть цилиндра приобретает метрику пространства Минковского.

И это можно всегда сделать при должной компактификации.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 19:31 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
lek в сообщении #574127 писал(а):
Это будет так и без ее "укладывания".

Конечно, но "укладывание" понадобится для компактификации этой гиперсферы.
lek в сообщении #574127 писал(а):
Нет, у этой алгебры (алгебры матриц Дирака) сигнатура другая.

Конечно другая, но я имел в виду алгебру пространства-времени Хестенеса. Замечу при этом, что алгебра кватернионов и алгебра матриц Паули также отличаются сигнатурой, но если матрицы Паули умножить на мнимую единицу и рассматривать алгебру таких матриц над полем вещественных чисел, то мы получим алгебру кватернионов.
lek в сообщении #574127 писал(а):
И это можно всегда сделать при должной компактификации.

И тут я согласен с Вами. Более того, я полагаю, что компактифицировать надо на $S^{3}\times S^{1}$.
shwedka в сообщении #573895 писал(а):
То есть у Вас не один тор, а семейство.Поэтому Ваши отображения - на разных торах. Запомним.

Пожалуй, Вы правы, это плохой момент. Лучше изначально полагать, что тор один, а намотка с одной фиксированной точкой "скользит" по тору так, чтобы сохранялся детерминант матрицы преобразования координат намотки.
shwedka в сообщении #573895 писал(а):
Да, при некотором отождествлении Вы получаете группу движений гиперболической плоскости. Но Вы говорили о гиперболической псевдометрике. Не наблюдается.

Я полагал, что в математике давно устоялась схема: плоскость $+$ группа $=$ геометрия.
shwedka в сообщении #573895 писал(а):
Будет по той же, когда Вы это продемонстрируете. Путь в математический ад идет через 'аналогично'

Согласен, но lek утверждает, что в вопросах получения метрики через компактификацию нет никаких проблем. Может быть я напрасно стараюсь.
g______d в сообщении #573881 писал(а):
Как-то я сомневаюсь, что плоский тор можно вложить в двумерное евклидово пространство без разрывов. Что Вы понимаете под "вложен"?

Почему в двумерное? Уж лучше в четырёхмерное.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #574257 писал(а):
Я полагал, что в математике давно устоялась схема: плоскость группа геометрия.

Приведите и на это ссылки на литературу.

И не вынуждайте меня звать модераторов, игнорируя мои вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 20:00 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Munin в сообщении #574280 писал(а):
Приведите и на это ссылки на литературу.И не вынуждайте меня звать модераторов, игнорируя мои вопросы.

Дорогой Munin, поищите эту "формулу" в работах Ф. Клейна. Что касается призыва к модераторам, то, по большому счёту, это всё же не тот вопрос, который требует вмешательства модераторов. Не стоит конфликтовать из-за каких-то пустяков.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
$\mathbb R^3$ на $S^3$ нельзя "намотать" --- если я правильно понимаю определение. Не существует накрытия $S^3$ с тотальным пространством $\mathbb R^3$.

bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #574304 писал(а):
Дорогой Munin, поищите эту "формулу" в работах Ф. Клейна.

Дорогой bayak, это не ссылка, а издевательство.

bayak в сообщении #574304 писал(а):
Не стоит конфликтовать из-за каких-то пустяков.

То, что вы постоянно изъясняетесь на каком-то своём птичьем языке, который отказываетесь расшифровать, не пустяки.

-- 21.05.2012 23:54:55 --

g______d в сообщении #574370 писал(а):
bayak, мне бы очень хотелось, чтобы Вы выписали математические определения всех употребляемых Вами словосочетаний, относящихся к математике, а также математически сформулировали все утверждения --- либо в виде теорем, либо в виде четко сформулированных гипотез.

Поддерживаю это предложение.

 Профиль  
                  
 
 Re: алгебра и геометрия макро- и микромира
Сообщение21.05.2012, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
873
bayak в сообщении #574257 писал(а):
Замечу при этом, что алгебра кватернионов и алгебра матриц Паули также отличаются сигнатурой, но если матрицы Паули умножить на мнимую единицу и рассматривать алгебру таких матриц над полем вещественных чисел, то мы получим алгебру кватернионов.

Точно так же (используя мнимую единицу) можно перейти от расщепляемой вещественной алгебры Кэли-Диксона к алгебре октонионов. А значит, получить сферу $S^7$ из псевдосферы $R^4\times S^3$. И не надо никакой "укладки" или "наматывания"...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: ozheredov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group