Изотропный тензор 6-го ранга.

[Alex-Yu]

Понадобился мне тензор шестого ранга $v_{ijklmn}\,$, симметричный относительно любых перестановок первых трех индексов, последних трех индексов и перестановки группы первых трех индексов с группой последних трех. Это некий материальный тензор среды. Интересует его представление для изотропной среды. Я даже догадываюсь, как он должен быть устроен, но догадки и есть догадки, возникли сомнения, и хочется комментарий сообщества.

Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Проблема заключается в том, что это лишь интуитивное предположение. А писать здесь непосредственно закон преобразования и выводить "в лоб" уж слишком громоздко. Может кто может сказать что-то более вразумительное по этому поводу или посоветовать подходящую литературу?

И еще. Разложение прямого произведения наприводимых представлений $SO(3)$ на неприводимые -- вещь хорошо известная. А вот как разлагается СИММЕТРИЗОВАННОЕ произведение двух неприводимых представлений $SO(3)$? В принципе вопрос родственный первоначальному вопросу.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):

Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями.

Нет, слишком скудно. Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга, и его тензорное произведение на самого себя. Получится то, что удовлетворяет вашему описанию. А у такого тензора 3 ранга уже больше "степеней свободы". Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #565531 писал(а):

Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга,

А такие бывают? Такие, чтобы при вращениях его компонеты не менялись и при этом был симметричный (вот тензор Леви-Чевита бывает, но он асимметричный)... Вроде как нет. Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях. В любом случае вопрос в том, как получить ответ более-менее регулярно, а не гадать.

-- Вс апр 29, 2012 19:18:10 --

Munin в сообщении #565531 писал(а):

Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.

Не пойдет. Меняется при вращениях.

[type2b]

Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения. Давайте по-рабочекрестьянски с ними разберемся. В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$. Потом домножаем еще на одно и выделяем симметричную часть, т.е. нужна симметричная часть в $(1+5)\times 3=3+3+5+7$. Всего у симметричного тензора 3 ранга 10 компонент, поэтому это будет отсюда $3+7$ кусок. Теперь вы перемножаете $(3+7)\times (3+7)$. Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$. В симметризованном произведении, таким образом, не более двух синглетных компонент. Вроде, нигде не ошибся.

[Alex-Yu]

type2b в сообщении #565563 писал(а):

Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения.

Вот-вот, это уже ближе

-- Вс апр 29, 2012 21:18:00 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):

В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$.

А можно по подробнее? Вроде как должно получится $J$ от 0 до 2 с шагом единица. Ну по квантовой теории момента... И каким именно образом выделяется симметричная часть?

А... Понял. Ваши цифирьки означают размерность. Т.е. такие $J$ и есть. Пожалуйста подробнее на счет выкидывания 3. Я в общем подозревал что векторное представление надо выкинуть Просто на том основании что у симметричного бесшпурового тензора второго ранга 5 независимых компонент. Но не могу сообразить на счет формальных оснований этого выкидывания.

-- Вс апр 29, 2012 21:20:07 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):

Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$.

Т.е. независимых констант две, как я и предпологал. Это радует Но на счет симметризации я пока не уловил. Да и явный вид тензорных компонент через эти две константы нужен.

[type2b]

добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.
Смотрите, в произведении $3\times 3$, например, антисимметричная часть имеет размерность 3 (антисимметричный тензор), симметричная часть размерность $6=5+1$, поэтому антисимметричная часть -- кусок со спином 1, симметричная -- тривиальное представление плюс спин 2. Как они выделяются? Антисимметричную часть можно умножить на инвариантный эпсилон-тензор, два антисимметричных индекса превратятся в один, т.е. векторное. В симметричной части след будет синглетом, а бесследовые симметричные тензоры как раз имеют размерность 5, т.е. кусок спина 2. И т.д.

[Alex-Yu]

type2b в сообщении #565578 писал(а):

добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.

Это понятно. Инвариант можно получить только перемножением представления на себя (комплексное сопряжение -- само собой). Причем перемножая только соответствующие компоненты. И суммируя потом.

Но на счет симметризации мне Ваше рассуждение пока кажется неким угадыванием. Ну ладно размерность 3, можно сообразить через дуальность асимметричного тензора второго ранга вектору. А при больших размерностях... Гадать через подбор числа компонет... Нет уверенности что ВСЕГДА получится правильно. Хочется регулярной процедуры

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):

Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях.

Да, я сначала обратил внимание только на перестановки индексов, а не на изотропность. Ну всё равно, компоненты 111, 112 и 123 у него можно задать разными.

Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):

А такие бывают?

А в чём проблема? Берём кубик 3x3x3, и заполняем его числами так, чтобы он был симметричен относительно вращений и отражений, сохраняющих главную диагональ - это получается шесть "долек". В одну "дольку" входят компоненты:
111 112 113
122 123
133
222 223
233
333
Дальше, с учётом вашего требования изотропности, они ещё дальше между собой переотождествляются, но всё равно 111, 112 и 123 остаются различными.

Дальше, для тензора 6 ранга, видимо, параметров будет столько же. А именно. Возьмём два тензора 3 ранга, как описали выше. Наш тензор 6 ранга должен раскладываться в базис из тензорных произведений таких тензоров 3 ранга. А у них, по условию, должны быть равны друг другу соответствующие компоненты 111, 112 и 123.

[type2b]

1. для ответа на ваш вопрос не нужно общей процедуры, это рассуждение строгое
2. общая процедура -- смотрите, как представления индексируются диаграммами Юнга (где лучше всего смотреть -- не знаю)
3. а почему вам нужен именно инвариантный тензор?

[espe]

Инвариантный относительно вращений тензор может строиться только из двух объектов: $\delta_{ij}$ и $\varepsilon_{ijk}$. Из-за условия симметрии на индексы остаётся только дельта символ. Так как индексов шесть, то должно быть произведение трёх дельт. Индексы развешиваете исходя из условий симметрии на них. Получится, то что

Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):

Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Далее, если нужно условие бесследовости, то один параметр выразится через другой. Получиться "бесследовый дельта символ третьего ранга" $\delta_{(ijk)}^{(lmn)}$ умноженнй на константу.

Насчет его неприводимости я не уверен.

[Himfizik]

Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):

или посоветовать подходящую литературу?

type2b в сообщении #565627 писал(а):

(где лучше всего смотреть -- не знаю)

Рекомендую "Теорию групп и ее применение к физическим проблемам" американца Мортона Хамермеша. Насколько я понял проблему, там должны быть все ответы на Ваши вопросы.

[Alex-Yu]

type2b в сообщении #565627 писал(а):

а почему вам нужен именно инвариантный тензор?

Ну так это материальный тензор ИЗОТРОПНОЙ среды. Сколько эту среду ни крути, ничего не должно меняться. Я же писал в самом начале

Всем спасибо за ответы.

[Munin]

Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы" :-)

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #565689 писал(а):

Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы"

Ответы были нужны только в плане обсуждения. Как нечто стимулирующее мысль. Что же касается ответа задачи, то я все равно никому никогда не верю, кроме как самому себе Важен не ответ сам по себе, а логический путь к ответу. Два ответа оказались в этом смысле полезны (и дают они один ответ задачи в итоге). Ну а третий ответ... Все равно спасибо за попытку

[Munin]

Ну если я лажанул, то хоть скажите где :-)