2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 11:40 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Понадобился мне тензор шестого ранга $v_{ijklmn}\,$, симметричный относительно любых перестановок первых трех индексов, последних трех индексов и перестановки группы первых трех индексов с группой последних трех. Это некий материальный тензор среды. Интересует его представление для изотропной среды. Я даже догадываюсь, как он должен быть устроен, но догадки и есть догадки, возникли сомнения, и хочется комментарий сообщества.

Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Проблема заключается в том, что это лишь интуитивное предположение. А писать здесь непосредственно закон преобразования и выводить "в лоб" уж слишком громоздко. Может кто может сказать что-то более вразумительное по этому поводу или посоветовать подходящую литературу?

И еще. Разложение прямого произведения наприводимых представлений $SO(3)$ на неприводимые -- вещь хорошо известная. А вот как разлагается СИММЕТРИЗОВАННОЕ произведение двух неприводимых представлений $SO(3)$? В принципе вопрос родственный первоначальному вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями.

Нет, слишком скудно. Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга, и его тензорное произведение на самого себя. Получится то, что удовлетворяет вашему описанию. А у такого тензора 3 ранга уже больше "степеней свободы". Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 15:15 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Munin в сообщении #565531 писал(а):
Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга,


А такие бывают? Такие, чтобы при вращениях его компонеты не менялись и при этом был симметричный (вот тензор Леви-Чевита бывает, но он асимметричный)... Вроде как нет. Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях. В любом случае вопрос в том, как получить ответ более-менее регулярно, а не гадать.

-- Вс апр 29, 2012 19:18:10 --

Munin в сообщении #565531 писал(а):
Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.



Не пойдет. Меняется при вращениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:09 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения. Давайте по-рабочекрестьянски с ними разберемся. В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$. Потом домножаем еще на одно и выделяем симметричную часть, т.е. нужна симметричная часть в $(1+5)\times 3=3+3+5+7$. Всего у симметричного тензора 3 ранга 10 компонент, поэтому это будет отсюда $3+7$ кусок. Теперь вы перемножаете $(3+7)\times (3+7)$. Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$. В симметризованном произведении, таким образом, не более двух синглетных компонент. Вроде, нигде не ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:16 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
type2b в сообщении #565563 писал(а):
Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения.


Вот-вот, это уже ближе

-- Вс апр 29, 2012 21:18:00 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):
В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$.


А можно по подробнее? Вроде как должно получится $J$ от 0 до 2 с шагом единица. Ну по квантовой теории момента... И каким именно образом выделяется симметричная часть?

А... Понял. Ваши цифирьки означают размерность. Т.е. такие $J$ и есть. Пожалуйста подробнее на счет выкидывания 3. Я в общем подозревал что векторное представление надо выкинуть :-) Просто на том основании что у симметричного бесшпурового тензора второго ранга 5 независимых компонент. Но не могу сообразить на счет формальных оснований этого выкидывания.

-- Вс апр 29, 2012 21:20:07 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):
Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$.


Т.е. независимых констант две, как я и предпологал. Это радует :-) Но на счет симметризации я пока не уловил. Да и явный вид тензорных компонент через эти две константы нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:32 
Заслуженный участник


06/02/11
356
добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.
Смотрите, в произведении $3\times 3$, например, антисимметричная часть имеет размерность 3 (антисимметричный тензор), симметричная часть размерность $6=5+1$, поэтому антисимметричная часть -- кусок со спином 1, симметричная -- тривиальное представление плюс спин 2. Как они выделяются? Антисимметричную часть можно умножить на инвариантный эпсилон-тензор, два антисимметричных индекса превратятся в один, т.е. векторное. В симметричной части след будет синглетом, а бесследовые симметричные тензоры как раз имеют размерность 5, т.е. кусок спина 2. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:48 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
type2b в сообщении #565578 писал(а):
добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.


Это понятно. Инвариант можно получить только перемножением представления на себя (комплексное сопряжение -- само собой). Причем перемножая только соответствующие компоненты. И суммируя потом.

Но на счет симметризации мне Ваше рассуждение пока кажется неким угадыванием. Ну ладно размерность 3, можно сообразить через дуальность асимметричного тензора второго ранга вектору. А при больших размерностях... Гадать через подбор числа компонет... Нет уверенности что ВСЕГДА получится правильно. Хочется регулярной процедуры :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):
Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях.

Да, я сначала обратил внимание только на перестановки индексов, а не на изотропность. Ну всё равно, компоненты 111, 112 и 123 у него можно задать разными.

Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):
А такие бывают?

А в чём проблема? Берём кубик 3x3x3, и заполняем его числами так, чтобы он был симметричен относительно вращений и отражений, сохраняющих главную диагональ - это получается шесть "долек". В одну "дольку" входят компоненты:
111 112 113
122 123
133
222 223
233
333
Дальше, с учётом вашего требования изотропности, они ещё дальше между собой переотождествляются, но всё равно 111, 112 и 123 остаются различными.

Дальше, для тензора 6 ранга, видимо, параметров будет столько же. А именно. Возьмём два тензора 3 ранга, как описали выше. Наш тензор 6 ранга должен раскладываться в базис из тензорных произведений таких тензоров 3 ранга. А у них, по условию, должны быть равны друг другу соответствующие компоненты 111, 112 и 123.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 20:31 
Заслуженный участник


06/02/11
356
1. для ответа на ваш вопрос не нужно общей процедуры, это рассуждение строгое
2. общая процедура -- смотрите, как представления индексируются диаграммами Юнга (где лучше всего смотреть -- не знаю)
3. а почему вам нужен именно инвариантный тензор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 21:28 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Инвариантный относительно вращений тензор может строиться только из двух объектов: $\delta_{ij}$ и $\varepsilon_{ijk}$. Из-за условия симметрии на индексы остаётся только дельта символ. Так как индексов шесть, то должно быть произведение трёх дельт. Индексы развешиваете исходя из условий симметрии на них. Получится, то что
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Далее, если нужно условие бесследовости, то один параметр выразится через другой. Получиться "бесследовый дельта символ третьего ранга" $\delta_{(ijk)}^{(lmn)}$ умноженнй на константу.

Насчет его неприводимости я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 21:30 


31/10/10
404
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
или посоветовать подходящую литературу?

type2b в сообщении #565627 писал(а):
(где лучше всего смотреть -- не знаю)

Рекомендую "Теорию групп и ее применение к физическим проблемам" американца Мортона Хамермеша. Насколько я понял проблему, там должны быть все ответы на Ваши вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:07 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
type2b в сообщении #565627 писал(а):
а почему вам нужен именно инвариантный тензор?


Ну так это материальный тензор ИЗОТРОПНОЙ среды. Сколько эту среду ни крути, ничего не должно меняться. Я же писал в самом начале :-)

Всем спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:37 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Munin в сообщении #565689 писал(а):
Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы" :-)


Ответы были нужны только в плане обсуждения. Как нечто стимулирующее мысль. Что же касается ответа задачи, то я все равно никому никогда не верю, кроме как самому себе :-) Важен не ответ сам по себе, а логический путь к ответу. Два ответа оказались в этом смысле полезны (и дают они один ответ задачи в итоге). Ну а третий ответ... Все равно спасибо за попытку :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение30.04.2012, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну если я лажанул, то хоть скажите где :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group