2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 11:40 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
Понадобился мне тензор шестого ранга $v_{ijklmn}\,$, симметричный относительно любых перестановок первых трех индексов, последних трех индексов и перестановки группы первых трех индексов с группой последних трех. Это некий материальный тензор среды. Интересует его представление для изотропной среды. Я даже догадываюсь, как он должен быть устроен, но догадки и есть догадки, возникли сомнения, и хочется комментарий сообщества.

Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Проблема заключается в том, что это лишь интуитивное предположение. А писать здесь непосредственно закон преобразования и выводить "в лоб" уж слишком громоздко. Может кто может сказать что-то более вразумительное по этому поводу или посоветовать подходящую литературу?

И еще. Разложение прямого произведения наприводимых представлений $SO(3)$ на неприводимые -- вещь хорошо известная. А вот как разлагается СИММЕТРИЗОВАННОЕ произведение двух неприводимых представлений $SO(3)$? В принципе вопрос родственный первоначальному вопросу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
Я предполагаю, что тензор должен быть устроен так. Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями.

Нет, слишком скудно. Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга, и его тензорное произведение на самого себя. Получится то, что удовлетворяет вашему описанию. А у такого тензора 3 ранга уже больше "степеней свободы". Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 15:15 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
Munin в сообщении #565531 писал(а):
Возьмём произвольный полностью симметричный тензор 3 ранга,


А такие бывают? Такие, чтобы при вращениях его компонеты не менялись и при этом был симметричный (вот тензор Леви-Чевита бывает, но он асимметричный)... Вроде как нет. Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях. В любом случае вопрос в том, как получить ответ более-менее регулярно, а не гадать.

-- Вс апр 29, 2012 19:18:10 --

Munin в сообщении #565531 писал(а):
Например, у него три независимых компоненты с индексами 111, 222 и 333.



Не пойдет. Меняется при вращениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:09 
Заслуженный участник


06/02/11
356
Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения. Давайте по-рабочекрестьянски с ними разберемся. В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$. Потом домножаем еще на одно и выделяем симметричную часть, т.е. нужна симметричная часть в $(1+5)\times 3=3+3+5+7$. Всего у симметричного тензора 3 ранга 10 компонент, поэтому это будет отсюда $3+7$ кусок. Теперь вы перемножаете $(3+7)\times (3+7)$. Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$. В симметризованном произведении, таким образом, не более двух синглетных компонент. Вроде, нигде не ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:16 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
type2b в сообщении #565563 писал(а):
Если вы хотите инвариантный тензор, то надо посчитать, сколько раз тривиальное представление встречается в разложении этого произведения.


Вот-вот, это уже ближе

-- Вс апр 29, 2012 21:18:00 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):
В произведении двух векторных представлений $3\times 3=1+3+5$ симметричная часть -- это $1+5$.


А можно по подробнее? Вроде как должно получится $J$ от 0 до 2 с шагом единица. Ну по квантовой теории момента... И каким именно образом выделяется симметричная часть?

А... Понял. Ваши цифирьки означают размерность. Т.е. такие $J$ и есть. Пожалуйста подробнее на счет выкидывания 3. Я в общем подозревал что векторное представление надо выкинуть :-) Просто на том основании что у симметричного бесшпурового тензора второго ранга 5 независимых компонент. Но не могу сообразить на счет формальных оснований этого выкидывания.

-- Вс апр 29, 2012 21:20:07 --

type2b в сообщении #565563 писал(а):
Тут синглетная часть будет одна штука из $3\times 3$ и одна штука из $7\times 7$.


Т.е. независимых констант две, как я и предпологал. Это радует :-) Но на счет симметризации я пока не уловил. Да и явный вид тензорных компонент через эти две константы нужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:32 
Заслуженный участник


06/02/11
356
добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.
Смотрите, в произведении $3\times 3$, например, антисимметричная часть имеет размерность 3 (антисимметричный тензор), симметричная часть размерность $6=5+1$, поэтому антисимметричная часть -- кусок со спином 1, симметричная -- тривиальное представление плюс спин 2. Как они выделяются? Антисимметричную часть можно умножить на инвариантный эпсилон-тензор, два антисимметричных индекса превратятся в один, т.е. векторное. В симметричной части след будет синглетом, а бесследовые симметричные тензоры как раз имеют размерность 5, т.е. кусок спина 2. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 17:48 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
type2b в сообщении #565578 писал(а):
добавление: в произведении $3\times 3$ и $7\times 7$, очевидно, скалярная компонента содержится в симметричной части, так что ровно 2 инвариантных компоненты.


Это понятно. Инвариант можно получить только перемножением представления на себя (комплексное сопряжение -- само собой). Причем перемножая только соответствующие компоненты. И суммируя потом.

Но на счет симметризации мне Ваше рассуждение пока кажется неким угадыванием. Ну ладно размерность 3, можно сообразить через дуальность асимметричного тензора второго ранга вектору. А при больших размерностях... Гадать через подбор числа компонет... Нет уверенности что ВСЕГДА получится правильно. Хочется регулярной процедуры :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):
Речь же не о произвольном тензоре, а о не меняющемся при вращениях.

Да, я сначала обратил внимание только на перестановки индексов, а не на изотропность. Ну всё равно, компоненты 111, 112 и 123 у него можно задать разными.

Alex-Yu в сообщении #565536 писал(а):
А такие бывают?

А в чём проблема? Берём кубик 3x3x3, и заполняем его числами так, чтобы он был симметричен относительно вращений и отражений, сохраняющих главную диагональ - это получается шесть "долек". В одну "дольку" входят компоненты:
111 112 113
122 123
133
222 223
233
333
Дальше, с учётом вашего требования изотропности, они ещё дальше между собой переотождествляются, но всё равно 111, 112 и 123 остаются различными.

Дальше, для тензора 6 ранга, видимо, параметров будет столько же. А именно. Возьмём два тензора 3 ранга, как описали выше. Наш тензор 6 ранга должен раскладываться в базис из тензорных произведений таких тензоров 3 ранга. А у них, по условию, должны быть равны друг другу соответствующие компоненты 111, 112 и 123.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 20:31 
Заслуженный участник


06/02/11
356
1. для ответа на ваш вопрос не нужно общей процедуры, это рассуждение строгое
2. общая процедура -- смотрите, как представления индексируются диаграммами Юнга (где лучше всего смотреть -- не знаю)
3. а почему вам нужен именно инвариантный тензор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 21:28 
Заслуженный участник


25/01/11
390
Урюпинск
Инвариантный относительно вращений тензор может строиться только из двух объектов: $\delta_{ij}$ и $\varepsilon_{ijk}$. Из-за условия симметрии на индексы остаётся только дельта символ. Так как индексов шесть, то должно быть произведение трёх дельт. Индексы развешиваете исходя из условий симметрии на них. Получится, то что
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
Он равняется сумме двух составляющих с произвольными скалярными множителями. Первая составляющая это $\delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn}+$ всевозможные перестановки индексов в соответсвии с приведенными выше свойствами. Вторая составляющая это $\delta_{ij}\delta_{kl}\delta_{mn}+$ опять же перестановки. В итоге тензор определяется двумя параметрами.

Далее, если нужно условие бесследовости, то один параметр выразится через другой. Получиться "бесследовый дельта символ третьего ранга" $\delta_{(ijk)}^{(lmn)}$ умноженнй на константу.

Насчет его неприводимости я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 21:30 


31/10/10
404
Alex-Yu в сообщении #565468 писал(а):
или посоветовать подходящую литературу?

type2b в сообщении #565627 писал(а):
(где лучше всего смотреть -- не знаю)

Рекомендую "Теорию групп и ее применение к физическим проблемам" американца Мортона Хамермеша. Насколько я понял проблему, там должны быть все ответы на Ваши вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:07 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
type2b в сообщении #565627 писал(а):
а почему вам нужен именно инвариантный тензор?


Ну так это материальный тензор ИЗОТРОПНОЙ среды. Сколько эту среду ни крути, ничего не должно меняться. Я же писал в самом начале :-)

Всем спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение29.04.2012, 22:37 
Заслуженный участник


21/08/10
2180
Munin в сообщении #565689 писал(а):
Мне понравилось. Были приведены ответы 1, 2 и 3. И "всем спасибо за ответы" :-)


Ответы были нужны только в плане обсуждения. Как нечто стимулирующее мысль. Что же касается ответа задачи, то я все равно никому никогда не верю, кроме как самому себе :-) Важен не ответ сам по себе, а логический путь к ответу. Два ответа оказались в этом смысле полезны (и дают они один ответ задачи в итоге). Ну а третий ответ... Все равно спасибо за попытку :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изотропный тензор 6-го ранга.
Сообщение30.04.2012, 07:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Ну если я лажанул, то хоть скажите где :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group