Замечательный предел и нечестное доказательство

[g______d]

(Оффтоп)

Mopnex в сообщении #564576 писал(а):

http://dxdy.ru/post231701.html#p231701

Факт забавный. Я сначала пропустил пункт 3 и бросился придумывать контрпример :)

[Ales]

shwedka в сообщении #564660 писал(а):

Ales в сообщении #564345 писал(а):

Но shwedka: на самом деле:
На самом деле Вы привели несколько утверждений, которые не доказали

1. формула для площади круга не доказывается, и по сути эквивалентна замечательному пределу,

shwedka: Что означают слова 'по сути'? Что эквивалентна-- тогда докажите эту эквивалентность. Если не эквивалентна, то утверждение отбрасывается. А доказательств формулы для площади круга в различных источниках хватает.
2. длина окружности может быть строго определена только через интеграл,

Докажите, что 'только'

3. синус, как функция от длины дуги окружности, тоже может быть строго определен только через интеграл,


Докажите, что 'только'
4. площадь круга тоже может быть определена только через интеграл.

Докажите, что 'только'


Правильно ли использовать в курсе анализа такие нечестные доказательства?

Итак, ни одно из утверждений заявления ТС не доказано. Рекомендуется автору темы почитать учебники, и вопросы сами собой снимутся/

Насчет первого не буду распространяться: одно выводится из другого, следовательно логически эквивалентно.
Если считаете, что не так, докажите что не эквивалентно.

2,3,4 - на мой взгляд не нуждаются в доказательствах. Без интеграла ничего не получится.
Впрочем готов посмотреть на Ваш контрпример.

[shwedka]

Ales в сообщении #564706 писал(а):

Насчет первого не буду распространяться: одно выводится из другого, следовательно логически эквивалентно.
Если считаете, что не так, докажите что не эквивалентно.

2,3,4 - на мой взгляд не нуждаются в доказательствах. Без интеграла ничего не получится.
Впрочем готов посмотреть на Ваш контрпример.

Все не считается. Никаких контрпримеров Вам не положено.
Вы, сделав такие заявления,
обязаны их доказать.
В математике действует презумпция виновности.

[Ales]

shwedka в сообщении #564710 писал(а):

Ales в сообщении #564706 писал(а):

Насчет первого не буду распространяться: одно выводится из другого, следовательно логически эквивалентно.
Если считаете, что не так, докажите что не эквивалентно.

2,3,4 - на мой взгляд не нуждаются в доказательствах. Без интеграла ничего не получится.
Впрочем готов посмотреть на Ваш контрпример.

Все не считается.
Вы, сделав такие заявления,
обязаны их доказать.
В математике действует презумпция виновности.

Если Вы в это не верите, то зачем же Вам доказательство?
А если верите, то можете принять без доказательства.

Раз Вы меня ложно и гнусно обвинили, что де я не читал учебников, то с Вас контрпримерчик, в качестве извинения ;).
Будет разумный контрпример, соглашусь на то, что профессора не дурачат студентов.

-- Пт апр 27, 2012 22:45:13 --

Mopnex в сообщении #564674 писал(а):

Так можно определить синус без дуг, площадей и окружностей

Но число $\pi$ у Вас всё таки используется.
А это половина длины окружности единичного радиуса.

-- Пт апр 27, 2012 22:49:31 --

ewert в сообщении #564511 писал(а):

Кстати, для доказательства 1-го замечательного предела площадь не нужна и не естественна. Достаточно длины.

Надо доказывать, что внешний отрезок длиннее дуги. А это совсем не просто.
Поэтому при доказательстве используют площади.

-- Пт апр 27, 2012 22:53:55 --

Евгений Машеров в сообщении #564415 писал(а):

Формула для площади круга, вообще-то, была разными греками выводима до введения понятия интеграла, притом строго. И после курса средней школы полагается известной. Так что никакой нечестности.

Не согласен. Если что и известно о греческих формулах, так это предел вписанного многоугольника.
А это тот же самый интеграл.
Площадь круга - предел площади правильного n-угольника = сумма площадей треугольников $ = \frac 1 2 n \cpoint \sin \frac {2 \pi} n \to \pi$ - замечательный предел.

[shwedka]

Ales в сообщении #564713 писал(а):

Если Вы в это не верите, то зачем же Вам доказательство?
А если верите, то можете принять без доказательства.

Не принимается. В математике 'веришь-не-веришь' не считается за аргумент. Бывает только 'доказано-не-доказано'

Цитата:

Раз Вы меня ложно и гнусно обвинили, что де я не читал учебников, то с Вас контрпримерчик, в качестве извинения ;).
Будет разумный контрпример, соглашусь на то, что профессора не дурачат студентов.

Не вместо извинения, а даже сама извинюсь, когда Вы докажете Ваши утверждения.

Напоминаю. Вы утверждаете нечто про 'только'. Вот это 'только', то есть НЕВОЗМОЖНОСТЬ других доказательств Вам и требуется доказать.
например:

Цитата:

синус, как функция от длины дуги окружности, тоже может быть строго определен только через интеграл,

Вам нужно доказать, что синус невозможно определить без интеграла.

[ewert]

Ales в сообщении #564713 писал(а):

Поэтому при доказательстве используют площади.

Площадь вторична по отношению к длине, поскольку $\pi$ определяется всё-таки через длину.

Ales в сообщении #564713 писал(а):

Надо доказывать, что внешний отрезок длиннее дуги. А это совсем не просто.

Этого в определённом смысле вообще не надо доказывать. Поскольку длина дуги окружности формально определяется как супремум длин вписанных ломаных, он же инфимум длин описанных. Поэтому то неравенство является прямым следствием определения. И никаких интегралов.

[Mikhael]

Доказательство первого замечательного предела, не опирающееся на понятие длины окружности, есть в статье Ю.И.Любича "Два замечательных предела" в Математическом просвещении (http://www.mccme.ru/free-books/matpros5.html)

[Ales]

ewert в сообщении #564798 писал(а):

Этого в определённом смысле вообще не надо доказывать. Поскольку длина дуги окружности формально определяется как супремум длин вписанных ломаных, он же инфимум длин описанных. Поэтому то неравенство является прямым следствием определения. И никаких интегралов.

Согласен, но предел длин ломаных - это как раз, наш родной интеграл.
Длина ломаной - сумма большого числа длин маленьких отрезков - интеграл.

Хотя конечно, можно ввести отдельно длину для окружности, как для особой сущности в Евклидовой геометрии.
Некоторый частный и поэтому простой интеграл.

Но будут затруднения с вычислением числа $\pi$.

Греки, получается, могли ввести длину окружности, но не могли найти чему она равна: 3.1415.....

Замечу, что в таком случае замечательный предел - не что иное, как просто переформулировка определения длины окружности.

[ewert]

Mikhael в сообщении #565089 писал(а):

Доказательство первого замечательного предела, не опирающееся на понятие длины окружности, есть в статье Ю.И.Любича "Два замечательных предела" в Математическом просвещении (http://www.mccme.ru/free-books/matpros5.html)

Ну, как я понял (не вчитываясь), он доказывал 1-й предел по множеству всех конечных двоичных дробей. Это наверняка можно. Только это никак не отвечает на вопрос о том, что такое угловая мера вообще. И, соотв., что такое синус вообще -- тоже. Да и само понятие длины дуги -- принципиальное для приложений -- при этом затуманивается.

Древние пластические греки были мудрее: они вообще не заморачивались всяческими абстракциями, и уж тем более конкретно двоичными дробями.

-- Сб апр 28, 2012 21:35:00 --

Ales в сообщении #565121 писал(а):

Согласен, но предел длин ломаных - это как раз, наш родной интеграл.

Ни разу не интеграл.

Ales в сообщении #565121 писал(а):

Но будут затруднения с вычислением числа $\pi$.

Не будет. Строй себе многоугольники и считай. Раз уж это число уже формально определено.

[Ales]

shwedka в сообщении #564757 писал(а):

Вам нужно доказать, что синус невозможно определить без интеграла.

Я утверждал, что некоторую функцию длины окружности нельзя определить без интеграла.
То есть, некоторое понятие, которое определяется через длину окружности.
По сути, требуется доказать (вопрос вне нашей темы: а что такое доказательство?), что длину окружности и площадь окружности невозможно определить без интеграла.

Доказательство (которое с моей точки зрения является таковым):
В Евклидовой геометрии длина измеряется отношением к длине некоторого отрезка (метра), а площадь - в квадратах, со стороной равной метру.
Метр - не имеет ширины и толщины, совершенно прямой и совсем несгибаемый.
Его никак нельзя совместить с окружностью радиусом в один метр.
Даже если разрезать окружность на сто частей (дужек), ни одна дужка не совпадет с частью нашего метра.

Есть разумный выход - разрезать окружность на миллион равных частей и определить длину окружности через
сумму миллиона отрезков соединяющих два конца каждой дуги - это интеграл.

Другие выходы (которые приходят в голову) не годятся:
1. Мы не можем увеличить миллионную дужку в миллион раз, применяя подобие:
центр окружности уедет от нас на 1000 километров (бесконечность),
а радиусы превратятся в параллельные рельсы железной дороги.
2. С помощью циркуля и линейки построить отрезок равный длине окружности - квадратура круга.

Итак из трех возможных выходов годится только один - определить длину окружности с помощью интеграла, других способов нет, что и требовалось доказать :)

-- Сб апр 28, 2012 21:02:38 --

ewert в сообщении #565139 писал(а):

Не будет. Строй себе многоугольники и считай. Раз уж это число уже формально определено.

Кажется, это совсем не так просто.
А наоборот, ужасно сложно: $\pi = n\cdot \sqrt {(x-1)^2+y^2}, (x+iy)^n=1, n=1024$.

А в анализе считать элементарно (мощь анализа): $\pi = 12\cdot(\int \limits_0^{0.5} y dx - \frac {\sqrt 3} 8), x^2+y^2=1$.

[ewert]

Ales в сообщении #565162 писал(а):

Доказательство (которое с моей точки зрения является таковым):
В Евклидовой геометрии длина измеряется отношением к длине некоторого отрезка (метра) или в квадратах, со стороной равной метру.
Метр - не имеет ширины и толщины, совершенно прямой и совсем несгибаемый.

Никакое это не доказательство. Метр -- обыкновенно вполне сгибаем; но покуда Вы не определили его упругость -- и говорить не о чем.

[Ales]

ewert в сообщении #565174 писал(а):

Ales в сообщении #565162 писал(а):

Доказательство (которое с моей точки зрения является таковым):
В Евклидовой геометрии длина измеряется отношением к длине некоторого отрезка (метра) или в квадратах, со стороной равной метру.
Метр - не имеет ширины и толщины, совершенно прямой и совсем несгибаемый.

Никакое это не доказательство. Метр -- обыкновенно вполне сгибаем; но покуда Вы не определили его упругость -- и говорить не о чем.

Можно подправить и вместо метра использовать лом.
Такое доказательство пройдет по самым строгим стандартам (даже шведским).

[arseniiv]

Не пройдёт. Если нельзя найти величину $a$ без помощи метода Б, это не означает, что он нужен и для нахождения $f(a)$ для каких-то $f$.

[Ales]

Ales в сообщении #565162 писал(а):

Кажется, это совсем не так просто.
А наоборот, ужасно сложно: $\pi = n\cdot \sqrt {(x-1)^2+y^2}, (x+iy)^n=1, n=1024$.

Исправлю формулу, приблизительно $2\pi = n\cdot \sqrt {(x-1)^2+y^2}, (x+iy)^n=1, n=1024$.
Но лучше через площадь, приблизительно $2\pi = n\cdot y, (x+iy)^n=1, n=1024$.

[shwedka]

Ales в сообщении #565162 писал(а):

В Евклидовой геометрии длина измеряется отношением к длине некоторого отрезка (метра),

Уже не годится. вы защищаете первокурсников. Так что должны исходить из материала анализа, предшествующего обсуждаемой формуле. Так что ссылаться на Евклидову геометрию - не по делу.

Общая ошибка в логике. Из того, что некоторую величину можно понимать как интеграл Вы делаете ошибочный вывод, что ее нельзя понимать иначе.
Да, предел длин ломаных -это интеграл. Но этот факт в рассуждении о длине окружности или площади круга не используется. Много других фактов тоже не используется.
Формула, что интеграл от косинуса будет синус тоже можно вывести из предельного перехода, как и много чего другого. Но это тоже не используется.

Используется вполне легальное понятие предела.
Это потом, на втором курсе или на втором семестре студентам объясняют, что находить можно не только длину окружности, но и длины других кривых.

И не путайте две РАЗЛИЧНЫЕ вещи.
1. длина кривой ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ как предел. Никаких интегралов.

2. длина кривой МОЖЕТ ВЫЧИСЛЯТЬСЯ с помощью интеграла, но не обязательно. В каких-то случаях может вычисляться и без помощи интеграла.