Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[Time]

g______d в сообщении #563264 писал(а):

1. В алгебре есть только вещественные компоненты. Тогда, если формула Коши и есть, то она верна только в одной точке. Правильно я это понял? Я, впрочем, по-прежнему считаю, что ее нет, но не считаю нужным опровергать что-то, что верно максимум в одной точке.

Правильно поняли. При таком способе построения контура - да. Но я не оставляю надежд, предложить иной способ построения произвольных контуров, которые охватывают не одну "точку" ("точка" взята в кавычки, так как я думаю, что более правильно в качестве гиперболического аналога точки рассматривать ее вместе с изотропными подпространствами, в случае плоскости - с двумя изотропными прямыми), а много, целую область. Один из вариантов я изобразил графически здесь:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-211.jpg

Слева представлена псевдоевклидова плоскость со всеми четырьмя квадрантами и парой точек в одном из них (отмечены красным). С каждой из точек связаны пара изотропных прямых (тонкие черные линии). Синим обозначен произвольный контур, который должен "охватывать" отмеченные красным "точки" вместе с их изотропными "хвостами". Такое если и возможно, то только на бесконечности этих "хвостов". Что бы визуализовать поведение как контура, так и охватываемых им "хвостов" справа представлена та же псевдоевклидова плоскость, но компактифицированная за счет специального конформного отображения связанного с функцией гиперболического тангенса. На таком конформном образе (кажется они называются диаграммами Пенроуза) наглядно видно и поведение контура, и "хвостов" на бесконечности. Мне очевидно, что если красные точки и связанные с ними "хвосты" являются гиперболическими источниками или гиперболическими вихрями, полный поток векторного поля через такой контур от всех попадающих в него "хвостатых" особенностей меняться не будет и равен сумме "гипреболических зарядов" внутри этого контура. То же самое для циркуляции векторного поля, только интеграл по замкнутому контуру должен равняться сумме обильностей вихрей.
Еще один тонкий момент. Для получения формулы Коши на плоскости двойной переменной, скорее всего, остаться в алгебре двойных чисел над полем вещественных - не удастся. Потребуется как и с некоторыми проблемами на вещественной оси - комплексификация и переход к алгебре двойных чисел над полем комплексных. геометрически это означает выход из двумерной псевдоевклидовой плоскости в четырехмерное финслерово пространство с двумерной комплексной метрикой Бервальда-Моора. В Вещественных координатах такая метрика имеет четвертый порядок. Связанные с нею поличисла в отличие от обычных двойных образуют алгебраически замкнутое множество. То что здесь имеется аналог (вернее аналоги) формулы Коши Вы косвенно уже признали, правда ошибочно думаете, что это результат просто последовательного применения формул на двух плоскостях от одной комплексной переменной каждая.

Цитата:

2. В алгебре есть только комплексные компоненты. Тогда интеграл распадается на интегралов, каждый по своей переменной, и для каждого применяется классическая формула Коши. Направление обхода в соответствующей компоненте индуцируется направлением исходного контура. Там действительно могут меняться знаки, т. к. возможных ориентаций . Но я по-прежнему считаю, что это тривиально и доказывается в 1 строчку.

Тогда получите в одну строчку формулы (28) и (29) на стр. 29-30. Без гиперболических единиц Вы их не получите, а как только они появляются результирующее прсотранство оказывается сложнее устроенным, чем просто пара комплексных плоскостей. Обратите внимание хотя бы на тот факт, что в вещественных координатах такое пространство четырехмерно, а множество его глобальных конформных преобразований бесконечно.

Цитата:

3. Есть и вещественные, и комплексные компоненты...

Тут мне пришлось обратиться за помошью к соавтору. Приведу его ответ мне:
"g______d прав, но и мы правы. Ошибки мы не допустили. Если только где-то ещё.
Правда, мы не отметили явно именно тот момент, на котором он настаивает.
Формула (18) верна для $\mathbb R\oplus \mathbb C$, а формула (19) верна только для поличисел $P(k+2 m)$,
у которых $k=0$. В последнем абзаце об этом сказано, но вскользь. Именно поэтому
мы и рассматривали в качестве примера поличисла $\mathbb C\oplus \mathbb C$.

И все же, формула (18) имеет место и может использоваться!"

Так что, если Вас не устраивает этот ответ, могу только еще раз предложить написать и опубликовать соответствующую заметку. В качестве реакции обещаю, либо признать Ваши замечания, либо привести наши контраргументы.

Цитата:

Я считаю, что связь именно такой алгебры, как у Вас, с физикой и с геометрией преувеличена. Но, поскольку я не могу формализовать это утверждение, я не хотел бы об этом сейчас спорить.

Ну, это Вы уже явно в полемическом запале произнесли. Напомню, что алгебра двойных чисел связана с самым что ни на есть признаваемым современной физикой многообразием - пространством Минковского. То, что у него в данном случае только два измерения его не только не "портит", но наоборот, из-за бесконечного множества конформных преобразований делает еще более физически привлекательным, что и используется в частности в теории суперструн.

Может Вы хотели сказать не про пространство двойных чисел, а про четырехмерное финслерово пространство четверных чисел? Ну так оно ничем не хуже того же Минковского и даже содержит его в качестве подструктуры..

Цитата:

В некотором смысле, если хотите, "отсутствие алгебры" (а тем более коммутативной и тривиально устроенной) как раз говорит о сложной и содержательной структуре.

Еще одно утверждение в запале. Сравните евклидову плоскость с его коммутативной алгеброй и любое двумерное пространство без алгебры. Например, с плоскостью, где метрика задана суммой двух компонгент в четвертых степенях. Кстати, о таких пространствах говорил Риман еще в 1854 году. Будете настаивать "на его сложной и содержательной структуре"? Особенно в сравнении с пространством коммутативных комплексных чисел..

[g______d]

Time в сообщении #563445 писал(а):

Тогда получите в одну строчку формулы (28) и (29) на стр. 29-30. Без гиперболических единиц Вы их не получите, а как только они появляются результирующее прсотранство оказывается сложнее устроенным, чем просто пара комплексных плоскостей.

Ваши "гиперболические единицы" --- это последовательности из $1$ и $-1$. Если изменить ориентацию одного из контуров, то знак соответствующей компоненты изменится, и это можно интерпретировать как умножение на соответствующую "гиперболическую единицу". Больше, чем это, в формулах (28) и (29) нет. Можете называть это как угодно, но это тривиально.

"Пара комплексных плоскостей" и "произведение двух комплексных плоскостей" --- это разные вещи. У Вас второй случай. Тем не менее, все функции и интегралы распадаются по компонентам.

Time в сообщении #563445 писал(а):

И все же, формула (18) имеет место и может использоваться!"

Это значит, что в ее правой части соответствующая (вещественная) компонента умножается на ноль. Т. е. это да, аналог формулы Коши, но только для "комплексной" части функции, и он настолько же тривиален, как и в предыдущей ситуации.

-- 24.04.2012, 21:39 --

Тривиален в том смысле, что это опять классическая формула Коши для комплексных компонент функций и "0=0" для всех вещественных компонент. Но формально да, в таком виде это верно.

[Time]

g______d в сообщении #563506 писал(а):

Ваши "гиперболические единицы" --- это последовательности из $1$ и $-1$. Если изменить ориентацию одного из контуров, то знак соответствующей компоненты изменится, и это можно интерпретировать как умножение на соответствующую "гиперболическую единицу". Больше, чем это, в формулах (28) и (29) нет. Можете называть это как угодно, но это тривиально.

Вы меня не поняли. Речь не только и не столько о том, как меняется вид формулы Коши, сколько в понимании, что с переходом к пространствам, являющимся прямыми суммами или прямыми произведениями нескольких вещественных или комплексных алгебр в изотропном базисе, Вы не можете понять всех их свойств, рассматривая по отдельности свойства одномерных и двумерных подпространств. То есть, геометрия результирующего пространства несравненно более богата, чем ее исходные "кирпичики".

Цитата:

"Пара комплексных плоскостей" и "произведение двух комплексных плоскостей" --- это разные вещи. У Вас второй случай. Тем не менее, все функции и интегралы распадаются по компонентам.

Хорошо, что вы это понимаете. Но по-моему Вы все равно не понимаете, чем получающееся пространство отличается от его составляющих..

Time в сообщении #563445 писал(а):

Это значит, что в ее правой части соответствующая (вещественная) компонента умножается на ноль. Т. е. это да, аналог формулы Коши, но только для "комплексной" части функции, и он настолько же тривиален, как и в предыдущей ситуации.

Мне кажется, Вы забыли, что в обычных многомерных евклидовых или псевдоевклидовых пространствах нет и такого "тривиального" аналога формулы Коши. Тем более, что этот "тривиальный" аналог полностью, по Вашим же словам, совпадает с самой интегральной формулой Коши на комплексной плоскости, которую, вроде бы как язык не у всякого повернятся назвать бесполезной игрушкой..

Цитата:

Тривиален в том смысле, что это опять классическая формула Коши для комплексных компонент функций и "0=0" для всех вещественных компонент. Но формально да, в таком виде это верно.

Хорошо, что Вы это заметили. Остается сравнить это свойство с отсутствием чего то подобного в обычных многомерных евклидовых или псевдоевклидовых пространствах, даже в комплексифицированных случаях..
Требование отозвать статью из журнала - снимаете?

[g______d]

Time в сообщении #563566 писал(а):

Вы меня не поняли. Речь не только и не столько о том, как меняется вид формулы Коши, сколько в понимании, что с переходом к пространствам, являющимся прямыми суммами или прямыми произведениями нескольких вещественных или комплексных алгебр в изотропном базисе, Вы не можете понять всех их свойств, рассматривая по отдельности свойства одномерных и двумерных подпространств. То есть, геометрия результирующего пространства несравненно более богата, чем ее исходные "кирпичики".

С точки зрения, обсуждаемой в Вашей статье, --- нет. Например, в $\mathbb C\oplus \mathbb C$ функция $f(z_1,z_2)=(z_2,z_1)$ не голоморфна. Как и любая функция, сплетающая разные компоненты алгебры. Поэтому каждая функция живет в своем подпространстве, и другие ее не "видят". Никто не спорит, что какие-то свойства, да, богаче, но не те, что расматриваются в статье.

Time в сообщении #563566 писал(а):

Хорошо, что вы это понимаете. Но по-моему Вы все равно не понимаете, чем получающееся пространство отличается от его составляющих..

С точки зрения формулы Коши --- ничем. В данном случае компоненты абсолютно независимы.

Time в сообщении #563445 писал(а):

Мне кажется, Вы забыли, что в обычных многомерных евклидовых или псевдоевклидовых пространствах нет и такого "тривиального" аналога формулы Коши. Тем более, что этот "тривиальный" аналог полностью, по Вашим же словам, совпадает с самой интегральной формулой Коши на комплексной плоскости, которую, вроде бы как язык не у всякого повернятся назвать бесполезной игрушкой..

Ну да, но по сути Ваша статья представляет собой следующее: была формула Коши для одной функции. Теперь возьмем две функции, и для каждой напишем формулу Коши. Получили нетривиальный результат --- две формулы Коши для двух функций!

Time в сообщении #563445 писал(а):

Требование отозвать статью из журнала - снимаете?

Требования не будет. Решать Вам. Желающий разобраться нагуглит эту ветку за 1 минуту.

[Time]

g______d в сообщении #563574 писал(а):

Ну да, но по сути Ваша статья представляет собой следующее: была формула Коши для одной функции. Теперь возьмем две функции, и для каждой напишем формулу Коши. Получили нетривиальный результат --- две формулы Коши для двух функций!

Повторю еще раз. Мы говорим сейчас о четырехмерном(!) пространстве, а не о двух функциях. И у этого пространства работает(!) стандартная формула Коши и бесконечномерное(!) множество глобальных конформных симметрий. А я заявляю, что здесь есть еще более богатые множества симметрий, аналогов которым не было и не могло быть в обычных квадратичных пространствах. И они так же образуют бесконечные множества, но еще более интересные, чем конформные преобразования. Вы же только тривиальные моменты хотите замечать..

[g______d]

Time в сообщении #563583 писал(а):

бесконечномерное(!) множество глобальных конформных симметрий.

А вот и нет. Для $\mathbb C\oplus \mathbb C$ множество глобальных конформных симметрий конечномерно. По той же причине, что и для $\mathbb C$.

[Time]

g______d в сообщении #563585 писал(а):

Time в сообщении #563583 писал(а):

бесконечномерное(!) множество глобальных конформных симметрий.

А вот и нет. Для $\mathbb C\oplus \mathbb C$ множество глобальных конформных симметрий конечномерно. По той же причине, что и для $\mathbb C$.

Я прошлый раз с Вами согласился на счет неправомерности применять к множеству глобальных конформных симметрий комплексной плоскости термина "группа" из-за отсутствия существования для всех преобразований обратных. Хотя обычно народ не обращает внимания на такие мелочи. Но в данном случае применен термин "множество". Хотите сказать, что конформные преобразования комплексной плоскости не глобальны? Или их не бесконечное множество? Расшифруйте, пожалуйста, свое оригинальное утверждение..

[g______d]

Time в сообщении #563589 писал(а):

Я прошлый раз с Вами согласился на счет неправомерности применять к множеству глобальных конформных симметрий комплексной плоскости термина "группа" из-за отсутствия существования для всех преобразований обратных. Хотя обычно народ не обращает внимания на такие мелочи. Но в данном случае применен термин "множество". Хотите сказать, что конформные преобразования комплексной плоскости не глобальны? Или их не бесконечное множество? Расшифруйте, пожалуйста, свое оригинальное утверждение..

Ну это вопрос того, действительно, что считать глобальным. Большинство людей считают глобальным конформным преобразованием взаимно однозначное отображение пространства в себя, являющееся конформным (и, разумеется, определенное на всем $\mathbb C$, без всяких бесконечностей). Я бы даже сказал, что это стандартное определение глобальности. И для $\mathbb C$ пространство таких отображений конечномерно.

Для случая $H_n(\mathbb R)$ такой проблемы нет, там очень много именно глобальных преобразований. Но некая ирония состоит в том, что это происходит в точности из-за того, что функции там произвольные гладкие. Во всех сужениях классов, предлагаемых Вами, это свойство нарушается. Я как-то упустил это из виду, но теперь говорю :)

-- 25.04.2012, 00:53 --

Для вещественно-аналитических вроде не нарушается, но, насколько я помню, мы сочли его слишком широким.

[Time]

g______d в сообщении #563595 писал(а):

Ну это вопрос того, действительно, что считать глобальным. Большинство людей считают глобальным конформным преобразованием взаимно однозначное отображение пространства в себя, являющееся конформным (и, разумеется, определенное на всем $\mathbb C$, без всяких бесконечностей). Я бы даже сказал, что это стандартное определение глобальности. И для $\mathbb C$ пространство таких отображений конечномерно.

Это некая извращенная казуистика. Конечно, можно требовать взаимнооднозначности именно на одном листе комплексной плоскости и только такие преобразования называть глобальными, хотя в таких преобразованиях, где задействованы многолистные римановы поверхности, глобальности поболе будет.
Потом, как Вы прикажете называть те конформные преобразования, которым соответствуют аналитические функции комплексной переменной, но которые по Вашему и "большинства людей" мнению не являются глобальными в строгом смысле данного термина? Неужели "локальными"?
Вопрос важный, так как без подходящего термина будем путаться..

Цитата:

Для случая $H_n(\mathbb R)$ такой проблемы нет, там очень много именно глобальных преобразований. Но некая ирония состоит в том, что это происходит в точности из-за того, что функции там произвольные гладкие. Во всех сужениях классов, предлагаемых Вами, это свойство нарушается. Я как-то упустил это из виду, но теперь говорю :)

Думаю, Вы успели заметить, что меня мало волнует строгость употребления терминов, а из контекста (при желании понять, а не придираться по пустякам) всегда можно понять, о каких именно конформных преобразованиях комплексной плоскости шла речь. И точно такие же конформные преобразования образуют бесконечное множество в пространстве, соответствующем алгебре $\mathbb C\oplus \mathbb C$. Бог с тем, что их нельзя называть глобальными.. И как их правильно называют "большинство людей"?

Цитата:

Для вещественно-аналитических вроде не нарушается, но, насколько я помню, мы сочли его слишком широким.

Это была только гипотеза. Она не доказана и не очевидна.. Широким точно можно считать только преобразования связанные просто с гладкими функциями..

[g______d]

Time в сообщении #563600 писал(а):

Это некая извращенная казуистика. Конечно, можно требовать взаимнооднозначности именно на одном листе комплексной плоскости и только такие преобразования называть глобальными, хотя в таких преобразованиях, где задействованы многолистные римановы поверхности, глобальности поболе будет.
Потом, как Вы прикажете называть те конформные преобразования, которым соответствуют аналитические функции комплексной переменной, но которые по Вашему и "большинства людей" мнению не являются глобальными в строгом смысле данного термина? Неужели "локальными"?
Вопрос важный, так как без подходящего термина будем путаться..

Ну слушайте, могли бы хотя бы стандартные определения из ТФКП посмотреть. Конформное преобразование --- это всегда взаимно однозначное голоморфное отображение одной области в $\mathbb C$ в другую, так что обратное к нему голоморфно. Локальное конформное преобразование --- это класс эквивалентных конформных преобразований, определенных в окрестности точки, переводящие эту точку в себя и обратимые в некоторой другой окрестности этой же точки (они замечательны тем, что как раз образуют бесконечномерную группу). Глобальные конформные преобразования --- это то, что я сказал выше, уж как минимум определенные на всем $\mathbb C$ и взаимно однозначные.

Можно то же говорить не на $\mathbb C$, а на сфере Римана, определения будут примерно те же.

[Time]

g______d в сообщении #563610 писал(а):

Конформное преобразование --- это всегда взаимно однозначное голоморфное отображение одной области в $\mathbb C$ в другую, так что обратное к нему голоморфно. Локальное конформное преобразование --- это класс эквивалентных конформных преобразований, определенных в окрестности точки, переводящие эту точку в себя и обратимые в некоторой другой окрестности этой же точки (они замечательны тем, что как раз образуют бесконечномерную группу)

Что-то я уже совсем начинаю запутываться. Разве так определенное понятие локального конформного преобразования, примененное не к комплексной или к евклидовой плоскости, а, например, к трехмерному евклидову проcтранству - не приведет к бесконечномерной группе? Именно за счет того, что рассматриваются лишь локальные окрестности точки до и после преобразования? Если ответ да, тогда чем в плане бесконечнмерности конформных преобразований выделяется именно двумерие?

Цитата:

Глобальные конформные преобразования --- это то, что я сказал выше, уж как минимум определенные на всем $\mathbb C$ и взаимно однозначные.

Извиняюсь за тупость, но я не понимаю, как преобразования действующие на всей многолистной римановой поверхности (и которых в двумерии бесконечномерное множество) могут именоватья "локальными"?

Цитата:

Можно то же говорить не на $\mathbb C$, а на сфере Римана, определения будут примерно те же.

Это сейчас не важно. Тут бы с двух и трехмерными плоскими пространствами и их конформными преобразованиями в голове порядок навести...

[g______d]

Time в сообщении #563616 писал(а):

Что-то я уже совсем начинаю запутываться. Разве так определенное понятие локального конформного преобразования, примененное не к комплексной или к евклидовой плоскости, а, например, к трехмерному евклидову проcтранству - не приведет к бесконечномерной группе? Именно за счет того, что рассматриваются лишь локальные окрестности точки до и после преобразования? Если ответ да, тогда чем в плане бесконечнмерности конформных преобразований выделяется именно двумерие?

О, я вижу, Вы наконец-то заинтересовались происхождением того, о чем пишете в заголовке каждой своей темы :)

Не приведет. Можно написать уравнения конформности и увидеть, что в трехмерном случае множество их решений конечномерно (даже если мы не требуем продолжаемости на все пространство), а в двумерном --- нет. Если мы захотим продолжения на все пространство и обратного отображения тоже, свойство бесконечномерности в двумерном случае потеряется.

Time в сообщении #563616 писал(а):

Извиняюсь за тупость, но я не понимаю, как преобразования действующие на всей многолистной римановой поверхности (и которых в двумерии бесконечномерное множество) могут именоватья "локальными"?

Они не именуются ни так, ни так. Они не глобальные, т. к. могут быть заданы на области в $\mathbb C$ и не продолжаться за ее пределы.

Вообще, все разговоры о бесконечномерности пространства каких-то отображений ведутся, если они заданы на каком-то одном множестве и область значений у них тоже какая-то общая (в смысле, содержится в каком-то заданном множестве). Если у каждого отображения своя риманова поверхность, то их сложно сравнивать, разве что локально.

[Time]

Вверху осталось без к.л. реакции предложение попробовать переопределить, по сути, топологию и сходимость на множестве двойных чисел:

Цитата:

Но я не оставляю надежд, предложить иной способ построения произвольных контуров, которые охватывают не одну "точку" ("точка" взята в кавычки, так как я думаю, что более правильно в качестве гиперболического аналога точки рассматривать ее вместе с изотропными подпространствами, в случае плоскости - с двумя изотропными прямыми), а много, целую область. Один из вариантов я изобразил графически здесь:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-211.jpg

Вы что то там говорили об определении новой топологической базы? Если временно оставить в стороне все те неприятные моменты, которые произойдут при смене стандартной топологии на нестандартную, на сколько проиллюстрированный рисунком выше вариант кажется Вам проходным? Хотя бы в плане переопределения понятия сходимости последовательности "точек" (под "точками" тут понимаются обычные точки с четырьмя торчащими из них одномерными " усами"), соответствующих двойным числам? Если не видите навара для переопределения понятия сходимости последовательности таких "точек" (что бы она естественным образом кооптировалась с уже известной нам алгеброй и анализом на двойных числах), то прокомментируйте хотя бы в отношении охвата произвольным контуром не одной, а целой области таких "точек". Мне кажется, что в таком необычном смысле "точки" охватываемой области и "точки" охватывающего контура более менее логично сосуществуют..

Цитата:

Ну да, но по сути Ваша статья представляет собой следующее: была формула Коши для одной функции. Теперь возьмем две функции, и для каждой напишем формулу Коши. Получили нетривиальный результат --- две формулы Коши для двух функций!

Тут есть еще одно обстоятельство. Формул Коши на бикомплексной плоскости не две, а четыре. Вы почему-то совершенно не видите разницы между двумя стандартными формулами Коши, они для пространства бикомплексных чисел идут под номерами (26), (27) и "не стандартные", идущие под номерами (28), (29). В первой паре формул стоят обычные эллиптически мнымые единицы, а во второй паре - гиперболические. Выше Вы попытались среагировать на мое акцентирование данного обстоятельства, мол это одно и то же с точностью до смены замкнутого контура. Но Вы не обратили внимания на то, что во второй паре формул типа Коши присутствуют не просто наборы эллиптических и гиперболических единиц, в них находятся делители нуля! Отмахнуться от этого факта просто так нельзя. Тем более, примерно об этом я пытался Вам говорить много выше, когда обращал внимание на связь гипотетической формулы Коши на плоскости двойной переменной с экспоненциальными формами представления двойных чисел из всех квадрантов и каким конкретно числом формально можно на двойной плоскости представить полный оборот, после которого, обойдя плоскость один раз в одну сторону, вектор совпадает сам с собой.
Это число и есть псевдоевклидов аналог фундаментальной константы, которой на комплексной плоскости является $2\pi$ так же соответствующее одному полному обороту единичного вектора. Об этой константе есть так же в нашей статье с Кокаревым, в которой контуры может и не те, что надо, но попытка построить формулу Коши на плоскости двойной переменной все же была предпринята. И фундаментальная константа, соответствующая полному обороту на псевдоевклидовой плоскости была введена, хоть и не конкретизирована численно как в статье с Гарасько.
Мне кажется, Вы просто не видите нетривиального результата обеих статей, а не то, что его действительно в них нет.

Цитата:

Они не именуются ни так, ни так. Они не глобальные, т. к. могут быть заданы на области в и не продолжаться за ее пределы.

Отлично. То есть, можно говорить на комплексной плоскости о бесконечном множестве просто конформных преобразований и соответствующих им симметрий? (Без добавления "глобальные" или "локальные".) Если так, у меня нет возражений..

[g______d]

Time в сообщении #563642 писал(а):

Тут есть еще одно обстоятельство. Формул Коши на бикомплексной плоскости не две, а четыре. Вы почему-то совершенно не видите разницы между двумя стандартными формулами Коши, они для пространства бикомплексных чисел идут под номерами (26), (27) и "не стандартные", идущие под номерами (28), (29). В первой паре формул стоят обычные эллиптически мнымые единицы, а во второй паре - гиперболические.

Детский сад. Сколько существует последовательностей из 1 и -1? Для двух элементов их четыре. Столько же способов выбрать ориентации контуров.

Весь множитель перед интегралом --- делитель нуля, если в алгебре есть вещественные компоненты, но это в точности соответствует тому, что соотв. компонента умножается на 0. Если разложить последовательность из 1 и -1 по компонентам, то каждое слагаемое будет делителем нуля во всей алгебре, но не в компоненте. Это значит не более чем то, что каждая компонента действует на свой контур, а интегралы по остальным умножает на 0. Ну да, если разложить $(1,-1)=(1,0)+(0,-1)$, то оба слагаемых будут делителями нуля. Но что это меняет? Это вопрос выбора обозначений в тривиальном факте, и не более.

-- 25.04.2012, 11:09 --

[quote="Time в [url=http://dxdy.ru/post563642.html#p563642]
Отлично. То есть, можно говорить на комплексной плоскости о бесконечном множестве просто конформных преобразований и соответствующих им симметрий? (Без добавления "глобальные" или "локальные".) Если так, у меня нет возражений..[/quote]

Не путайте "бесконечные" и "бесконечномерные". Бескочными будут все группы конфориных преобразований по тривиальным причинам. Чтобы говорить о втором, нужно говорить о параметризации, для этого нужна топология на пространстве всех отображений, для этого нужно уметь их сравнивать, а для этого они должны быть одного типа. Очевидно, что параметризация должна обладать какой-то непрерывностью, потому что теоретико-множественная биекция есть всегда. Для определения размерности пространства нужна топология.

[Time]

g______d в сообщении #563676 писал(а):

Детский сад.

Не спортивно.. В конце концов, мне простительно что-то не знать или не понимать там, где не являюсь специалистом, а вот Вам не соориентироваться в области профессиональной подготовки, все равно что расписаться в профнепригодности..

Цитата:

Ну да, если разложить $(1,-1)=(1,0)+(0,-1)$, то оба слагаемых будут делителями нуля. Но что это меняет? Это вопрос выбора обозначений в тривиальном факте, и не более.

Позвольте и мне ответить в духе начала Вашего поста.
Детскую непосредственность проявляете сейчас, скорее, Вы. С таким же успехом можно утверждать, что на плоскости двойной переменной или в пространстве Минковского неким выбором обозначений можно легким движением руки превратить псевдоевклидову геометрию в евклидову плоскость или в евклидово пространство. В определенном смысле это действительно так. Вводя на плоскости двойной переменной или в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве мнимое время (на Вашем языке - это вопрос выбора обозначений), формально мы действительно получаем переход всех неудобных для осознания гиперболических свойств в тривиальные евклидовы факты. Чего же тогда Вы столько спорили, что свойства плоскости двойной переменной чем-то принципиально отличаются от свойств комплексной плоскости? переобозначили мнимые единицы - и все дела!
Тогда примените чисто формально формулу (28) или (29) не к проcтранству бикомплексным чисел, а к их подпространству - к плоскости двойной переменной, потом сделайте "нужный" выбор обозначений и в результате имеем "тривиальный" факт. На плоскости двойной переменной, оказывается, "работает" стандартная интегральная формула Коши!
Вы, по-моему, до сих пор не поняли, что подпространствами бикомплексных чисел являются не только комплексные плоскости, но и плоскости двойной переменной. "Ортогональных" их там две (и еще четыре "ортогональных" обычных комплексных, совсем даже не изотропных), просто в изотропном базисе этот факт не так заметен как при переходе к финслерову аналогу "ортонормированного" базиса.
По-видимому, Вас гипнотизирует изотропный базис, в котором псевдоевклидовых плоскостей как подпространств не видать. Попробуйте перейти в "ортонормированный", думаю, узнаете много для себя нового о пространстве бикомплексных чисел.
Вы, кстати, знаете, как перейти для бикомплексных чисел из изотропного базиса в "ортонормированный"?
Короче, не стОит обзываться "детским садом"..