1. В алгебре есть только вещественные компоненты. Тогда, если формула Коши и есть, то она верна только в одной точке. Правильно я это понял? Я, впрочем, по-прежнему считаю, что ее нет, но не считаю нужным опровергать что-то, что верно максимум в одной точке.
Правильно поняли. При таком способе построения контура - да. Но я не оставляю надежд, предложить иной способ построения произвольных контуров, которые охватывают не одну "точку" ("точка" взята в кавычки, так как я думаю, что более правильно в качестве гиперболического аналога точки рассматривать ее вместе с изотропными подпространствами, в случае плоскости - с двумя изотропными прямыми), а много, целую область. Один из вариантов я изобразил графически здесь:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-211.jpgСлева представлена псевдоевклидова плоскость со всеми четырьмя квадрантами и парой точек в одном из них (отмечены красным). С каждой из точек связаны пара изотропных прямых (тонкие черные линии). Синим обозначен произвольный контур, который должен "охватывать" отмеченные красным "точки" вместе с их изотропными "хвостами". Такое если и возможно, то только на бесконечности этих "хвостов". Что бы визуализовать поведение как контура, так и охватываемых им "хвостов" справа представлена та же псевдоевклидова плоскость, но компактифицированная за счет специального конформного отображения связанного с функцией гиперболического тангенса. На таком конформном образе (кажется они называются диаграммами Пенроуза) наглядно видно и поведение контура, и "хвостов" на бесконечности. Мне очевидно, что если красные точки и связанные с ними "хвосты" являются гиперболическими источниками или гиперболическими вихрями, полный поток векторного поля через такой контур от всех попадающих в него "хвостатых" особенностей меняться не будет и равен сумме "гипреболических зарядов" внутри этого контура. То же самое для циркуляции векторного поля, только интеграл по замкнутому контуру должен равняться сумме обильностей вихрей.
Еще один тонкий момент. Для получения формулы Коши на плоскости двойной переменной, скорее всего, остаться в алгебре двойных чисел над полем вещественных - не удастся. Потребуется как и с некоторыми проблемами на вещественной оси - комплексификация и переход к алгебре двойных чисел над полем комплексных. геометрически это означает выход из двумерной псевдоевклидовой плоскости в четырехмерное финслерово пространство с двумерной
комплексной метрикой Бервальда-Моора. В Вещественных координатах такая метрика имеет четвертый порядок. Связанные с нею поличисла в отличие от обычных двойных образуют алгебраически замкнутое множество. То что здесь имеется аналог (вернее аналоги) формулы Коши Вы косвенно уже признали, правда ошибочно думаете, что это результат просто последовательного применения формул на двух плоскостях от одной комплексной переменной каждая.
Цитата:
2. В алгебре есть только комплексные компоненты. Тогда интеграл распадается на интегралов, каждый по своей переменной, и для каждого применяется классическая формула Коши. Направление обхода в соответствующей компоненте индуцируется направлением исходного контура. Там действительно могут меняться знаки, т. к. возможных ориентаций . Но я по-прежнему считаю, что это тривиально и доказывается в 1 строчку.
Тогда получите в одну строчку формулы (28) и (29) на стр. 29-30. Без гиперболических единиц Вы их не получите, а как только они появляются результирующее прсотранство оказывается сложнее устроенным, чем просто пара комплексных плоскостей. Обратите внимание хотя бы на тот факт, что в вещественных координатах такое пространство четырехмерно, а множество его глобальных конформных преобразований бесконечно.
Цитата:
3. Есть и вещественные, и комплексные компоненты...
Тут мне пришлось обратиться за помошью к соавтору. Приведу его ответ мне:
"
g______d прав, но и мы правы. Ошибки мы не допустили. Если только где-то ещё.
Правда, мы не отметили явно именно тот момент, на котором он настаивает.
Формула (18) верна для
, а формула (19) верна только для поличисел
,
у которых
. В последнем абзаце об этом сказано, но вскользь. Именно поэтому
мы и рассматривали в качестве примера поличисла
.
И все же, формула (18) имеет место и может использоваться!"
Так что, если Вас не устраивает этот ответ, могу только еще раз предложить написать и опубликовать соответствующую заметку. В качестве реакции обещаю, либо признать Ваши замечания, либо привести наши контраргументы.
Цитата:
Я считаю, что связь именно такой алгебры, как у Вас, с физикой и с геометрией преувеличена. Но, поскольку я не могу формализовать это утверждение, я не хотел бы об этом сейчас спорить.
Ну, это Вы уже явно в полемическом запале произнесли. Напомню, что алгебра двойных чисел связана с самым что ни на есть признаваемым современной физикой многообразием - пространством Минковского. То, что у него в данном случае только два измерения его не только не "портит", но наоборот, из-за бесконечного множества конформных преобразований делает еще более физически привлекательным, что и используется в частности в теории суперструн.
Может Вы хотели сказать не про пространство двойных чисел, а про четырехмерное финслерово пространство четверных чисел? Ну так оно ничем не хуже того же Минковского и даже содержит его в качестве подструктуры..
Цитата:
В некотором смысле, если хотите, "отсутствие алгебры" (а тем более коммутативной и тривиально устроенной) как раз говорит о сложной и содержательной структуре.
Еще одно утверждение в запале. Сравните евклидову плоскость с его коммутативной алгеброй и любое двумерное пространство без алгебры. Например, с плоскостью, где метрика задана суммой двух компонгент в четвертых степенях. Кстати, о таких пространствах говорил Риман еще в 1854 году. Будете настаивать "на его сложной и содержательной структуре"? Особенно в сравнении с пространством коммутативных комплексных чисел..