2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 18:53 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Требуется раскрасить точки плоскости в разные цвета, чтобы не осталость двух точек одного цвета на расстоянии 1.
Известно, что трёх цветов для этого недостаточно. Я нашёл конфигурацию с 7 цветами.
Так каково минимальное необходимое количество цветов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Это открытая проблема, «позор математики», как её называет А.М. Райгородский. Hadwiger–Nelson problem.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 23:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
RIP в сообщении #563504 писал(а):
А почему точки 6-угольные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 23:18 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
temp03 в сообщении #563577 писал(а):
RIP в сообщении #563504 писал(а):
А почему точки 6-угольные?
Это области одинаково покрашенных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 07:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
А вот так почему нельзя?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 07:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Если сторона треугольника 1, то как раскрашивать вершины? У Вас не видно. Если не равна 1, то две точки на расстоянии 1 видны невооружённым глазом.

+++ после сообщения hippie: слона-то я и не приметил! :oops: :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
А какая разница, как раскрашены вершины?
Все расстояния достигаются на внутренних точках треугольников:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
ниччччего не понял

-- Ср апр 25, 2012 10:12:39 --

не ну действительно кратчайшее расстояние - от вершины одного треугольника (см.рис. hippie) к центру стороны другого. Но соббсно не вижу никаких препятствий чтобы сделать его $>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:32 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Сторона (маленького) треугольника (дальше $l$) должна быть не больше 1 (иначе 2 точки на расстоянии 1 найдутся внутри треугольника).
Наименьшее расстояние между треугольниками, в которых указаны точки на рисунке, равно высоте треугольника ($\frac {\sqrt 3}2 l$), наибольшее — $\sqrt 7 l.$ Поэтому на внутренних точках этих двух треугольников реализуются все расстояния от $\frac {\sqrt 3}2l$ до $\sqrt 7l.$
Легко выбрать также пары одноцветных треугольников, на внутренних точках которых реализуются все расстояния от $2l$ до $4l$ (верхний синий треугольник и прилегающий к левой стороне рисунка); $3l$ до $5l$ (красные треугольники прилегающие к правой стороне рисунка); и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:38 
Заблокирован


16/06/09

1547
всё, дошло. Хитрая задача.

спасибо, hippie

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group