Разноцветная плоскость

[venco]

Требуется раскрасить точки плоскости в разные цвета, чтобы не осталость двух точек одного цвета на расстоянии 1.
Известно, что трёх цветов для этого недостаточно. Я нашёл конфигурацию с 7 цветами.
Так каково минимальное необходимое количество цветов?

[RIP]

Это открытая проблема, «позор математики», как её называет А.М. Райгородский. Hadwiger–Nelson problem.

[temp03]

RIP в сообщении #563504 писал(а):

Hadwiger–Nelson problem.

А почему точки 6-угольные?

[venco]

temp03 в сообщении #563577 писал(а):

RIP в сообщении #563504 писал(а):

Hadwiger–Nelson problem.

А почему точки 6-угольные?

Это области одинаково покрашенных точек.

[temp03]

А вот так почему нельзя?

[gris]

Если сторона треугольника 1, то как раскрашивать вершины? У Вас не видно. Если не равна 1, то две точки на расстоянии 1 видны невооружённым глазом.

+++ после сообщения hippie: слона-то я и не приметил!

[hippie]

А какая разница, как раскрашены вершины?
Все расстояния достигаются на внутренних точках треугольников:

[temp03]

ниччччего не понял

-- Ср апр 25, 2012 10:12:39 --

не ну действительно кратчайшее расстояние - от вершины одного треугольника (см.рис. hippie) к центру стороны другого. Но соббсно не вижу никаких препятствий чтобы сделать его $>1$.

[hippie]

Сторона (маленького) треугольника (дальше $l$) должна быть не больше 1 (иначе 2 точки на расстоянии 1 найдутся внутри треугольника).
Наименьшее расстояние между треугольниками, в которых указаны точки на рисунке, равно высоте треугольника ($\frac {\sqrt 3}2 l$), наибольшее — $\sqrt 7 l.$ Поэтому на внутренних точках этих двух треугольников реализуются все расстояния от $\frac {\sqrt 3}2l$ до $\sqrt 7l.$
Легко выбрать также пары одноцветных треугольников, на внутренних точках которых реализуются все расстояния от $2l$ до $4l$ (верхний синий треугольник и прилегающий к левой стороне рисунка); $3l$ до $5l$ (красные треугольники прилегающие к правой стороне рисунка); и т.д.

[temp03]

всё, дошло. Хитрая задача.

спасибо, hippie