2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 18:53 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Требуется раскрасить точки плоскости в разные цвета, чтобы не осталость двух точек одного цвета на расстоянии 1.
Известно, что трёх цветов для этого недостаточно. Я нашёл конфигурацию с 7 цветами.
Так каково минимальное необходимое количество цветов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3611
Это открытая проблема, «позор математики», как её называет А.М. Райгородский. Hadwiger–Nelson problem.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 23:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
RIP в сообщении #563504 писал(а):
А почему точки 6-угольные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение24.04.2012, 23:18 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
temp03 в сообщении #563577 писал(а):
RIP в сообщении #563504 писал(а):
А почему точки 6-угольные?
Это области одинаково покрашенных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 07:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
А вот так почему нельзя?
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 07:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13814
Если сторона треугольника 1, то как раскрашивать вершины? У Вас не видно. Если не равна 1, то две точки на расстоянии 1 видны невооружённым глазом.

+++ после сообщения hippie: слона-то я и не приметил! :oops: :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:05 
Заслуженный участник


18/01/12
933
А какая разница, как раскрашены вершины?
Все расстояния достигаются на внутренних точках треугольников:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:10 
Заблокирован


16/06/09

1547
ниччччего не понял

-- Ср апр 25, 2012 10:12:39 --

не ну действительно кратчайшее расстояние - от вершины одного треугольника (см.рис. hippie) к центру стороны другого. Но соббсно не вижу никаких препятствий чтобы сделать его $>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:32 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Сторона (маленького) треугольника (дальше $l$) должна быть не больше 1 (иначе 2 точки на расстоянии 1 найдутся внутри треугольника).
Наименьшее расстояние между треугольниками, в которых указаны точки на рисунке, равно высоте треугольника ($\frac {\sqrt 3}2 l$), наибольшее — $\sqrt 7 l.$ Поэтому на внутренних точках этих двух треугольников реализуются все расстояния от $\frac {\sqrt 3}2l$ до $\sqrt 7l.$
Легко выбрать также пары одноцветных треугольников, на внутренних точках которых реализуются все расстояния от $2l$ до $4l$ (верхний синий треугольник и прилегающий к левой стороне рисунка); $3l$ до $5l$ (красные треугольники прилегающие к правой стороне рисунка); и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разноцветная плоскость
Сообщение25.04.2012, 09:38 
Заблокирован


16/06/09

1547
всё, дошло. Хитрая задача.

спасибо, hippie

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group