Разложить над полями

[AV_77]

Unconnected в сообщении #562777 писал(а):

Почему это?

Это следует из равенства $[K : P] = [K : F] [F : P]$ для степеней расширения.

[Unconnected]

Эмм, а как? Степень расширения, понятно, 2.. Ведь разложение на два неприводимых не обязывает к наличию в расширении корня.

[AV_77]

Ну так вы этот корень присоедините и все получится.
Пусть $f$ - неприводимый многочлен над полем $P$ степени $n$ и $F$ - расширение $P$ степени $m$, причем $(n, m) = 1$. Если над $F$ многочлен $f$ разложим и $g$ - его неприводимый над $F$ делитель степени $k$, то присоединяя корень $\alpha$ многочлена $g$ получим поле $F(\alpha)$, причем $[F(\alpha) : P] = [F(\alpha) : F] [F : P] = km$. С другой стороны, $P(\alpha) \subseteq F(\alpha)$, откуда $[F(\alpha) : P] = [F(\alpha) : P(\alpha)] [P(\alpha) : P] = [F(\alpha) : P(\alpha)] n$. Таким образом, $n$ является делителем $km$, а так как $n$ и $m$ взаимно просты, то $n$ является делителем $k$. Наконец, из $k \leq n$ получаем $k = n$.

Для конечных полей можно даже больше получить: если $f$ - неприводимый многочлен степени $n$ над конечным полем $P$ и $F$ - расширение $P$ степени $m$, то если $(n, m) = 1$, то $f$ неприводим над $F$, а если $(n, m) = d > 1$, то $f$ разлагается над $F$ на $d$ неприводимых множителей степени $n / d$.

[VAL]

Unconnected в сообщении #562777 писал(а):

Цитата:

Цитата:

А если степень неприводимого многочлена взаимно проста со степенью расширения, то он как был неприводимым, так им и останется.

Почему это?

Видно эту стену не пробить...
Ладно, еще попытка:

А именно все корни неприводимого над $\mathbb Z_p$ многочлена n-й степени циклически получаются друг из друга возведением в p-ю степень. Если перейти к расширению $\mathbb F_{p^m}$ этот цикл (а с ним и полином) может распасться. Но только на циклы равной длины (эдементы будут получаться друг из друга возведением в степнь $p^m$). Соответственно распадется и исходный неприводимый (над $\mathbb Z_p$) полином. Разумеется, если n и m взаимно просты, разбиение цикла. а ним и разложение полинома невозможны.

PS: В лекциях, которые Вы так и не открыли, это аккуратно доказано и сопровождено примерами.