Разложить над полями

[Unconnected]

Будет ли многочлен $f(t)=t^4+t^3+t^2+t+1$ неприводим над $F_3$? А над $F_9=F_3[X]/<x^2+1>$?
1) Видимо неприводим, т.к. 0,1,2 не корни.
2) Поделил исходный многочлен на $t^2+1$, остаток 1, т.е. тоже неприводим значит?

[Xaositect]

1) Из отсутствия корней неприводимость следует только для многочленов степени $\leqslant 3$. Для 4 степени может быть еще вариант разложения на два неприводимых квадратных трехчлена, рассмотрите его.
2) Зачем Вы поделили многочлен на $t^2 + 1$? Если пользуетесь каким-то утверждением, приведите его.

[Unconnected]

1) Разложилось на $(t^2+t)(t^2+1)+1$, на глаз, а вообще и не знаю способов специально такое разложение находить.

2) А, нет, с делением я погорячился.. тогда $f(t)=(t^2+t)(t^2+1)+1$, и над фактор-кольцом есть $\overline{x}$, если подставить то останется 1.. но не знаю, что это даёт только. Наверное, чтобы разложилось, надо разложить на произведения (и сумму) $t^2+1$.

Вообще по теореме (Ферма, что ли) в поле $t^2 \pmod 1$, тогда раскладывается и над первым, корень 2.. а если просто 2 подставить, то не раскладывается!

[nnosipov]

В обоих случаях можно воспользоваться критерием Батлера неприводимости многочлена над конечным полем. Кроме того, многочлен $f(t)$ является круговым (но это, видимо, случайное обстоятельство).

[VAL]

Unconnected в сообщении #561979 писал(а):

Будет ли многочлен $f(t)=t^4+t^3+t^2+t+1$ неприводим над $F_3$? А над $F_9=F_3[X]/<x^2+1>$?
1) Видимо неприводим, т.к. 0,1,2 не корни.
2) Поделил исходный многочлен на $t^2+1$, остаток 1, т.е. тоже неприводим значит?

Если уж идти таким (лобовым) путем, нужно попытаться поделить $f(t)$ и на другие неприводимые над $\mathbb F_3$ полиномы второй степени. К счастью, их совсем немного.

Для разложения над $\mathbb F_9$ можно воспользоваться алгоритмом Берлекэмпа. А можно и в этом случае обойтись перебором.

[Unconnected]

а верно ли в данном контексте, над полем из 3х элементов, что t^2 равно 1? Получается,что нет..почему? Наверное, потому, что мультипликативная группа кольца многочленов этого не циклическая?

[VAL]

Unconnected в сообщении #562048 писал(а):

а верно ли в данном контексте, над полем из 3х элементов, что t^2 равно 1? Получается,что нет..почему? Наверное, потому, что мультипликативная группа кольца многочленов этого не циклическая?

Если $t$ - переменная и речь идет о кольце многочленов (а не о факторкольце по идеалу $(x^2+1)$), то $t$ (как и любой непостоянный полином) вообще не входит в мультипликативую группу кольца.
Если же под $t$ Вы имеете в виду соответствующий класс вычетов по идеалу, то его квадрат равен 2. А единице будет равна 4-я степень.

Что же до мультипликативной группы конечного поля (или даже конечной мультипликативной группы поля), то она всегда циклическая.

[Unconnected]

Цитата:

Если $t$ - переменная и речь идет о кольце многочленов, то $t$ (как и любой непостоянный полином) вообще не входит в мультипликативую группу кольца.

А вот смотрите, http://dxdy.ru/topic51167.html, пример в первом посте хотя бы, там убирали большую степень путём нахождения числа, с которым сравним икс в степени.. почему там можно?

[VAL]

Unconnected в сообщении #562196 писал(а):

Цитата:

Если $t$ - переменная и речь идет о кольце многочленов, то $t$ (как и любой непостоянный полином) вообще не входит в мультипликативую группу кольца.

А вот смотрите, http://dxdy.ru/topic51167.html, пример в первом посте хотя бы, там убирали большую степень путём нахождения числа, с которым сравним икс в степени.. почему там можно?

Не знаю, что там. Еще раз объясняю здесь.

Мультипликативная группа кольца $\mathbb F_3[x]$ (кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами из $\mathbb F_3$) состоит из двух элементов. Это, в точности, ненулевые константы. Полином $x$ (как и любой другой непостоянный многочлен) не является обратимым элементом кольца, не входит в мультипликативную группу и не обратится в единицу ни в какой натуральной степени.

Класс многочлена $x$, как элемент поля $\mathbb F_9 = \mathbb F_3[x]/<x^2+1>$, является элементом (циклической) мультипликативной группы этого поля и имеет порядок 4 (т.е. наименьший натуральный показатель степени, при возведении в которую класса, порожденного полиномом $4$, получается единица, равен 4).

PS: Еще раз прочел Ваши сообщения. Там встречаются то $t$, то $X$, то $x$...
В этом есть тайный смысл? Или это ипостаси переменной?

[Unconnected]

С группами понятно.

Цитата:

В этом есть тайный смысл? Или это ипостаси переменной?

Ну, типа того.. вообще правильней было бы над первым полем написать через $x$, а над вторым - через $t$ (а многочлены от $x$ будут там коэффициентами). Верно ведь, что $t^2+1$ имеет корень $x$ над фактор-кольцом?

[VAL]

Unconnected в сообщении #562232 писал(а):

С группами понятно.

Цитата:

В этом есть тайный смысл? Или это ипостаси переменной?

Ну, типа того.. вообще правильней было бы над первым полем написать через $x$, а над вторым - через $t$ (а многочлены от $x$ будут там коэффициентами).

Вот уж нет!
Коэффициентами (элементами поля $\mathbb F_9$) будут не многочлены от $x$, а линейные комбинации вида $c_0+c_1\alpha$, где $\alpha$ - класс полинома $x$(он же корень полинома $x^2+1$). Но ни в коем случае не сам полином $x$.

Цитата:

Верно ведь, что $t^2+1$ имеет корень $x$ над фактор-кольцом?

Нет. В в третий (или уже четвертый?) раз пишу, что $x$ - это переменная (или полином первой степени, если хотите), а корнем будет класс полинома $x$. Во избежание путаницы этот корень удобно как-то обозначить (я обозначил его $\alpha$).

Вы раз за разом не замечаете, что конечное алгебраическое расширение поля состоит не из многочленов а из классов многочленов.

Иными словами, в качестве расширения рассматривается факторкольцо кольца $\mathbb F_3[x]$, а не само это кольцо. Если же действовать по-вашему, можно получить (после некоторых дополнительных телодвижений) только трансцендентное расширение исходного поля, которое буде заведомо бесконечно, а не 9-элементно.

PS: Я Вам давал ссылку на свои лекции. Вы вежливо поблагодарили, но, вижу, что не открывали. А зря. Там интересующие Вас вопросы рассмотрены. Подробно, с примерами.

[Unconnected]

Цитата:

Коэффициентами (элементами поля $\mathbb F_9$) будут не многочлены от $x$, а линейные комбинации вида $c_0+c_1\alpha$, где $\alpha$ - класс полинома $x$(он же корень полинома $x^2+1$). Но ни в коем случае не сам полином $x$.

Да, да. Я это понимаю (честно)), просто всё никак не научусь выражаться чётко-математически.
Получается, если учесть, что критериев Батлера (и других вышеупомянутых фамилий) мы не проходили - остаётся только перебор?

[Unconnected]

Вот решаю похожую,

Цитата:

Будет ли многочлен $f(t)=t^5+t^3+t^2+t+1$ неприводим над $F_2$? А над $F_4=F_2[X]/<x^2+x+1>$?

Выясняю, возможно ли разложить на кубический и квадратный многочлен.
$f(t)=(at^3+bt^2+ct+e)(ft^2+gt+h)$
Ну и система уравнений (6 штук). Только она что-то не решается.. и мультипликативная группа фактор-кольца не циклическая( Известно, что различных коэффициентов тут 4, но от этого не легче.

[AV_77]

Для проверки, что $f(t)$ неразложим над $\mathbb{F}_2$ надо проверить, что он не делится на неприводимые многочлены 1-й и 2-й степеней (их всего 3). А если степень неприводимого многочлена взаимно проста со степенью расширения, то он как был неприводимым, так им и останется.

Кстати, мультипликативная группа конечного поля (а $\mathbb{F}_4$ - поле) всегда циклическая.

[Unconnected]

Цитата:

Кстати, мультипликативная группа конечного поля (а $\mathbb{F}_4$ - поле) всегда циклическая.

А. Ну да.. Значит тут работает, что $b^2 \equiv 1 \pmod 2$ . Тогда система пожалуй и решается..

Цитата:

А если степень неприводимого многочлена взаимно проста со степенью расширения, то он как был неприводимым, так им и останется.

Почему это?