2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Разложить над полями
Сообщение22.04.2012, 19:55 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Unconnected в сообщении #562777 писал(а):
Почему это?

Это следует из равенства $[K : P] = [K : F] [F : P]$ для степеней расширения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить над полями
Сообщение22.04.2012, 21:48 


13/11/11
574
СПб
Эмм, а как? :shock: Степень расширения, понятно, 2.. Ведь разложение на два неприводимых не обязывает к наличию в расширении корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить над полями
Сообщение22.04.2012, 22:11 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Ну так вы этот корень присоедините и все получится.
Пусть $f$ - неприводимый многочлен над полем $P$ степени $n$ и $F$ - расширение $P$ степени $m$, причем $(n, m) = 1$. Если над $F$ многочлен $f$ разложим и $g$ - его неприводимый над $F$ делитель степени $k$, то присоединяя корень $\alpha$ многочлена $g$ получим поле $F(\alpha)$, причем $[F(\alpha) : P] = [F(\alpha) : F] [F : P] = km$. С другой стороны, $P(\alpha) \subseteq F(\alpha)$, откуда $[F(\alpha) : P] = [F(\alpha) : P(\alpha)] [P(\alpha) : P] = [F(\alpha) : P(\alpha)] n$. Таким образом, $n$ является делителем $km$, а так как $n$ и $m$ взаимно просты, то $n$ является делителем $k$. Наконец, из $k \leq n$ получаем $k = n$.

Для конечных полей можно даже больше получить: если $f$ - неприводимый многочлен степени $n$ над конечным полем $P$ и $F$ - расширение $P$ степени $m$, то если $(n, m) = 1$, то $f$ неприводим над $F$, а если $(n, m) = d > 1$, то $f$ разлагается над $F$ на $d$ неприводимых множителей степени $n / d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложить над полями
Сообщение22.04.2012, 22:14 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Unconnected в сообщении #562777 писал(а):
Цитата:
Цитата:
А если степень неприводимого многочлена взаимно проста со степенью расширения, то он как был неприводимым, так им и останется.

Почему это?
Видно эту стену не пробить...
Ладно, еще попытка:

А именно все корни неприводимого над $\mathbb Z_p$ многочлена n-й степени циклически получаются друг из друга возведением в p-ю степень. Если перейти к расширению $\mathbb F_{p^m}$ этот цикл (а с ним и полином) может распасться. Но только на циклы равной длины (эдементы будут получаться друг из друга возведением в степнь $p^m$). Соответственно распадется и исходный неприводимый (над $\mathbb Z_p$) полином. Разумеется, если n и m взаимно просты, разбиение цикла. а ним и разложение полинома невозможны.

PS: В лекциях, которые Вы так и не открыли, :-( это аккуратно доказано и сопровождено примерами.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group