задача из Виноградовой и Садовничего на доказательство

[Anastasiya_92]

Вопрос первый. Точнее сказать, это задача из задачника Виноградовой и Садовничего, звучит так: "Пусть $f$ дважды дифференцируема на $R$ и ограничена. Доказать, что существует точка $x_0$ в которой вторая производная равна нулю." Требуется небольшая подсказка, на какую теорему опереться при доказательстве. Думаю, начать нужно с Вейерштрасса: если функция ограничена на отрезке, значит она достигает на нём всех своих значений.

И второй вопрос. Чисто уточнить. Мне кажется, что я мыслю в верном направлении. "Для любого $\varepsilon$ и любого $\delta$: из $|f(x)-f(x_0)|>\delta$, следует $|x-x_0|>\varepsilon$. Что можно сказать о функции в этом случае? Я думаю, что в точке $x_0$ она терпит разрыв. Правильно?
Буду благодарна за ответ

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Вернул.

[Padawan]

Anastasiya_92 в сообщении #559688 писал(а):

И второй вопрос. Чисто уточнить. Мне кажется, что я мыслю в верном направлении. "Для любого $\varepsilon$ и любого $\delta$: из $|f(x)-f(x_0)|>\delta$, следует $|x-x_0|>\varepsilon$. Что можно сказать о функции в этом случае? Я думаю, что в точке $x_0$ она терпит разрыв. Правильно?
Буду благодарна за ответ

Похожая задача недавно тут обсуждалась. Вот http://dxdy.ru/topic57252.html. Используйте контрапозицию, то есть $A\Rightarrow B$ замените на эквивалентное $\lnot B\Rightarrow \lnot A$.

-- Сб апр 14, 2012 22:35:26 --

По первой задаче. Теорему Дарбу о промежуточных значениях производной знаете?

[Anastasiya_92]

То есть моё выражение эквивалентно выражению $|x-x_0|<\varepsilon$ => $|f(x)-f(x_0)|<\delta$? Это же тогда предел функции по Коши? Теорема Дарбу звучит так: если функция в каждой точке некоторого промежутка оси действительных чисел имеет конечную производную, то, принимая два каких-либо значения на этом промежутке, производная принимает на нем и любое промежуточное.
Но у меня ведь ничего не сказано о том, какие значения принимает вторая производная.

-- 14.04.2012, 23:06 --

Потом, в теореме Дарбу речь вроде бы идёт о первой производной, а не о второй.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #560054 писал(а):

По первой задаче. Теорему Дарбу о промежуточных значениях производной знаете?

предположим, вторая производная не обращается в ноль, значит она при всех $x$ , скажем $>0$. Тогда первая производная возрастает, значит первая производная либо больше положительной константы при всех достаточно больших $x$, либо меньше отрицательной константы при всех достаточно малых $x$. И то и другое противоречит ограниченности

[Maslov]

Anastasiya_92 в сообщении #560089 писал(а):

То есть моё выражение эквивалентно выражению $|x-x_0|<\varepsilon$ => $|f(x)-f(x_0)|<\delta$? Это же тогда предел функции по Коши?

Запишите определение предела по Коши и условие своей задачи одно под другим и сравните. Только кванторы лучше записывать символами, а не текстом.
Ну типа $(\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) : ... $

[Padawan]

Anastasiya_92 в сообщении #560089 писал(а):

Потом, в теореме Дарбу речь вроде бы идёт о первой производной, а не о второй.

Для второй производной теорема Дарбу тоже верна. Подумайте, почему.

Anastasiya_92 в сообщении #560089 писал(а):

То есть моё выражение эквивалентно выражению $|x-x_0|<\varepsilon$ => $|f(x)-f(x_0)|<\delta$?

Только, если формально, неравенства должны быть нестрогими. И перед этм у вас стоит $\forall\varepsilon\forall\delta$. А в определении Коши, там по-другому.

[Anastasiya_92]

А разве из того, что вторая производная положительна следует что первая возрастает? Вторая производная, это же вроде бы выпуклость функции.

-- 14.04.2012, 23:36 --

Если нестрогое, то можно вот так разложить??? и тогда это будет значить, что функция принимает значение $f(x_0)$ только в точке $x_0$, в функции значения же могут повторяться, правильно?
$|x - x0| = \varepsilon то => |f(x) - f(x_0)| = \delta$

$|x - x_0| = 0 то => |f(x) - f(x_0)| = 0$

-- 14.04.2012, 23:50 --

С первой задачей вроде бы понятно, спасибо

[Oleg Zubelevich]

Anastasiya_92 в сообщении #560104 писал(а):

А разве из того, что вторая производная положительна следует что первая возрастает? Вторая производная, это же вроде бы выпуклость функции.

я плакалъ

[bot]

Anastasiya_92 в сообщении #560104 писал(а):

А разве из того, что вторая производная положительна следует что первая возрастает?

А разве вторая производная это не первая производная для первой производной?