А она не обязана быть больше.
Иногда бывает понятнее, если задачу изложить языком обывателя. (Чаще наоборот).
Тогда условия на функцию звучат так: Существует такая окрестность точки
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
, что
если значение функции в некоторой точке отличаются от её значения в
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
,
то эта точка принадлежит указанной окрестности. Или, как уже сказал достопочтенный
Padawan, да не поразит он меня сверкающим мечом за вмешательство в вашу нетрплвую беседу,
вне окрестности такого отличия быть не может. Внутри же окрестности функция может быть любой, даже и равной значению в срединной точке. Ведь сколь угодное отклонение является лишь условием, которое и не обязано выполняться.
Ну а после понимания нужно изложить решение строго и формализовано.
+++ После внутренней душеспасительной беседы с e..., m... и П... (они не знают) решил немного добавить методического в тематическое обсуждение.
Интересно и полезно в таких задачах побаловаться с условиями. Поменять кванторы, знаки неравенств, направление логических стрелочек. Например:
![$\exists\varepsilon>0\, \forall\delta>0: |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$ $\exists\varepsilon>0\, \forall\delta>0: |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/b/5ab8fb2370a3cc5179aad82da3206f8c82.png)
![$\forall\delta>0\,\exists\varepsilon>0 : |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$ $\forall\delta>0\,\exists\varepsilon>0 : |f(x) - f(x_{0})|>\delta \Rightarrow |x - x_{0}|<\varepsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/8/9d810f1b281fddaa67463c0f04fe94c682.png)
Ну и так далее.