доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая

[Naatikin]

Профессор Снэйп в сообщении #556058 писал(а):

Naatikin в сообщении #556053 писал(а):

$\{a,e\}, aa=e$

Замечательно! Вы не будете возражать, если я сменю Ваши обозначения, просто заменив предложенные Вами символы на другие. Вместо $a$ я буду писать $1$, вместо $e$ буду писать $0$, а бинарную операцию обозначу символом $+$. То есть вместо $aa = e$ у меня будет $1 + 1 = 0$ и т. п. Или Вы не понимаете, о чём речь?

-- Ср апр 04, 2012 17:22:58 --

Кстати, Naatikin, мне тут пришла в голову идея. Вы случайно программированием не увлекаетесь?

понимаю
увлекаюсь

[Профессор Снэйп]

Naatikin в сообщении #556059 писал(а):

увлекаюсь

Это просто замечательно! Потому что тогда Вы наверняка знаете, что такое операция xor. Вот если есть два бита, $u$ и $v$, чему будет равен $u \mathop{\mathrm{xor}} v$?

[Naatikin]

всё зависит от $u$ и $v$
если они различные то 1
если одинаковые то 0

[Профессор Снэйп]

Naatikin в сообщении #556067 писал(а):

всё зависит от и
если они различные то 1
если одинаковые то 0

Замечательно!

А теперь пусть $r_1$ и $r_2$ - два двухбитовых регистра. Понимаете, что означает выражение $r_1 \mathop{\mathrm{xor}} r_2$? Операция побитовая, xor производится независимо на каждом из двух битов.

[Naatikin]

Профессор Снэйп в сообщении #556076 писал(а):

Naatikin в сообщении #556067 писал(а):

всё зависит от и
если они различные то 1
если одинаковые то 0

Замечательно!

А теперь пусть $r_1$ и $r_2$ - два двухбитовых регистра. Понимаете, что означает выражение $r_1 \mathop{\mathrm{xor}} r_2$? Операция побитовая, xor производится независимо на каждом из двух битов.

всё ещё не понимаю к чему это

[Профессор Снэйп]

Naatikin в сообщении #556077 писал(а):

всё ещё не понимаю к чему это

Подождите, не забегайте вперёд. Вы понимаете, что такое побитовый xor на двухбитовых регистрах?

[Naatikin]

Профессор Снэйп в сообщении #556078 писал(а):

Naatikin в сообщении #556077 писал(а):

всё ещё не понимаю к чему это

Подождите, не забегайте вперёд. Вы понимаете, что такое побитовый xor на двухбитовых регистрах?

отдельно ксорим каждый бит: первый с первым, второй со вторым

[Профессор Снэйп]

Naatikin в сообщении #556079 писал(а):

отдельно ксорим каждый бит: первый с первым, второй со вторым

Превосходно!

Теперь давайте обозначим множество значений двухбитового регистра буквой $G$. Сколько в этом самом $G$ различных элементов? Сколько значений может принимать двухбитовый регистр?

[Naatikin]

регистр принимет 4 состояния - 00, 11, 01, 10
различных элементов 4 - 00, 11,10,01

[Профессор Снэйп]

Короче. Меня тут из=за компутера выгоняют, поэтому не получится продолжить сократический диалог. Сразу нарисую программу дальнейших действий для Naatikin.

1) Поймите, что $G$ состоит из четырёх элементов.

2) Покажите, что $G$ с разобранной ранее бинарной операцией xor является группой, единичный элемент которой равен $00$. То есть в этой группе $e = 00$ и $ab = a \mathop{\mathrm{xor}} b$.

3) Осознайте, что эта группа не циклическая.

4) Так что насчёт вопроса, заданного в первом сообщении темы?

-- Ср апр 04, 2012 18:18:15 --

Ага, первый пункт намеченной программы уже пройден. Осталось пройти пункты 2 и 3, а затем улыбнуться на пункте 4.

[Naatikin]

я построил таблицу, следовательно это группа

[ИСН]

Какая именно группа? Не встречалась ли она Вам ранее?

[Naatikin]

сложение по модулю 2

[ИСН]

не знаю, о каком сложении Вы говорите. У нас был список всех групп до порядка 4 включительно, в абстрактном виде: вот элементы (буковки), вот соотношения. Это какая из них?

[Naatikin]

$\{e,a,b,c\}$, $a^{2}=e, b^{2}=e, c^{2}=e$