Спектр напряжения (теория электросвязи)

[greyvolf]

мда всю путаницу короче наводит моя методичка....если дословно:
расчет спектра тока через диод осуществляется в следующем порядке:
-представляем ток через диод в виде ряда Фурье:

$$i=I_{0}+I_{1}\cos(\omega_{0}t)+I_{2}\cos(2\omega_{0}t)+I_{3}\cos(3\omega_{0}t)+....$$

-расчитываем амплитуды гармоник тока:

$$I_{k}=SU_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t))\gamma_{k}(\theta)$$

.......вот так вот...

-- Сб мар 24, 2012 16:32:07 --

profrotter в сообщении #551458 писал(а):

Должно быть так:

$$S\gamma_{1}U_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t)\cos(\omega_{0}t))=$$

$$=S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)+S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)M_{a}\cos(\Omega t)=$$

$$=S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)+\frac {S\gamma_{1}U_{0}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+\frac{S\gamma_{1}U_{0}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}-\Omega)t)=$$

$$=I_{\omega_0}\cos(\omega_{0}t)+I_{\omega_{0}+\Omega}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+I_{\omega_{0}-\Omega}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)$$

ну вот об этом я и спрашиваю как так сокращается $\frac {M_{a}}{2}$, учитывая что

$$I_{k}=SU_{0}\gamma_{k}(\theta)$$

[profrotter]

greyvolf в сообщении #551684 писал(а):

мда всю путаницу короче наводит моя методичка....если дословно:
расчет спектра тока через диод осуществляется в следующем порядке:
-представляем ток через диод в виде ряда Фурье:

$$i=I_{0}+I_{1}\cos(\omega_{0}t)+I_{2}\cos(2\omega_{0}t)+I_{3}\cos(3\omega_{0}t)+....$$

-расчитываем амплитуды гармоник тока:

$$I_{k}=SU_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t))\gamma_{k}(\theta)$$

.......вот так вот...

По странному стечению обстоятельств это написано не только в методичике, но и чуть раньше в этой ветке форума: в сообщении #549813 и в сообщении #549958.

В частности:

profrotter в сообщении #549958 писал(а):

Тогда для тока через диод получим:

$$i(t)=SU_0\gamma_0(\theta)(1+M\cos(\Omega t))+SU_0\gamma_1(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(\omega_0t)+$$

$$+SU_0\gamma_2(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(2\omega_0t)+...=$$

$$=I_0+I_{\Omega}\cos(\Omega t)+$$

$$+I_{\omega_0-\Omega}\cos((\omega_0-\Omega)t)+I_{\omega_0}\cos(\omega_0t)+I_{\omega_0+\Omega}\cos((\omega_0+\Omega)t)+$$

$$+I_{2\omega_0-\Omega}\cos((2\omega_0-\Omega)t)+I_{2\omega_0}\cos(2\omega_0t)+I_{2\omega_0+\Omega}\cos((2\omega_0+\Omega)t)+...$$

Просто раскройте скобки в левой части выражения и, с учётом того, что разложение синала на гармонические составляющие единственно, запишите выражения для амплитуд гармоник тока $I_0,I_{\Omega},I_{\omega_0-\Omega},I_{\omega_0},I_{\omega_0+\Omega},I_{2\omega_0-\Omega},I_{2\omega_0},I_{2\omega_0+\Omega}...$

Не пытайтесь снова смешать формулы для спектра тока в случае, когда на входе просто гармонический сигнал и в случае, когда АМ-сигнал. $\frac M 2$ никуда не пропадёт.

[greyvolf]

profrotter в сообщении #549958 писал(а):

Тогда для тока через диод получим:

$$i(t)=SU_0\gamma_0(\theta)(1+M\cos(\Omega t))+SU_0\gamma_1(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_2(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(2\omega_0t)+...=$$

рассмотрим первую гармонику:

$$SU_0\gamma_1(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(\omega_0t)=$$

$$SU_0\gamma_1(\theta)\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_1(\theta)M\cos(\Omega t)\cos(\omega_0t)=$$

$$SU_0\gamma_1(\theta)\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_1(\theta)M(\frac{\cos(\omega_0-\Omega t)+\cos((\omega_0+\Omega)t)}{2})=$$

$$SU_0\gamma_1(\theta)\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_1(\theta)M(\frac{\cos(\omega_0-\Omega t)}{2}+\frac{\cos((\omega_0+\Omega)t)}{2})=$$

$$SU_0\gamma_1(\theta)\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_1(\theta)M\frac{\cos(\omega_0-\Omega t)}{2}+SU_0\gamma_1(\theta)M\frac{\cos((\omega_0+\Omega)t)}{2}=$$

как дальше сокращать?
чему равно $\frac{SU_0\gamma_1(\theta)M}{2}$????

[profrotter]

greyvolf в сообщении #551760 писал(а):

...как дальше сокращать?

Дальше не сокращать, а выписывать выражения для амплитуд гармонических составляющих тока с частотами $\omega_0\pm\Omega$ и $\omega_0$:

$$I_{\omega_0}=SU_0\gamma_1(\theta)$$

$$I_{\omega_0-\Omega}=\frac 1 2 SU_0\gamma_1(\theta)M$$

$$I_{\omega_0+\Omega}=\frac 1 2 SU_0\gamma_1(\theta)M$$

greyvolf в сообщении #551760 писал(а):

чему равно $\frac{SU_0\gamma_1(\theta)M}{2}$????

Загляните в условие задачи и найдите там численные значения для $S$, $U_0$ и $M$.Найдите угол отсечки $\theta$ и соответствующий коэффициент Берга $\gamma_1(\theta)$. Подставите числа и узнаете чему это равно.

[greyvolf]

ага.....ясно.......

-- Вс мар 25, 2012 19:45:05 --

Тогда спектр тока:

$$i(t)=5.04\cdot10^-4+5.04\cdot10^-4\cos(\Omega t)+$$

$$+4.83\cdot10^-4\cos((\omega_0-\Omega)t)+9.66\cdot10^-4\cos(\omega_0t)+4.83\cdot10^-4\cos((\omega_0+\Omega)t)+$$

$$+4.41\cdot10^-4\cos((2\omega_0-\Omega)t)+8.82\cdot10^-4\cos(2\omega_0t)+4.41\cdot10^-4\cos((2\omega_0+\Omega)t)+...$$

-- Вс мар 25, 2012 19:55:55 --

насколько я понимаю после RC-фильтра остаются только $I_{0}$ и $I_{\Omega}$?

[greyvolf]

Profrotter, на выходе RC-фильтра получается следующее напряжение:

$$ u(t)=U_{0}K_{d}(1+M_{a}\cos(\Omega t))=$$

$$=U_{0}K_{d}+U_{0}K_{d}M_{a}\cos(\Omega t)$$

а у меня в задании говорится что нужно расчитать для составляющих с частотами: $0, \Omega, \omega_{0}-\Omega, \omega_{0}, \omega_{0}+\Omega$,
как это понять???

-- Вс мар 25, 2012 21:35:38 --

представляя в спектре тока, $U_{n}=\frac {I_{n}}{R}$ ???

[profrotter]

greyvolf в сообщении #552044 писал(а):

Тогда спектр тока

Это уже похоже на правду. Числа я не пересчитывал конечно. Обратите внимание на то, что ток у Вас, похоже, измеряется в поллитрах, а должен в амперах, милиамперах, микроамперах и тп.

greyvolf в сообщении #552044 писал(а):

насколько я понимаю после RC-фильтра остаются только $I_{0}$ и $I_{\Omega}$?

Нет. Все составляющие тока протекают через RC-фильтрующий двухполюсник, вызывая различные падения напряжения:

$$U_{=}=I_0R$$

$$U_{\Omega}=\frac {I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau)^2}}$$

$$U_{\omega_0-\Omega}=\frac {I_{\omega_0-\Omega}R}{\sqrt{1+((\omega_0-\Omega)\tau)^2}}$$

$$U_{\omega_0}=\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau)^2}}$$

$$U_{\omega_0+\Omega}=\frac {I_{\omega_0+\Omega}R}{\sqrt{1+((\omega_0+\Omega)\tau)^2}}$$

$$U_{2\omega_0-\Omega}=\frac {I_{2\omega_0-\Omega}R}{\sqrt{1+((2\omega_0-\Omega)\tau)^2}}$$

$$U_{2\omega_0}=\frac {I_{2\omega_0}R}{\sqrt{1+(2\omega_0\tau)^2}}$$

$$U_{2\omega_0+\Omega}=\frac {I_{2\omega_0+\Omega}R}{\sqrt{1+((2\omega_0+\Omega)\tau)^2}}$$

greyvolf в сообщении #552110 писал(а):

а у меня в задании говорится что нужно расчитать ... как это понять???

При правильном выборе постоянной времени приблизительно можно считать, что напряжение на RC-фильтре складывается из постоянной составляющей $U_{=}$ и гармоники частоты модуляции с амплитудой $U_{\Omega}$. Остальными гармониками пренебрегают. Можно их рассчитать и убедиться в этом. Однако, Ваше задание несколько специфично: оно предполагает их учёт.

[greyvolf]

не в поллитрах, в амперах....ток имеет ли здесь это значение?)))

-- Вс мар 25, 2012 22:26:25 --

т.е спектр напряжения будет так выглядеть:

$$U_{t}=I_0R+\frac {I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau)^2}}+\frac {I_{\omega_0-\Omega}R}{\sqrt{1+((\omega_0-\Omega)\tau)^2}}+\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau)^2}}+\frac {I_{\omega_0+\Omega}R}{\sqrt{1+((\omega_0+\Omega)\tau)^2}}+\frac {I_{2\omega_0-\Omega}R}{\sqrt{1+((2\omega_0-\Omega)\tau)^2}}+\frac {I_{2\omega_0}R}{\sqrt{1+(2\omega_0\tau)^2}}+...$$

в моем случае?

[profrotter]

greyvolf в сообщении #552134 писал(а):

т.е спектр напряжения будет так выглядеть:

Нет. Вы записали сумму амплитуд и она к решаемой задаче никакого отношения не имеет.

Речь идёт о амплитудном спектре. Амплитудный спектр - это совокупность амплитуд гармонических составляющих сигнала. И в Вашем случае спектр представляет собою: $U_{=},U_{\Omega},U_{\omega_0-\Omega},U_{\omega_0},U_{\omega_0+\Omega},U_{2\omega_0-\Omega},U_{2\omega_0},U_{2\omega_0+\Omega}...$ А выглядеть он будет как совокупность спектральных линий. Линии соответствуют каждая своей частоте, а длина линий соответствует амплитуде гармоники этой частоты.

[greyvolf]

да, да....эт чет я ступил....
спектр будет такой:

$$u(t)=U_{\Omega}+U_{\Omega}M_{a}\cos(\Omega t)+\frac {U_{\omega_{0}-\Omega}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}-\Omega)t)+\frac {U_{\omega_{0}}M_{a}} 2\cos(\omega_{0}t)+\frac {U_{\omega_{0}+\Omega}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+$$

$$+\frac {U_{2\omega_{0}-\Omega}M_{a}} 2\cos((2\omega_{0}-\Omega)t)+\frac {U_{2\omega_{0}}M_{a}} 2\cos(2\omega_{0}t)+\frac {U_{2\omega_{0}+\Omega}M_{a}} 2\cos((2\omega_{0}+\Omega)t)+$$

[profrotter]

Нет. Спектр будет такой:

profrotter в сообщении #552161 писал(а):

$U_{=},U_{\Omega},U_{\omega_0-\Omega},U_{\omega_0},U_{\omega_0+\Omega},U_{2\omega_0-\Omega},U_{2\omega_0},U_{2\omega_0+\Omega}...$

А напряжение таким:

$$u(t)=U_{=}+U_{\Omega}\cos(\Omega t)+U_{\omega_{0}-\Omega}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)+U_{\omega_{0}}\cos(\omega_{0}t)+U_{\omega_{0}+\Omega}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+$$

$$+U_{2\omega_{0}-\Omega}\cos((2\omega_{0}-\Omega)t)+U_{2\omega_{0}}\cos(2\omega_{0}t)+U_{2\omega_{0}+\Omega}\cos((2\omega_{0}+\Omega)t)+...$$

[greyvolf]

да,да да.....извиняюсь...

[profrotter]

profrotter в сообщении #552412 писал(а):

А напряжение таким:

$$u(t)=U_{=}+U_{\Omega}\cos(\Omega t)+U_{\omega_{0}-\Omega}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)+U_{\omega_{0}}\cos(\omega_{0}t)+U_{\omega_{0}+\Omega}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+$$

$$+U_{2\omega_{0}-\Omega}\cos((2\omega_{0}-\Omega)t)+U_{2\omega_{0}}\cos(2\omega_{0}t)+U_{2\omega_{0}+\Omega}\cos((2\omega_{0}+\Omega)t)+...$$

Вот тут я Вас обманул, извиняюсь. Напряжение будет таким:

$$u(t)=U_{=}+U_{\Omega}\cos(\Omega t+\varphi_{\Omega})+$$

$$+U_{\omega_{0}-\Omega}\cos((\omega_{0}-\Omega)t+\varphi_{\omega_{0}-\Omega})+U_{\omega_{0}}\cos(\omega_{0}t+\varphi_{\omega_{0}})+U_{\omega_{0}+\Omega}\cos((\omega_{0}+\Omega)t+\varphi_{\omega_{0}+\Omega})+$$

$$+U_{2\omega_{0}-\Omega}\cos((2\omega_{0}-\Omega)t+\varphi_{2\omega_{0}-\Omega})+U_{2\omega_{0}}\cos(2\omega_{0}t+\varphi_{\omega_{0}})+U_{2\omega_{0}+\Omega}\cos((2\omega_{0}+\Omega)t+\varphi_{2\omega_{0}+\Omega})+...$$

где

$$\varphi_{\Omega}=\arg(z(\Omega,\tau))$$

$$\varphi_{\omega_0-\Omega}=\arg(z(\omega_0-\Omega,\tau))$$

$$\varphi_{\omega_0}=\arg(z(\omega_0,\tau))$$

$$\varphi_{\omega_0+\Omega}=\arg(z(\omega_0+\Omega,\tau))$$

$$\varphi_{2\omega_0-\Omega}=\arg(z(2\omega_0-\Omega,\tau))$$

$$\varphi_{2\omega_0}=\arg(z(2\omega_0,\tau))$$

$$\varphi_{2\omega_0+\Omega}=\arg(z(2\omega_0+\Omega,\tau))$$

[greyvolf]

Profrotter, а если не секрет с какой литературы Вы все это смотрите...не поделитесь???;-)

-- Вт мар 27, 2012 19:27:51 --

а если у меня изначально $\varphi =0$, фи все равно разве останется???

[profrotter]

greyvolf в сообщении #552730 писал(а):

Profrotter, а если не секрет с какой литературы Вы все это смотрите...не поделитесь???;-)

1. Зернов, Карпов Теория радиотехнических цепей.
2. Стеценко О.А. Радиотехнические цепи и сигналы.
3. Гоноровский Радиотехнические цепи и сигналы.
4. Баскаков Радиотехнические цепи и сигналы.
5. Радиотехнические цепи и сигналы. Под ред. К.А. Самойло

greyvolf в сообщении #552730 писал(а):

а если у меня изначально $\varphi =0$, фи все равно разве останется???

Ну простая же подзадачка. Ток через RC-двухполюсник представлен в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку RC-двухполюсник является линейной цепью, для него выполняется принцип суперпозиции и можно рассматривать воздействие каждой из составляющих тока отдельно и находить отдельные реакции цепи на каждое из воздействий, а потом эти отдельные реакции сложить. Вот и рассматриваем, например, отдельно ситуацию, когда через RC-двухполюсник протекает ток

$$i_{\Omega}(t)=I_{\Omega}\cos(\Omega t).$$

Поскольку мы имеем дело с линейной цепью с постоянными параметрами, то для неё выполняется также принцип транспозиции, в соответствии с которым при воздейстивии на цепь гармонического сигнала, её реакция также будет гармонической и будет иметь частоту, равную частоте воздействия. Это даёт возможность пользоваться методом комплексных амплитуд. Записываем выражение для комплексной амплитуды тока

$$\dot{I}_{\Omega}=I_{\Omega}.$$

Находим комплексное сопротивление двухполюсника $z(\omega,\tau)$. Находим комплексную амплитуду напряжения на двухполюснике по закону Ома в комплексной форме:

$$\dot{U}_{\Omega}=\dot{I}_{\Omega}z(\Omega,\tau).$$

Находим амплитуду и начальную фазу напряжения на двухполюснике:

$$U_{\Omega}=|\dot{U}_{\Omega}|=I_{\Omega}|z(\Omega,\tau)|$$

$$\varphi_{\Omega}=\arg\dot{U}_{\Omega}=\arg(z(\Omega,\tau)).$$

Записываем выражение для составляющей напряжения частоты $\Omega$:

$$u_{\Omega}(t)=U_{\Omega}\cos(\Omega t+\varphi_{\Omega}).$$

Аналогично поступаем для составляющих других частот, после чего их складываем.