По-моему, все рассуждения про структуры не совсем формальные. Не стоит их воспринимать, как некие правила. Это скорее полезные наблюдения.
Т.е. для топологических пространств структуру сохраняют непрерывные отображения и только они?
Да.
А как вообще для произвольного отображения одного множества в другое с некоторыми заданными структурами определить сохраняется ли эта структура или нет? Т.е. есть ли определение "- сохраняет структуру" или же я могу взять вообще произвольное отображение и сказать что оно сохраняет структуру. Буду ли я прав?
Определения "

- сохраняет структуру..." нет. Для алгебраической структуры своё определение (линейные отображения или гомоморфизм групп или гомоморфизм колец и т.д.), для топологической структуры - своё (непрерывные отображения), для пространства с мерой - своё (измеримые функции) и т.д.
Пример: есть непрерывное отображение из одного топологического пространства

в другое

и мы хотим исследовать его свойства. Скажем,

компакт и мы рассматриваем

. Пользуясь непрерывностью

(т.е. согласованностью с топологиями) нетрудно доказать, что

тоже компакт. А если

разрывное отображение, то доказать, что

компакт мы уже (во всяком случае так просто) не сможем. И вообще, если отображение

разрывно, то при исследовании свойств отображения

серьёзной выгоды, от того что у нас есть топологии, мы не получим. (в отличии от случая непрерывной функции).
Также, например, если вещественнозначная функция

задана на пространстве с мерой и измерима, то мы уже можем о ней много чего сказать. А если она ещё и интегрируема, то вообще замечательно. Зато, если функция

не измерима, то при изучении функции

наличие меры нам не сильно поможет. В этом и заключает суть "сохранения структуры".
Надеюсь, я не запутал вас своими, немного мутными, рассуждениями.