Какие морфизмы в категории линейных нормированных пространст

[xmaister]

Подскажите, какое может быть множество $\operatorname{Hom}(A,B)$ в категории линейных нормированных пространств? В интернетах про эту вещь не получилось найти.

[MaximVD]

Самые естественные морфизмы в категории нормированных пространств - это линейные непрерывные отображения. Но можно также рассматривать в качестве морфизмов линейные непрерывные отображения, норма которых ${} \leqslant 1$, тогда изоморфизмами в этой категории будут изометрические изоморфизмы нормированных пространств.
Объект категории - это часто (хотя и не всегда) множество, плюс заданная на нём структура (или несколько структур) - алгбераическая, топологическая и т.д. Поэтому в качестве морфизмов категории, как мне кажется, естественнее всего использовать отображения, сохраняющие эти структуры. Линейные непрерывные отображения - это как раз и есть отображения, которые сохраняют структуру нормированного пространства.

[xmaister]

MaximVD в сообщении #550960 писал(а):

естественнее всего использовать отображения, сохраняющие эти структуры.

Не совсем понятен этот момент. Что значит сохранять структуру? Например непрерывное отображение, как я понял, сохраняет структуру топологического пространства. Ну а если мы одно топологическое пространство в другое разрывно отобразим, то эти пространства всё равно останутся топологическими. Не ясно почему линейные непрерывные отображения, будут сохранять структур линейного нормированного пространства. Ведь линейное топологическое метризуемое пространство может не быть нормиуемым.

[MaximVD]

xmaister в сообщении #550970 писал(а):

Что значит сохранять структуру?

Фразу "отображение сохраняет структуру" надо понимать не совсем в прямом смысле. Скажем, есть отображение $f \colon A \to B$ и на множествах $A$ и $B$ заданы какие-нибудь структуры. Например, $(A, \tau_1)$ и $(B, \tau_2)$ топологические пространства. Отображение $f$ на эти структуры никак не влияет. Фраза "$f$ сохраняет структуру" означает, что $f$, в некотором смысле, правильно и удобно действует в рамках этих структур. Например, если $A$ и $B$ линейные пространства, то $f(x + y) = f(x) + f(y)$, или если они топологические пространства, то полный прообраз каждого открытого множества открыт. То есть действие функции $f$ согласовано со структурами множеств $A$ и $B$. Эта согласованность со структурами позволяет узнать многое об отображении $f$. (Как, например, в линейной алгебре удаётся полностью описать все линейный отображения). И в то же время, отображения, сохраняющие структуру, позволяют нам лучше понять эту структуру и более детально изучить её.

[xmaister]

Т.е. для топологических пространств структуру сохраняют непрерывные отображения и только они? А как вообще для произвольного отображения одного множества в другое с некоторыми заданными структурами определить сохраняется ли эта структура или нет? Т.е. есть ли определение "$f$- сохраняет структуру" или же я могу взять вообще произвольное отображение и сказать что оно сохраняет структуру. Буду ли я прав?

[MaximVD]

По-моему, все рассуждения про структуры не совсем формальные. Не стоит их воспринимать, как некие правила. Это скорее полезные наблюдения.

xmaister в сообщении #550983 писал(а):

Т.е. для топологических пространств структуру сохраняют непрерывные отображения и только они?

Да.

xmaister в сообщении #550983 писал(а):

А как вообще для произвольного отображения одного множества в другое с некоторыми заданными структурами определить сохраняется ли эта структура или нет? Т.е. есть ли определение "- сохраняет структуру" или же я могу взять вообще произвольное отображение и сказать что оно сохраняет структуру. Буду ли я прав?

Определения "$f$ - сохраняет структуру..." нет. Для алгебраической структуры своё определение (линейные отображения или гомоморфизм групп или гомоморфизм колец и т.д.), для топологической структуры - своё (непрерывные отображения), для пространства с мерой - своё (измеримые функции) и т.д.
Пример: есть непрерывное отображение из одного топологического пространства $(X, \tau_1)$ в другое $(Y, \tau_2)$ и мы хотим исследовать его свойства. Скажем, $K \subset X$ компакт и мы рассматриваем $f(K)$. Пользуясь непрерывностью $f$ (т.е. согласованностью с топологиями) нетрудно доказать, что $f(K)$ тоже компакт. А если $f$ разрывное отображение, то доказать, что $f(K)$ компакт мы уже (во всяком случае так просто) не сможем. И вообще, если отображение $f$ разрывно, то при исследовании свойств отображения $f$ серьёзной выгоды, от того что у нас есть топологии, мы не получим. (в отличии от случая непрерывной функции).
Также, например, если вещественнозначная функция $f$ задана на пространстве с мерой и измерима, то мы уже можем о ней много чего сказать. А если она ещё и интегрируема, то вообще замечательно. Зато, если функция $f$ не измерима, то при изучении функции $f$ наличие меры нам не сильно поможет. В этом и заключает суть "сохранения структуры".

Надеюсь, я не запутал вас своими, немного мутными, рассуждениями.

[Padawan]

Категория топологических пространств со всеми отображениями ничем не отличается от кактегории множеств (топология никак не участвует). А вот если взять категорию топ.пространств с борелевскими отображениями, получится нечто среднее между $\mathbf{Top}$ и $\mathbf{Set}$.