Один вопрос про связность.

[Утундрий]

*@z@zello* в сообщении #550638 писал(а):

Вы, видно, сами не понимаете, что написали.

Риманова связность - частный случай аффинной, потому что это такая аффинная связность, которая удовлетворяет условию римановости. А есть еще более специальная связность Леви-Чивиты (риманова без кручения). Так вот, в обоих этих специальных случаях аффинной связности она ни разу не тензор и даже не похожа.

Что касается этой попытки уплыть вдаль на крыльях фантазии

*@z@zello* в сообщении #550576 писал(а):

По поводу пространств с кручением и неметричностью, то там связность не будет римановой. Поэтому, если симметричная часть полной связности равна нулю, то получаем истинный тензор.

то она тоже не срабатывает. Почему симметричная часть связногсти не может быть равной нулю, было объяснено в сообщении post550468.html#p550468

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550641 писал(а):

*@z@zello* в сообщении #550638 писал(а):

Вы, видно, сами не понимаете, что написали.

Риманова связность - частный случай аффинной, потому что это такая аффинная связность, которая удовлетворяет условию римановости.

И в чем проблема? Условие римановости-то знаете?

Цитата:

А есть еще более специальная связность Леви-Чивиты (риманова без кручения).

При этом вводится дополнительная структура на многообразии - метрика, а связность автоматически оказывается симметричной и ее координатное представление - символы Кристоффеля. В отличие от "связность Леви-Чивиты ", аффинная связность - структура, определяемая не зависимо от метрики.

Цитата:

Так вот, в обоих этих специальных случаях аффинной связности она ни разу не тензор и даже не похожа.

Каждая из них - тензор относительно аффинных замен координат. Всегда.

Цитата:

Что касается этой попытки уплыть вдаль на крыльях фантазии

*@z@zello* в сообщении #550576 писал(а):

По поводу пространств с кручением и неметричностью, то там связность не будет римановой. Поэтому, если симметричная часть полной связности равна нулю, то получаем истинный тензор.

то она тоже не срабатывает. Почему симметричная часть связногсти не может быть равной нулю, было объяснено в сообщении post550468.html#p550468

Если вы хотите мне что-то доказать - доказывайте здесь.

[В. Войтик]

.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #550622 писал(а):

чтобы еще раз... укрепиться в мнении о практической бесполезности излишних умствований.

Я не ожидал от вас такой позиции. Жму руку.

-- 21.03.2012 17:51:46 --

Утундрий в сообщении #550641 писал(а):

Риманова связность - частный случай аффинной

Проблема не в аффинной связности, каковой термин вы понимаете одинаково, а в аффинном пространстве, которое вовсе не есть "пространство с аффинной связностью", а есть просто евклидово минус норма, угол и скалярное произведение.

[*@z@zello*]

Munin в сообщении #550804 писал(а):

Проблема не в аффинной связности, каковой термин вы понимаете одинаково, а в аффинном пространстве, которое вовсе не есть "пространство с аффинной связностью", а есть просто евклидово минус норма, угол и скалярное произведение.

Про то я и говорил - аффинная связность ведет себя как тензор при аффинных преобразованиях координат. Будет она равна нулю в аффинных координатах или нет - это, вообще-то говоря, уже другой вопрос.
Кстати, речь не шла об аффинном пространстве, а об аффинной геометрии (которая не евклидова). Последняя, в общем виде, определяется как геометрия в которой фигуры считаются равными, если их можно совместить аффинным преобразованием. Общее аффинное преобразование включает не только O(n), но и дилатации и инверсии.

[Утундрий]

Munin в сообщении #550804 писал(а):

Проблема не в аффинной связности, каковой термин вы понимаете одинаково, а в аффинном пространстве

А какие с ним могут возникнуть проблемы, если оно

Munin в сообщении #550804 писал(а):

есть просто евклидово минус норма, угол и скалярное произведение

и, добавлю, минус связность, которая появляется только тут: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_math ... 0%90%D0%AF

Проблему я вижу в том, что, оказывается

*@z@zello* в сообщении #550814 писал(а):

речь не шла об аффинном пространстве, а об аффинной геометрии (которая не евклидова). Последняя, в общем виде, определяется как геометрия в которой фигуры считаются равными, если их можно совместить аффинным преобразованием. Общее аффинное преобразование включает не только O(n), но и дилатации и инверсии.

И мне по этому поводу хотелось бы узнать, а эта чудная и дивная "аффинная геометрия" действительно является обобщением римановой и содержит последнюю внутре себя в качестве частного случая?

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550861 писал(а):

И мне по этому поводу хотелось бы узнать, а эта чудная и дивная "аффинная геометрия" действительно является обобщением римановой

Нет.

Цитата:

и содержит последнюю внутре себя в качестве частного случая?

Вам, верно, неизвестно, что среди не евклидовых геометрий есть не только римановы. Каждая клейнова геометрия порождается соответствующей группой преобразований. Кроме того связность существует не только на римановом многообразии.

[Утундрий]

*@z@zello*
Чудно. Пресловутый ваш "более общий случай", который из вас пришлось тянуть клещами, оказался отнюдь не более общим, а вообще отдельным и никакого или почти никакого отношения к обсуждаемому вопросу не имеющим. То есть говорили вы о чем-то своем и по большей части говорили сами с собой (не забывая, однако, ненавязчиво рекламировать белизну своих одежд и не стесняясь в присвоении нелицеприятных эпитетов окружающим).

m@x
Таким образом - не тензор.

[*@z@zello*]

Утундрий в сообщении #550921 писал(а):

*@z@zello*
Чудно. Пресловутый ваш "более общий случай", который из вас пришлось тянуть клещами, оказался отнюдь не более общим, а вообще отдельным и никакого или почти никакого отношения к обсуждаемому вопросу не имеющим. То есть говорили вы о чем-то своем и по большей части говорили сами с собой (не забывая, однако, ненавязчиво рекламировать белизну своих одежд и не стесняясь в присвоении нелицеприятных эпитетов окружающим)

Вы так ничего и не поняли. И ответить нечего. Садитесь за книжки.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Что может быть смешнее старого мазохиста? -- только молодая поросль, занимающаяся сравнительной фаллометрией.

[Munin]

(Оффтоп)

http://dxdy.ru/post551038.html#p551038
самокритично, самокритично...

[m@x]

Здравствуйте.
У меня получается что-то абсурдное.

Если $\[{\nabla _u}{\vec e_i} = \Gamma _{ik}^l{u^k}{\vec e_l}\]$, то умножая обе части равенства на 4-скорость $\[{u^i}\]$, получаем

$\[{u^i}{\nabla _u}{\vec e_i} \equiv {\nabla _u}({u^i}{\vec e_i}) - ({\nabla _u}{u^i}){\vec e_i} = \Gamma _{ik}^l{u^k}{u^i}{\vec e_l}\]$.

Или, так как $\[\vec u = {u^i}{{\vec e}_i}\]$,

$\[{\nabla _u}\vec u - ({\nabla _u}{u^i}){{\vec e}_i} = \Gamma _{ik}^l{u^k}{u^i}{{\vec e}_l}\]$.

Но

$\[\vec a = {\nabla _u}\vec u = {a^i}{{\vec e}_i}\]$, где

$\[{a^i} = {\nabla _u}{u^i}\]$.

Тогда получается, что всегда

$\[\begin{array}{l} \vec a - \vec a \equiv 0 = \Gamma _{ik}^l{u^k}{u^i}{{\vec e}_l} \\ \Gamma _{ik}^l{u^k}{u^i} = 0 \\ \end{array}\]$.

Подскажите, в чем ошибка?

[m@x]

Кто-нибудь, подскажите в чем формальная ошибка?..$\[ \uparrow \]$

[*@z@zello*]

$\[\begin{array}{l} {\nabla _u}({u^k}{e_k}) = {u^k}{\nabla _u}{e_k} + ({\partial _u}{u^k}){e_k} \\ {\nabla _u}{u^k} \equiv {\partial _u}{u^k} \\ \end{array}\]$

Здесь $\[{u^k}\]$ вещественные функции, а не векторные величины.

[m@x]

Понял. Спасибо.