Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #548016 писал(а):

Я извиняюсь, но сейчас у меня другие проблемы.

Конечно присоединяйтесь, когда будет возможность. У меня есть соображения по поводу сходимости треугольника Гильбрайта с основанием в виде последовательности ПСВ по модулю, делителями которого являются последовательные простые числа.
-- 14.03.2012, 21:20 --

arseniiv в сообщении #544398 писал(а):

vicvolf в сообщении #544392 писал(а):

О доказательстве утверждений 1,2 поговорим позже.

Насколько позже?

Вот теперь и поговорим. В работе получен необходимый и достаточный признак сходимости треугольника Гильбрайта с основанием в виде последовательности чисел:3,... и далее возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками. Следовательно, данный признак сходимости применим к треугольнику Гильбрайта с основанием в виде последовательности простых чисел:3, 5,7,...
Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа 3, 5, 7, 11,…и.т.д. Пример такого треугольника представлен ниже.
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
2 2 4 2 4 2 4 6 2
0 2 2 2 2 2 2 4
2 0 0 0 0 0 2
2 0 0 0 0 2
2 0 0 0 2
2 0 0 2
2 0 2
2 2
0
На примере отрицательные разности выделены жирным шрифтом. Обратим внимание, что под простыми числами 5, 7, 11 находятся только положительные разности. Под каждым простым числом больше 11 находится хотя бы одна отрицательная разность.
Данная закономерность была мною проверена на большом объеме простых чисел и подтвердилась.
В этом случае, на основании следствия 1 теоремы 4, для любых последовательных простых чисел $P_n (P_n>11)$ и $P_{n+1}$ выполняется неравенство - $P_{n+1}<P_n+\sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$. Таким образом, надо доказать следующее утверждение.
Утверждение 1
Пусть имеется треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа без пропусков Р1=3, Р2=5,….Рk. Тогда для любых последовательных простых чисел $P_n (P_n>11)$ и $P_{n+1} (n+1<k)$ выполняется неравенство - $P_{n+1}< P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #548404 писал(а):

Утверждение 1
Пусть имеется треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа без пропусков Р1=3, Р2=5,….Рk. Тогда для любых последовательных простых чисел $P_n (P_n>11)$ и $P_{n+1} (n+1<k)$ выполняется неравенство - $P_{n+1}< P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$.

На первый взгляд может показаться, что из утверждения 1 следует сходимость треугольника Гильбрайта. Конечно заманчиво думать, что наличие хотя бы одной отрицательной разности под каждым числом больше 11 в основании треугольника Гильбрайта приводит к его сходимости. Тогда доказательство утверждения 1 было бы эквивалентным доказательству гипотезы Гильбрайта для более широко класса последовательностей в его основании.
При исследовании этого вопроса я рассмотрел более 210 видов треугольников Гильбрайта, пока не нашел контрпример:
3 5 7 11 17 25 35 45 55 65 67
2 2 4 6 8 10 10 10 10 2
0 2 2 2 2 0 0 0 8
2 0 0 0 2 0 0 8
2 0 0 2 2 0 8
2 0 2 0 2 8
2 2 2 2 6
0 0 0 4
0 0 4
0 4
4
В этом примере под каждым числом в основании больше 11 имеется хотя бы одна отрицательная разность (они выделены жирным шрифтом), но треугольник все равно расходится, так как $K_{10}=2>1$.
Действительно, при выполнении условия $P_{n+1}< P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$ якобы выполняется необходимый и достаточный признак сходимости - $P’_{n+1}-P_n\leq 2+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$. Однако, $P’_{n+1}$ число с положительными разностями и естественно может не совпадать с числом $P_{n+1}$.

[vicvolf]

Вернемся к контрпримеру. Выполним преобразование $Q_{n+1}$ треугольника Гильбрайта. Заменим отрицательную разность 2 на положительную - 18, выделенную жирным шрифтом, и получим треугольник Гильбрайта, представленный ниже.
3 5 7 11 17 25 35 45 55 65 83
2 2 4 6 8 10 10 10 10 18
0 2 2 2 2 0 0 0 8
2 0 0 0 2 0 0 8
2 0 0 2 2 0 8
2 0 2 0 2 8
2 2 2 2 6
0 0 0 4
0 0 4
0 4
4
Теперь проверим сходимость полученного треугольника Гильбрайта на основании признака сходимости $P’_{n+1}-P_n=83-65=18>2+ \sum_{i=1}^{9}{A_i_{9}}=2+10+0+0+0+0+2+2+0+0+0=16$.

Следовательно, признак сходимости не выполняется. Поэтому треугольник Гильбрайта расходится.
Таким образом, выполнения утверждения 1 не достаточно для сходимости треугольника Гильбрайта. Для сходимости треугольника Гильбрайта необходимо выполнение дополнительных условий - утверждения 2.
Теперь рассмотрим доказательство утверждения 1.
Из асимптотической формулы Чебышева - π(Х) ~ Х/ln(Х), где π(Х) – число простых чисел меньших или равных Х, следует, что при произвольном сколь угодно малом ε для любого Х>Х0, существует по крайней мере одно простое число, лежащее между Х и (1+ε)Х [3]. Обозначим максимальное расстояние между последовательными простыми числами Pn и Pn+1 – G(Pn). В 1930 году Hoheisel первым показал, что существует такая постоянная υ<1, что G(Pn)<(Pn)υ+ε для достаточно больших Рn и малых ε. Он же указал, первое значение для υ=3/4 [4]. Последний результат получен в 1997 году Harman и Pintz – υ=0,525 [5].
Литература
3. А. А. Бухштаб, Теория чисел, Издательство «Просвещение», Москва, 1966
4. Hoheisel, G. "Primzahlprobleme in der Analysis". Sitzunsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 33: 3–11,1930
5. Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997

[vicvolf]

Утверждение 1
Пусть имеется треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа без пропусков Р1=3, Р2=5,….Рk. Тогда для любых последовательных простых чисел Pn (Pn>11) и Pn+1 (n+1<k) выполняется неравенство - $P_{n+1} - P_n < \sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}$.
Продолжение.
Чебышев доказал, что число простых чисел меньших или равных Х –π(Х) при больших Х заключается между двумя величинами aХ/ln(Х) и bХ/ln(Х), где a=0,925, b=1,106. Пользуясь теоремой Чебышева, можно получить оценку сверху величины простого числа с номером n: Pn<cnln(n), c=2/a (1). Указанная оценка верна при всех Pn>2 [3].
Рассмотрим отношение $(P_{n+1} - P_n)/\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}$ (2). В числителе находится разность между последовательными простыми числами Pn+1, Pn, а в знаменателе сумма элементов треугольника Гильбрайта, находящихся под простым числом Pn.
Исследуем сначала числитель (2). На основании формул (1) и [3] получаем, что $P_{n+1} - P_n < {(cnln(n))}^{v+\epsilon}$, где $v=0,525$, а $\epsilon$ – малая величина. Учитывая это, начиная с $P_5=13$, справедлива следующая оценка сверху для $P_{n+1} - P_n < (cnln(n))^{0,53}$ (3).
Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Приведенный пример - улучшеный вариант гипотезы Лежандра.
Но он применим к достатачно большим числам.
При $n=30, p_n=113$ эта формула дает сбой.
Кстати, зачем здесь применять асимптотику?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #550266 писал(а):

Но он применим к достатачно большим числам.
При $n=30, p_n=113$ эта формула дает сбой.

Почему при n=30 формула $((2/0,925)nln(n)^{0,53}=17,38>14= P_{31}-P_{30}$. Все верно.

[vorvalm]

У вас неправильно вычислена постоянная Мертенса.

$c=e^{-\gamma}=2,71^{-0,577}=0,56$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #550310 писал(а):

У вас неправильно вычислена постоянная Мертенса.
$c=e^{-\gamma}=2,71^{-0,577}=0,56$

У меня c не постоянная Мертенса, а оценка из теоремы 325 (стр 338 Бухштаб) - c=2/a, где а=0,921 (стр. 334) (ошибся не 0,925, но это только увеличивает величину пробела), которая справедлива и для малых n, что мне необходимо (см. пост от 19.03.2012).

[vorvalm]

Извиняюсь, не понял ваше обозначение.
Тогда действительно эта формула годна для небольших чисел,
но при больших числах эта оценка будет очень грубой.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #550353 писал(а):

но при больших числах эта оценка будет очень грубой.

Согласен, но меня это устраивает - асимтотика мне не нужна! В ближайшее время поясню почему.

[vicvolf]

Утверждение 1. Продолжение.
Теперь исследуем знаменатель. На основании работ [6], [7] появление 0 и 2 в треугольнике Гильбрайта равновероятно. Учитывая, что под простым числом $P_n$ в треугольнике Гильбрайта находится n чисел, а в верхних строках находятся числа больше 2, среднее значение величины $\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}>(0+2)n/2=n$ (4). Указанная оценка (4) соответствует реальному значению средней величины $\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}} $.
Справедлива следующая оценка для нижней грани $inf(\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}) \geq 0,88n$ при $n\geq 6$ (5). Оценка (5) проверена на большом количестве простых чисел, лежащих в основании треугольника Гильбрайта.

Литература
6. P. X. Gallagher, On the distribution of primes in short intervals, Mathematika 23 (1976), 4-9.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А., Теория вероятностей и ее инженерные приложения, М.: 2000

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Уточнение. Справедлива оценка для нижней грани $inf(\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}) \geq 0,88n$ при $n>15$ (5).

[vicvolf]

Продолжение. Утверждение 1.
Если сравнить (3) и (5), то соотношение $\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}\geq 0,88n>(cnln(n))^{0,53} > P_{n+1}- P_n$ справедливо для n>15. Для n=5-15 можно легко проверить, что $\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}> P_{n+1}- P_n$.
Таким образом, указанные оценки показывают, что $(P_{n+1} - P_n)/\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}<1$ при n≥5.
В действительности при n≥5 $sup(( P_{n+1} - P_n)/\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1})=0,75$ и достигается при n=8. (11). Отсюда следует, что $P_{n+1} - P_n < \sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}$ при $P_n>11$.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #550356 писал(а):

vorvalm в сообщении #550353 писал(а):

но при больших числах эта оценка будет очень грубой.

Согласен, но меня это устраивает - асимтотика мне не нужна! В ближайшее время поясню почему.

Теперь понятно почему?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #550549 писал(а):

Справедлива оценка для нижней грани $inf(\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}) \geq 0,88n$ при $n>15$ (5).

Утверждение 1 пока в теме не доказано, так как не доказана оценка (5). Достаточно доказать, что $inf(\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}) \geq Kn$, начиная с какого $n>N_0$. Например, для K=0,02 - N_0=1,6. 10^5$.
Возможно даже доказать, что $inf(\sum_{i=1}^{n-1}{A_i_{n-1}}) \geq n^{1-a}$, при 0<а<1/3.
Есть ли идеи по доказательству этой оценки?