Функции, которые не имеют нулей

[Sonic86]

Да пускай ТС придет и уточнит задачу, проблем-то...

[Профессор Снэйп]

Судя по вопросу, вряд ли он сумеет это сделать

[ewert]

Да, кстати:

Sonic86 в сообщении #547872 писал(а):

Если функция целая и не имеет нулей, то она имеет вид $\exp (f(z))$. См. Леонтьев Целые функции.

А Леонтьева случайно не Маркушевичем зовут?... Непонятно, где это может быть у Леонтьева.

[Sonic86]

Да я по памяти писал, может где-то ошибся.
Вообще, если $f(z)$ целая и не имеет нулей, то $g(z)=\ln f(z)$ определена на $\mathbb{C}$ и тогда $f(z)=e^{g(z)}$. Для этого даже в книжку лазить не надо. А в книжке там была общая формула - для целых функций с нулями (посмотрел - теорема 3.2 например).

[ewert]

Sonic86 в сообщении #548892 писал(а):

$g(z)=\ln f(z)$ определена на $\mathbb{C}$ и тогда $f(z)=e^{g(z)}$.

Это, конечно, правда, но всё-таки немножко не так быстро, требуется некоторая аккуратность. Нужна пара заклинаний насчёт того, что можно выбрать однозначную ветвь логарифма, аналитическую всюду. Так что эвристически это, разумеется, логарифм, но в формальном доказательстве лучше всё-таки обойтись без логарифма.

Маркушевич, кстати, не вполне в этом отношении аккуратен ("Целые функции", п.9). Он честно указал на дифференцируемость логарифма, но как-то упустил из виду даже упомянуть про однозначность. Впрочем, у него ведь "элементарный очерк", так что небрежностей хватает.

[shwedka]

Цитата:

Нужна пара заклинаний насчёт того, что можно выбрать однозначную ветвь логарифма, аналитическую всюду.

Да заклинания вполне простые. Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,
где интегрирование происходит по некоторому пути,
соединяющему 0 с $z$. Поскольку интегранд - голоморфная функция всюду, интеграл по теореме Коши не зависит от пути и задает однозначный логарифм.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #549206 писал(а):

интегранд

О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

[nnosipov]

shwedka в сообщении #549206 писал(а):

Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,
где интегрирование происходит по некоторому пути,
соединяющему 0 с $z$. Поскольку интегранд - голоморфная функция всюду, интеграл по теореме Коши не зависит от пути и задает однозначный логарифм.

Надо ещё доказать, что $g(z)$ --- это логарифм. А это ещё одно заклинание.

[bot]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #549210 писал(а):

shwedka в сообщении #549206 писал(а):интегранд
О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

После услышанного в студенческие годы слова подписант, это уже не удивило.

[ewert]

shwedka в сообщении #549206 писал(а):

Да заклинания вполне простые. Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,

Совершенно верно, ровно так и надо.

nnosipov в сообщении #549221 писал(а):

Надо ещё доказать, что $g(z)$ --- это логарифм.

Нет, вот это как раз ни к чему. Далее надо лишь обратить внимание на то, что, если рассмотреть функцию $F(z)=e^{g(z)}$, то по формальным правилам $F'(z)\equiv f'(z)$ и при этом $F(0)=f(0)$, откуда $F(z)\equiv f(z)$. После чего можно при желании заметить, что тогда $g(z)$ -- это логарифм (просто по определению логарифма), но это уже дело вкуса.

[shwedka]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #549210 писал(а):

shwedka в сообщении #549206 писал(а):

интегранд

О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

А зря. Посмотрите, например,
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=smj&paperid=997&option_lang=rus

[nnosipov]

ewert в сообщении #549298 писал(а):

... если рассмотреть функцию $F(z)=e^{g(z)}$, то по формальным правилам $F'(z)\equiv f'(z)$ ...

Формально дифференцируя, Вы получите $F'(z)=e^{g(z)}f'(z)/f(z)=F(z)f'(z)/f(z)$. И что дальше?

[ewert]

nnosipov в сообщении #549306 писал(а):

Вы получите $F'(z)=e^{g(z)}f'(z)/f(z)=F(z)f'(z)/f(z)$. И что дальше?

Ну, например, дальше $\dfrac{F(z)}{f(z)}=\mathrm{const}.$

[nnosipov]

ewert, в любом случае придется доказывать, что функция $g(z)$ такова, что $e^{g(z)}=f(z)$, т.е., иными словами, что $g(z)$ --- логарифм. Мне непонятна вот эта Ваша реплика:

ewert в сообщении #549298 писал(а):

Нет, вот это как раз ни к чему.

А доказывать это можно по-разному. Например, заметив, что $g(z)$ есть логарифм локально.

[ewert]

nnosipov в сообщении #549319 писал(а):

Например, заметив, что $g(z)$ есть логарифм локально.

Можно, и это тоже нетрудно, но абстрактнее -- там возня с леммой Гейне-Бореля и с однозначностью аналитического продолжения.

nnosipov в сообщении #549319 писал(а):

в любом случае придется доказывать, что функция $g(z)$ такова, что $e^{g(z)}=f(z)$, т.е., иными словами, что $g(z)$ --- логарифм.

Я именно и хотел с самого начала сказать, что "в любом случае придется доказывать". А вот произносить слово "логарифм" явно при этом вовсе не обязательно.