2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение13.03.2012, 19:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Да пускай ТС придет и уточнит задачу, проблем-то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение14.03.2012, 04:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Судя по вопросу, вряд ли он сумеет это сделать :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение16.03.2012, 12:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да, кстати:

Sonic86 в сообщении #547872 писал(а):
Если функция целая и не имеет нулей, то она имеет вид $\exp (f(z))$. См. Леонтьев Целые функции.

А Леонтьева случайно не Маркушевичем зовут?... Непонятно, где это может быть у Леонтьева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение16.03.2012, 13:44 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Да я по памяти писал, может где-то ошибся.
Вообще, если $f(z)$ целая и не имеет нулей, то $g(z)=\ln f(z)$ определена на $\mathbb{C}$ и тогда $f(z)=e^{g(z)}$. Для этого даже в книжку лазить не надо. А в книжке там была общая формула - для целых функций с нулями (посмотрел - теорема 3.2 например).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение16.03.2012, 14:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sonic86 в сообщении #548892 писал(а):
$g(z)=\ln f(z)$ определена на $\mathbb{C}$ и тогда $f(z)=e^{g(z)}$.

Это, конечно, правда, но всё-таки немножко не так быстро, требуется некоторая аккуратность. Нужна пара заклинаний насчёт того, что можно выбрать однозначную ветвь логарифма, аналитическую всюду. Так что эвристически это, разумеется, логарифм, но в формальном доказательстве лучше всё-таки обойтись без логарифма.

Маркушевич, кстати, не вполне в этом отношении аккуратен ("Целые функции", п.9). Он честно указал на дифференцируемость логарифма, но как-то упустил из виду даже упомянуть про однозначность. Впрочем, у него ведь "элементарный очерк", так что небрежностей хватает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 03:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Цитата:
Нужна пара заклинаний насчёт того, что можно выбрать однозначную ветвь логарифма, аналитическую всюду.

Да заклинания вполне простые. Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,
где интегрирование происходит по некоторому пути,
соединяющему 0 с $z$. Поскольку интегранд - голоморфная функция всюду, интеграл по теореме Коши не зависит от пути и задает однозначный логарифм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 05:02 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #549206 писал(а):
интегранд

О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 07:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
shwedka в сообщении #549206 писал(а):
Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,
где интегрирование происходит по некоторому пути,
соединяющему 0 с $z$. Поскольку интегранд - голоморфная функция всюду, интеграл по теореме Коши не зависит от пути и задает однозначный логарифм.
Надо ещё доказать, что $g(z)$ --- это логарифм. А это ещё одно заклинание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 07:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #549210 писал(а):
shwedka в сообщении #549206 писал(а):интегранд
О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

После услышанного в студенческие годы слова подписант, это уже не удивило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
shwedka в сообщении #549206 писал(а):
Да заклинания вполне простые. Зададим
$g(z)=\log f(0)+\int_0^z\frac{f'(\mathfrak{z})}{f(\mathfrak{z})}d\mathfrak{z}$,

Совершенно верно, ровно так и надо.

nnosipov в сообщении #549221 писал(а):
Надо ещё доказать, что $g(z)$ --- это логарифм.

Нет, вот это как раз ни к чему. Далее надо лишь обратить внимание на то, что, если рассмотреть функцию $F(z)=e^{g(z)}$, то по формальным правилам $F'(z)\equiv f'(z)$ и при этом $F(0)=f(0)$, откуда $F(z)\equiv f(z)$. После чего можно при желании заметить, что тогда $g(z)$ -- это логарифм (просто по определению логарифма), но это уже дело вкуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #549210 писал(а):
shwedka в сообщении #549206 писал(а):
интегранд

О, я это слово первый раз в жизни встречаю!

А зря. Посмотрите, например,
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=smj&paperid=997&option_lang=rus

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #549298 писал(а):
... если рассмотреть функцию $F(z)=e^{g(z)}$, то по формальным правилам $F'(z)\equiv f'(z)$ ...
Формально дифференцируя, Вы получите $F'(z)=e^{g(z)}f'(z)/f(z)=F(z)f'(z)/f(z)$. И что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #549306 писал(а):
Вы получите $F'(z)=e^{g(z)}f'(z)/f(z)=F(z)f'(z)/f(z)$. И что дальше?

Ну, например, дальше $\dfrac{F(z)}{f(z)}=\mathrm{const}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert, в любом случае придется доказывать, что функция $g(z)$ такова, что $e^{g(z)}=f(z)$, т.е., иными словами, что $g(z)$ --- логарифм. Мне непонятна вот эта Ваша реплика:
ewert в сообщении #549298 писал(а):
Нет, вот это как раз ни к чему.
А доказывать это можно по-разному. Например, заметив, что $g(z)$ есть логарифм локально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #549319 писал(а):
Например, заметив, что $g(z)$ есть логарифм локально.

Можно, и это тоже нетрудно, но абстрактнее -- там возня с леммой Гейне-Бореля и с однозначностью аналитического продолжения.

nnosipov в сообщении #549319 писал(а):
в любом случае придется доказывать, что функция $g(z)$ такова, что $e^{g(z)}=f(z)$, т.е., иными словами, что $g(z)$ --- логарифм.

Я именно и хотел с самого начала сказать, что "в любом случае придется доказывать". А вот произносить слово "логарифм" явно при этом вовсе не обязательно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group