Функцию

мы задаём тем интегралом (я ничего другого и не имел в виду). Потом доказываем равенство

локально. Наконец, ссылаемся на теорему единственности.
Ну, если интегралом, то такая цепочка излишня -- логически проще проверить равенство

дифференцированием в лоб, как я раньше и писал.
Я имел в виду принципиально другой способ доказательства. Оформлять его можно по-разному; например, так. Функцию

можно однозначно определить в некоторой окрестности

нуля. Пусть

-- это супремум радиусов тех кругов, на которые можно аналитически продолжить из

эту функцию так, чтобы в пределах круга она оставалась логарифмом. Надо доказать, что

.
Предположим обратное. Возьмём окружность радиуса

. Для каждой точки окружности выберем некоторую её окрестность, в пределах которой логарифм можно определить однозначно. По лемме Гейне-Бореля выберем из этого открытого покрытия конечное подпокрытие окружности. Возьмём круг радиуса

такой, что он пересекается с пересечением каждой пары соседних выбранных окрестностей. В каждой из выбранных окрестностей возьмём ту ветвь логарифма, которая на пересечении этой окрестности с кругом радиуса

совпадает с функцией

; тогда и на пересечении любых двух соседних окрестностей эти ветви тоже будут давать один и тот же результат. Однако объединение круга радиуса

и всех выбранных окрестностей содержит в себе некоторый круг радиуса, большего

, и на этом большем круге

определена как логарифм. Противоречие.
В общем, всё вполне очевидно, но и вполне занудно. По-моему, вариант с определением

через интеграл и последующей проверкой тождества тупым дифференцированием -- логически куда проще.