К вопросу о неравенстве инертной и гравитационной массы

[epros]

VladTK в сообщении #548522 писал(а):

Когда есть оболочка, Вы безусловно правы. А когда ее нет? Над чем (или против чего) совершает работу излучение в этом случае?

Вы с этими моделями фотонного газа (да ещё и термодинамически равновесного) на самом деле ушли в глубокий офтоп. Разумеется, если рассматривать связную систему уравнений Максвелла + Эйнштейна, то фотонный газ при расширении будет совершать работу над пространством-временем, но тогда у Вас не получится такая метрика, как Вы задумали.

Изначально же речь шла о заданной формуле для метрики пространства-времени, в котором движется некий свет, очевидно, с плотностью энергии достаточно малой для того, чтобы как-то влиять на метрику пространства-времени. И не нужно рассматривать никаких фотонных газов и уж тем более - никаких термодинамических равновесий. Просто рассмотрите пространственно ограниченный волновой пакет, который со скоростью света движется в каком-то направлении "как целое". Продемонстрировать сохранение его энергии не так уж трудно: Возьмите достаточно большую пространственную область - чтобы за интересующее нас время этот волновой пакет из неё не успел выйти. Рассмотрим цилиндр, основаниями которого является эта область в моменты $t_1$ (начальный) и $t_2$ (конечный). Из $(T^{i j} + t^{i j})_{,j} = 0$ следует, что соответствующий интеграл по поверхности цилиндра равен нулю. Интеграл от $t^{i j}$, как мы уже выяснили, для выбранной Вами метрики всюду равен нулю. Значит у нас остаётся: $\int\limits^{}_{V(t_1)} T^{i j} dV_j = \int\limits^{}_{V(t_2)} T^{i j} dV_j$ - это и есть закон сохранения интегральных энергии-импульса волнового пакета. Строго говоря, это не абсолютно точно, потому что здесь мы не учли гравитационное поле, создаваемое самим этим волновым пакетом, но мы считаем, что им можно пренебречь.

[schekn]

Someone в сообщении #548387 писал(а):

[quote="schekn в [

Цитата:

То есть, Вы утверждаете, что Ваши оппоненты умышленно врут, подсовывая вместо решения уравнений ОТО произвольно придуманную метрику? А собственноручно подставить её в уравнения и проверить свои сомнения Вам слабó?

Я за то, чтобы Вы аккуратно решали ту задачу , которую поставили, как и в этой теме , так и 4 года назад.
Напишите аккуратно те же преобразования от метрики Вашей гравитирующей плоскости к плоской метрике и Вы увидите в чем нехорошесть таких преобразований.

[Paganel]

VladTK в сообщении #548522 писал(а):

Вы не могли бы показать как Вы получили эту метрику? В ней нет ошибки?

Стартуя с метрики $ds^2 = e^{\lambda(z)} dt^2 -e^{\mu(z)} (dx^2+dy^2) - dz^2$, из уравнений Эйнштейна в пустом пространстве находим (ср. Someone post130377.html#p130377):
$4T_{00}= -e^\lambda(3\mu'^2 + 4\mu'') = 0,$
$4T_{11}= 4T_{22} = e^\mu(\lambda'^2 + \lambda'\mu' + \mu'^2 + 2\lambda'' + 2\mu'') = 0,$
$4T_{33}= \mu'(2\lambda' + \mu') =0.$
Решение Тауба для полупространства возникает из подслучая $\mu' \neq 0$, $2\lambda' + \mu' = 0$ в уравнении $T_{33}=0$. Тогда остальные уравнения дают $3\mu' + 4\mu''/\mu'=0$ или $3\mu + 4\ln\mu'=C$ или $e^{3\mu/4}\mu' =C$ или $e^{3\mu/4} = A+Bz$ (произвольная линейная функция) или $e^\mu = (A+Bz)^{4/3}$ и, соответственно, $e^\lambda \propto (A+Bz)^{-2/3}$.

Someone использовал $A=0$, что соответствует помещению начала отсчета оси $z$ на горизонт (на край мира) и направлению оси на удаленную гравитирующую плоскость. Тогда получается метрика $ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2.$
Я предпочел обратить направление оси и поместить начало отсчета $z=0$ на гравитирующую плоскость, записав $ds^2 = (1-3gz)^{-2/3}dt^2 - (1-3gz)^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$ (здесь $g$ - ускорение свободного падения вблизи $z=0$).
Делая замену $(1-3gz)^{1/3}dz = dZ$ или $Z = 1/(4g)[1 - (1-3gz)^{4/3}]$, получаем $ds^2 = (1-4gZ)^{-1/2}(dt^2 - dZ^2) - (1-4gZ)(dx^2 + dy^2).$ Симметрично продолжая это решение к отрицательным $Z$ - через плоскость $Z=0$, где вводится излом (гравитирующая плоскость) - окончательно находим то, что я написал:
$ds^2 = (1-4g|Z|)^{-1/2}(dt^2 - dZ^2) - (1-4g|Z|)(dx^2 + dy^2).$
(Впрочем, преобразованная форма ничем не лучше исходной, до замены. Я ее дал просто потому, что когда-то давно именно так давал ее на Мембране и сохранил в компьютере.)

Цитата:

Это не горизонт и не граница мира. Просто Ваше преобразование координат не описывает все исходное пространство.

У вас есть идеи, как решение Тауба $ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$ может быть продолжено к отрицательным $z$ (или по комплексному направлению?!) через точку $z=0$, в которой детерминант метрики $-g=z^2$ зануляется? Пока я думаю, что гладкое продолжение отсутствует, и $z=0$ отвечает границе Вселенной Тауба.

Цитата:

Вообще, мне почему-то кажется что второе решение Someone-а относится не к гравитирующей плоскости, а к гравитирующему полупространству.

Это зависит от того, как мы оборвем свободное решение на подразумеваемом источнике. Решение с изломом отвечает источнику $\sim\delta(Z)$, сосредоточенному на плоскости $Z=0$.

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #548528 писал(а):

Someone, Вы меня иногда просто удивляете своей неготовностью к конструктивному обсуждению некоторых дискуссионных вопросов.

Чья бы корова мычала...

[VladTK]

epros в сообщении #548505 писал(а):

А Вы бы не "глядели", а просто записали эту формулу, да и все дела. Ибо я не понимаю, как Вы собираетесь получить вектор интегральной энергии-импульса из поля $T^{i j} \xi_j$. По моим понятиям $P^i = \int\limits^{}_{V} T^{i j} dV_i = \int\int\int T^{i j} e_{j 1 2 3} dx^1 dx^2 dx^3$, где $e_{j k l m}$ - символ Леви-Чивиты. Я вижу аналог этого интеграла в том месте у Петрова, на которое Вы дали ссылку, но я не понимаю, куда мне пристягнуть этот интеграл к Вашему полю $T^{i j} \xi_j$.

Тяжелый случай...

Ну раз Вы такой непонятливый разжевываю до основания. Дифференциальное уравнение сохранения тензора энергии-импульса в произвольных координатах имеет вид

$$ D_{\nu} T^{\mu \nu}=0 $$

где $D_{\nu}$ - ковариантная производная. В развернутом виде

$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\nu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu})+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} T^{\alpha \beta}=0 $$

Благодаря последнему слагаемому невозможен переход от дифференциальной к интегральной формам законов сохранения в произвольных координатах даже пространства-времени Минковского, не говоря уже о искривленных пространствах.

Но был найден выход из положения (я не знаю точно кто этот выход нашел, но я его впервые увидел у Фока). Рассматривают векторное поле Киллинга $\xi_{\mu}$ и образуют свертку $T^{\mu \nu}\xi_{\nu}$. Дивергенция этой свертки, как я уже показывал, равна нулю

$$ D_{\mu} (T^{\mu \nu} \xi_{\nu})=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\mu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu} \xi_{\nu})=0 $$

Проинтегрируем это равенство по некоторому 4-объему с использованием теоремы Гаусса (обозначения из лекций Петрова)

$$ \int_{\Omega} D_{\mu} (T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) d^4 x=\int_{\Sigma_1} T^{0 \nu} \xi_{\nu} d^3 x-\int_{\Sigma_0} T^{0 \nu} \xi_{\nu} d^3 x+\oint_S T^{\mu \nu} \xi_{\nu}) d S_{\mu}=0 $$

Как и в лекциях Петрова, если последнее слагаемое зануляется (нет потока через боковую стенку 4-цилиндра) то величина

$$ P^{(k)}=\int_{\Sigma} T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(k)} d^3 x $$

сохраняется со временем (здесь $k$ нумерует Киллинговы вектора).

Рассмотрим ситуацию в декартовых координатах в Минковском. Уравнения Киллинга примут вид

$$ \partial_{\nu} \xi_{\mu}^{(k)}+ \partial_{\mu} \xi_{\nu}^{(k)}=0 $$

Они имеют очевидные решения, совпадающие с ортами координатной системы

$$ \xi_{\mu}^{(0)}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(1)}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(2)}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(3)}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} $$

При этих значениях векторов Киллинга определение $P^{(k)}$ совпадает с обычным определением 4-импульса (32.6) в ЛЛ-2. Для перехода в прозвольные координаты достаточно выполнить обычные преобразования этих векторных полей Киллинга, а для 4-импульса использовать данное выше определение. У Фока, кроме изложеного мною здесь, найдены еще 6 векторных полей, соответствующим прочим симметриям Минковского, и показано как записать законы сохранения компонент тензора момента с использованием этих векторов.

epros в сообщении #548505 писал(а):

Я знаю, что Фок не очень понимал и не любил ОТО. Так что вместо ссылок на авторитет его работ, лучше бы Вы ответили мне и всё. Мы тут что "крутизной" меряемся или может быть всё же просто стараемся прийти к какому-то взаимопониманию?

Опять глупости говорите Фок прекрасно понимал СТО и ОТО. Во многом именно ему принадлежит заслуга развития СТО на произвольные системы координат. Поначалу даже Эйнштейн не принимал этого, но к концу жизни согласился с Фоком.

Или взять хотя бы тот же вопрос с движением частиц с моментом в ОТО. Владимиров в упоминавшейся мной книге повторяет вывод Фока (в частном случае) уравнений движения "дипольной" частицы (уравнения Матиссона-Папапетру). Слабость вывода уравнений движения спина у Вайнберга заключается в том, что он просто предполагает справедливость простого ковариантного обобщения уравнений движения спина из СТО. А Фок показал, что ОТО сложнее. Уравнения движения частицы уже содержатся в уравнении сохранения тензора энергии-импульса. И для корректного вывода уравнений движения частицы с моментом требуется, как Вы правильно указали, корректный переход в уравнении сохранения тензора энергии-импульса к точечной частице без потери физического смысла. Фок предлагал вариант такого перехода.

epros в сообщении #548505 писал(а):

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

И с каким сейчас излучающим/поглощающим телом связано МФИ?

Это Вы сами себе что ли вопрос задаёте? Формулу Больцмана - применимую только для равновесного излучения - употребили Вы, а не я. Напоминаю, что плотность энергии излучения меняется с температурой (по четвёртой степени) именно из-за постоянного поглощения/переизлучения.

Не юродствуйте. Я Вас спросил: с чем сейчас взаимодействует МФИ? Что его поглощает/излучает так что находится с ним в термодинамическом равновесии? Вещество? Вряд ли. За 13 с лишним миллиардов лет вещество так и не пришло с МФИ в равновесие. Темная материя или темная энергия? Они еще слабее взаимодействут с МФИ. Вот и выходит что МФИ ни с чем не взаимодействует, а энергию теряет (красное смещение).

epros в сообщении #548505 писал(а):

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Неее. Это теория, которая может оказаться весьма далекой от реалий. Я вел речь о практических возможностях наблюдателя.

О каких именно практических возможностях? Вы же ничего конкретного не говорите. Это я как раз сказал о практических возможностях - измерить красное смещение.

Как наблюдатель конкретно измерит скорость, мне без разницы. Лишь бы это было объективное измерение.

epros в сообщении #548505 писал(а):

Конкретнее пожалуйста. Что такое "реальные скорости"? Я ранее определял скорость как отношение пройденного расстояния $\sqrt{(\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}} - g_{\alpha \beta}) dx^{\alpha} dx^{\beta}}$ к промежутку местного времени $\sqrt{g_{0 0}} dx^0$. И эта величина очевидным образом от точки наблюдения не зависит. Если же наблюдатель "реально измеряет" что-то другое, то это означает, что он что-то другое понимает под "скоростью".

Реальные скорости - это те что Вы фиксируете приборами. Вы правильно даете формулу скорости частицы. Но я же говорю - удаленный наблюдатель не имеет возможности непосредственного измерения пройденного расстояния и промежутка местного времени. Он измеряет видимое им "пройденное расстояние" и отсчитываемые его часами промежуток времени. На большее он не способен.

epros в сообщении #548505 писал(а):

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Где Вы видели у меня упоминания об абсолютно твёрдом теле? Я работаю с наблюдателями СО и их размеры, форма и т.д. абсолютно не важны для той физики, которой я интересуюсь.

А что тогда вызывает у Вас ступор? Вы возражаете против того, что тело отсчёта может быть пространственно распределённым? Или против чего?

Ага, меня вводит в ступор Ваше пространственно распределённое тело отсчёта, которое еще к тому же колбасится по жизни похоже не слабо

epros в сообщении #548505 писал(а):

VladTK в сообщении #548339 писал(а):

Я же говорю, что мы ооочень по разному понимаем термин "система отсчета". Что я понимаю под этим термином написано в книге Ю.С. Владимирова "Системы отсчета в теории гравитации". Желаете - вышлю на любой удобный для Вас адрес.

В рабочее время у меня нет удобного адреса Лучше попробуйте изложить Ваше понимание здесь (можно - цитатами из Владимирова, только объяснений этих цитат я жду от Вас, а не от Владимирова). У меня есть сильное подозрение, что имеет место одно из двух:
1) Либо на самом деле мы говорим об одном и том же.
2) Либо кто-то чего-то не понял.


По моим понятиям попытки в общем случае в задачах ОТО (включая нестационарные решения) построить какие-то жёсткие СО, стараясь как-то зафиксировать расстояния до наблюдателя, заведомо бесперспективны. СО должна быть связана с пространственно-распределённым телом отсчёта, на движение частей которого вообще говоря не накладывается никаких специфических ограничений. А уже после того, как мы определились с телом отсчёта и с понятием "одновременности", можно начинать измерять расстояния и промежутки времени.

А вот это уже в этой теме злостный офф. Так что если желаете будем обсуждать эти вопросы в другой теме.

epros в сообщении #548562 писал(а):

Вы с этими моделями фотонного газа (да ещё и термодинамически равновесного) на самом деле ушли в глубокий офтоп. Разумеется, если рассматривать связную систему уравнений Максвелла + Эйнштейна, то фотонный газ при расширении будет совершать работу над пространством-временем, но тогда у Вас не получится такая метрика, как Вы задумали.

Изначально же речь шла о заданной формуле для метрики пространства-времени, в котором движется некий свет, очевидно, с плотностью энергии достаточно малой для того, чтобы как-то влиять на метрику пространства-времени. И не нужно рассматривать никаких фотонных газов и уж тем более - никаких термодинамических равновесий. Просто рассмотрите пространственно ограниченный волновой пакет, который со скоростью света движется в каком-то направлении "как целое". Продемонстрировать сохранение его энергии не так уж трудно: Возьмите достаточно большую пространственную область - чтобы за интересующее нас время этот волновой пакет из неё не успел выйти. Рассмотрим цилиндр, основаниями которого является эта область в моменты $t_1$ (начальный) и $t_2$ (конечный). Из $(T^{i j} + t^{i j})_{,j} = 0$ следует, что соответствующий интеграл по поверхности цилиндра равен нулю. Интеграл от $t^{i j}$, как мы уже выяснили, для выбранной Вами метрики всюду равен нулю. Значит у нас остаётся: $\int\limits^{}_{V(t_1)} T^{i j} dV_j = \int\limits^{}_{V(t_2)} T^{i j} dV_j$ - это и есть закон сохранения интегральных энергии-импульса волнового пакета. Строго говоря, это не абсолютно точно, потому что здесь мы не учли гравитационное поле, создаваемое самим этим волновым пакетом, но мы считаем, что им можно пренебречь.

Про влияние МФИ на метрику никто не говорил. Так, что "не плетите сети".

А по Вашему "доказательству"... Строго говоря, Вы похоже вообще успели забыть о чем мы здесь спорим уже который день. Где Вы взяли смысл у величины $\int\limits^{}_{V(t_1)} T^{i j} dV_j$ ? Так что Ваше "доказательство" ф топку.

[Munin]

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Опять глупости говорите Фок прекрасно понимал СТО и ОТО.

Понимал он ОТО всё-таки "по-старому" - это раз, и не любил всё-таки откровенно - это два. И в его книге легко заметить отчётливые следы и того и другого.

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Ага, меня вводит в ступор Ваше пространственно распределённое тело отсчёта, которое еще к тому же колбасится по жизни похоже не слабо

Читайте у него вместо "тело" - "среда". Станет понятней. Правда, не особо целесообразней.

[VladTK]

Paganel в сообщении #548622 писал(а):

...Someone использовал $A=0$, что соответствует помещению начала отсчета оси $z$ на горизонт (на край мира) и направлению оси на удаленную гравитирующую плоскость. Тогда получается метрика $ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2.$
Я предпочел обратить направление оси и поместить начало отсчета $z=0$ на гравитирующую плоскость, записав $ds^2 = (1-3gz)^{-2/3}dt^2 - (1-3gz)^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$ (здесь $g$ - ускорение свободного падения вблизи $z=0$)...

Меня беспокоит вот этот переход от интервала Someone-а к Вашему. Вроде выполняется простое преобразование переменных $z \to z'$ с $z=1-3gz'$. Но интервал тогда должен иметь вид

$ds^2 = (1-3gz')^{-2/3}dt^2 - (1-3gz')^{4/3}(dx^2 + dy^2) - 9 g^2 dz'^{2}$

А у Вас почему-то при $dz'^{2}$ стоит 1...

Paganel в сообщении #548622 писал(а):

Цитата:

Это не горизонт и не граница мира. Просто Ваше преобразование координат не описывает все исходное пространство.

У вас есть идеи, как решение Тауба $ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$ может быть продолжено к отрицательным $z$ (или по комплексному направлению?!) через точку $z=0$, в которой детерминант метрики $-g=z^2$ зануляется? Пока я думаю, что гладкое продолжение отсутствует, и $z=0$ отвечает границе Вселенной Тауба...

Не понял, зачем "продолжать" решение? Пространство-время разбито плоскостью на две несвязные области $z>0$ и $z<0$. Интервал в каждой области задается выражением $ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$ Хотя когда-то epros писал, что между этими областями частицы могут запросто путешествовать, но мне что-то в это не верится.

Munin в сообщении #548790 писал(а):

Понимал он ОТО всё-таки "по-старому" - это раз, и не любил всё-таки откровенно - это два. И в его книге легко заметить отчётливые следы и того и другого.

Можно примеры? А то как-то не заметил.

[epros]

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

величина

$$ P^{(k)}=\int_{\Sigma} T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(k)} d^3 x $$

сохраняется со временем (здесь $k$ нумерует Киллинговы вектора).

Рассмотрим ситуацию в декартовых координатах в Минковском. Уравнения Киллинга примут вид

$$ \partial_{\nu} \xi_{\mu}^{(k)}+ \partial_{\mu} \xi_{\nu}^{(k)}=0 $$

Они имеют очевидные решения, совпадающие с ортами координатной системы

$$ \xi_{\mu}^{(0)}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(1)}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(2)}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \xi_{\mu}^{(3)}=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} $$

При этих значениях векторов Киллинга определение $P^{(k)}$ совпадает с обычным определением 4-импульса (32.6) в ЛЛ-2.

Вот эта интегральная формула для $P^{(k)}$ - наконец понятная. Остаётся только обратить внимание на то, что в декартовых координатах ИСО $\xi_{\nu}^{(k)} = \delta_{\nu}^k$, а значит:

$P^{(k)}=\int_{\Sigma} T^{0 k} d^3 x$.

Теперь попробуем понять, зачем нужны были все эти пляски с бубном, в частности - определение какого-то странного векторного поля $P^i = T^{i \nu} \xi_{\nu}$, которое:
1) не соответствует вышеупомянутому интегралу;
2) с учётом того, что $\xi_{\nu}$ - это произвольная линейная комбинация $\xi_{\nu}^{(0)}$, $\xi_{\nu}^{(1)}$, $\xi_{\nu}^{(2)}$ и $\xi_{\nu}^{(3)}$, то вообще непонятно, какой оно имеет смысл.

Вспоминаем, что Вы таким образом обещали "оскалярить" сохраняющиеся величины. В итоге, что же мы "оскалярили"? Осмелюсь предположить, что Вы принимаете за "скаляры" величины:

$dP^{(k)}= T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(k)} d^3 x$,

ибо теперь $k$ - это уже не "векторный индекс", а просто "номер поля Киллинга". Так? Соответственно, такое "оскаляривание" позволяет Вам спокойно складывать величины $dP^{(k)}$, определённые в разных точках, получая в итоге интегральную величину $P^{(k)}$? Кстати, а то, что в формуле для этого "скаляра" в индексе тензора стоит нулик, Вас не смущает?

Вот это я и называю плясками с бубном... Потому что в пространстве Минковского (а полный набор полей Киллинга редко где ещё имеется), определённые в разных точках векторы можно спокойно складывать без всякого оскаляривания - просто потому, что результат переноса здесь не зависит от пути.

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Не юродствуйте. Я Вас спросил: с чем сейчас взаимодействует МФИ? Что его поглощает/излучает так что находится с ним в термодинамическом равновесии? Вещество? Вряд ли. За 13 с лишним миллиардов лет вещество так и не пришло с МФИ в равновесие.

Не офтопствуйте. Напоминаю, что речь изначально была не о "сейчас", не о 13 миллиардах лет и вообще не о нашей Вселенной, а о некой заданной метрике с переменным масштабным фактором. И вопрос заключался в том, будет ли сохраняться энергия излучения, распространяющегося в таком пространстве-времени. А Вы почему-то в доказательство своей точки зрения стали приводить какие-то формулы Стефана-Больцмана, которые вообще не в тему.

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Реальные скорости - это те что Вы фиксируете приборами.

Какими именно приборами?

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

удаленный наблюдатель не имеет возможности непосредственного измерения пройденного расстояния и промежутка местного времени. Он измеряет видимое им "пройденное расстояние" и отсчитываемые его часами промежуток времени.

Что такое "видимое им пройденное расстояние"? И почему он должен отсчитывать промежуток времени по своим часам? Он что, обязан будет отсчитывать промежутки времени по своим часам даже если видит показания часов, расположенных непосредственно там, где пролетает объект? Какое вообще отношение имеют ЕГО часы к движению удалённого объекта?

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Ага, меня вводит в ступор Ваше пространственно распределённое тело отсчёта, которое еще к тому же колбасится по жизни похоже не слабо

А в чём проблема-то? Как Вы, например, можете рассматривать СО вращающейся карусели, не учитывая, что оная карусель - пространственно распределена?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #548790 писал(а):

Читайте у него вместо "тело" - "среда".

О, а вот и контроль "терминологической нравственности". Расслабьтесь, Munin, "тело отсчёта" (в том числе, в смысле пространственно протяжённого объекта) столь же легальный физический термин, как и "среда".

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

А по Вашему "доказательству"... Строго говоря, Вы похоже вообще успели забыть о чем мы здесь спорим уже который день. Где Вы взяли смысл у величины $\int\limits^{}_{V(t_1)} T^{i j} dV_j$? Так что Ваше "доказательство" ф топку.

Это Вы забыли о чём говорили, причём, похоже, сразу же как только сказали. Если Вы не видите смысла, то это не значит, что его нет. Вывод о сохранении этой величины - совершенно формально-математический, независимый ни от каких "смыслов".

[Paganel]

VladTK в сообщении #548844 писал(а):

Меня беспокоит вот этот переход от интервала Someone-а к Вашему. Вроде выполняется простое преобразование переменных $z \to z'$ с $z=1-3gz'$. Но интервал тогда должен иметь вид
$ds^2 = (1-3gz')^{-2/3}dt^2 - (1-3gz')^{4/3}(dx^2 + dy^2) - 9 g^2 dz'^{2}$
А у Вас почему-то при $dz'^{2}$ стоит 1...

Это потому, что по дороге я проглотил (умолчал) некоторые тривиальные изменения масштабов. Без таких умолчаний цепочка преобразований выглядит так. Сначала подстановкой $z = A-z'$ (сдвигом начала и обращением направления) решение Тауба записывается в виде
$ds^2 = (A-z')^{-2/3}dt^2 - (A-z')^{4/3}(dx^2 + dy^2) - {dz'}^2$.
Затем меняем масштабы на осях $t = A^{1/3}t'$, $x = A^{-2/3}x'$, $y = A^{-2/3}y'$ и приходим к форме, которую я выписал:
$ds^2 = (1-z'/A)^{-2/3}{dt'}^2 - (1-z'/A)^{4/3}({dx'}^2 + {dy'}^2) - {dz'}^2$.
Физсмысл параметра $A$ дается соотношением $1/A = 3g$, где $g$ - ускорение свободного падения в точке $z'=0$. Вот и вся хитрость.

Цитата:

Не понял, зачем "продолжать" решение? Пространство-время разбито плоскостью на две несвязные области $z>0$ и $z<0$. Интервал в каждой области задается выражением
$ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$.
Хотя когда-то epros писал, что между этими областями частицы могут запросто путешествовать, но мне что-то в это не верится.

Вы чего-то не поняли в конфигурации задачи. Гравитирующую плоскость я располагаю не при $z=0$, а при $z=A$. Поэтому свободное решение Тауба действует на участке $0<z<A$. В области $z>A$ (после гравиплоскости) его надо заменить другим - зеркально отраженным вокруг $z=A$ и продленным до $z=2A$. Другими словами, решение делается симметричным по $z'$, а не по $z$. Вводимый излом решения при $z'=0$ означает присутствие на изломе гравитирующих масс.

Продолжение в область $z<0$ (или в $z>2A$) исходно в задаче не требуется. Но вопрос о нём естественно возникает при рассмотрении поля вдали от гравитирующей плоскости. Я высказался, что область $|z'|>A$ выходит за горизонт, а точнее за границу мира. Вы возразили, что "это и не горизонт, и не граница мира, а просто моё преобразование координат не описывает все исходное пространство". В ответ я предложил вам указать координаты, описывающие большее пространство или хотя бы переходную область между $z>0$ и $z<0$. Иными словами - указать способ продолжения исходной метрики Тауба в область отрицательных $z$, где она становится комплексной и тем самым недопустимой в рамках ОТО. Сам я полагаю, что такого способа нет (фактически, и вы так считаете, судя по высказыванию о словах epros'а), а следовательно поверхность $z=0$ является не просто границей конкретной карты (горизонтом), а настоящей границей мира.

[epros]

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

$P^{(k)}=\int_{\Sigma} T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(k)} d^3 x$

Кстати, в плане "физического смысла" этой Вашей интегральной величины предлагаю Вам рассмотреть такую задачку:

Допустим, что в лабораторной ИСО (её координаты я буду обозначать с крышечками) с ускорением вдоль координаты $\hat{x}^1$ движется малая частица массы $m$. Формула её мировой линии:

$\hat{x}^1 = \sqrt{r^2 + (\hat{x}^0)^2}$, $x^2 = x^3 = 0$, где $r$ - некая константа.

Нетрудно убедиться, что энергия частицы меняется со временем по закону:

$\hat{E} = mc^2 \sqrt{1 + \left{(}\frac{\hat{x}^0}{r}\right{)}^2}$ (энергию поля, которое её тормозит/разгоняет, мы не рассматриваем).

Согласно Вашей формуле, это ни что иное, как $P^{(0)}$, т.е.:

$\hat{E} = P^{(0)} = \int\int\int T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(0)} d\hat{x}^1 d\hat{x}^2 d\hat{x}^3$.

В координатах лабораторной ИСО в силу того, что $\xi_{\nu}^{(0)} = \delta_{\nu}^0$, эта формула упрощается до:

$\hat{E} = \int\int\int T^{0 0} d\hat{x}^1 d\hat{x}^2 d\hat{x}^3$.

Но ведь в общем виде формула претендует на то, чтобы быть верной в любых координатах, включая неинерциальные СО, не так ли? А давайте выполним переход в такие координаты:

$\hat{x}^0 = x^1 \sh{\frac{x^0}{r}}$
$\hat{x}^1 = x^1 \ch{\frac{x^0}{r}}$
$\hat{x}^2 = x^2$
$\hat{x}^3 = x^3$

Нетрудно убедиться, что в этих координатах уравнение мировой линии частицы запишется так:

$x^1 = r$, $x^2 = x^3 = 0$, т.е. частица неподвижна, так что её энергию мы имеем полное основание считать константой: $E = mc^2$.

Суть понятна: В неинерциальной СО, разгоняющейся вместе с частицей, её энергия неизменна. Это эквивалентно ситуации с частицей в постоянном гравитационном поле, которая не падает потому, что мы её удерживаем на месте.

Попробуем однако Вашу формулу:

$P^{(0)} = \int\int\int T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(0)} dx^1 dx^2 dx^3$.

Теперь мы не можем заменить $\xi_{\nu}^{(0)}$ на $\delta_{\nu}^0$, ибо соответствующее поле Киллинга перестало быть константным. Однако сама-то величина $P^{(0)}$ - скаляр. Т.е. если она зависит от координаты времени лабораторной ИСО таким образом:

$P^{(0)} = mc^2 \sqrt{1 + \left{(}\frac{\hat{x}^0}{r}\right{)}^2}$,

значит, преобразовав её как скаляр в новые координаты, мы получим:

$P^{(0)} = mc^2 \sqrt{1 + \sh^2{\frac{x^0}{r}}} = mc^2 \ch{\frac{x^0}{r}}$.

Как-то странно, Вы не находите? Величина $P^{(0)}$ почему-то перестаёт соответствовать величине $E = mc^2$, которую мы имеем основание полагать за энергию частицы относительно ускоренной СО.

[Munin]

VladTK в сообщении #548844 писал(а):

Можно примеры? А то как-то не заметил.

Вот уж чего я не хотел в ближайшие годы - это снова открывать книжку Фока по ОТО. Мне и раньше хватило. Всё это там легко заметно в тех местах, где Фок пытается рассуждать о пределах применимости ОТО и её абстракций. Может, вы меня всё-таки избавите от этого неприятного копания?

epros в сообщении #548847 писал(а):

Расслабьтесь, Munin, "тело отсчёта" (в том числе, в смысле пространственно протяжённого объекта) столь же легальный физический термин, как и "среда".

Тело отсчёта - столь же легальный термин, как и среда, только значение у него другое. А в вашем значении используется слово "среда". Поскольку тело отсчёта подразумевается таким, которое может двигаться, вращаться как целое, но не испытывать других деформаций, и система координат им определяется на основании его движения и вращения, и часто - вне объёма этого тела вращения.

[schekn]

epros в сообщении #548505 писал(а):

schekn в сообщении #548320 писал(а):

Цитата:

Я Вам приводил пример метрики:
$ds^2 = (|z|+1)^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$
которая является решением уравнений ОТО для ТЭИ равного нулю повсюду, кроме плоскости $z=0$, в чём можно убедиться непосредственным вычислением.

Проверил Вашу метрику, $ds^2= (1+|z|)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ (6а) она действительно соответствует уравнениям Г-Э. в вакууме. Единственное осталось сомнения связанное с тем, что первая производная метрической компоненты ∂$g_0_0$/∂z терпит разрыв в z=0, но где это может сказаться, пока не знаю. Однако остались еще другие вопросы.
1.Если Вы в начале построения рассматриваете реальную метрику Минковского (на диаграмме Someone в координатах (cτ, ζ) ), то предположим материальная точка с координатами (0, ½) излучает свет, значит изотропная линия пересекает область D1. Получается, в новых координатах плоскость Z=0 будет с какого-то момента излучать свет? Или скажем, материальная точка покоится в координатах cτ=-2, ζ=-2, ее времениподобная ζ=-2 пересекает область D1 и уходит из области. Означает ли это, что в мире, описываемой Вашей метрикой (6а) может неожиданно возникнуть тело, а затем также неожиданно исчезнуть?
2. Относительно сильного принципа эквивалентности в таких однородных полях я опять буду аппелировать к статье Логунова-Мествиришвили УФН, 1996, т. 166, №1, http://ufn.ru/ru/articles/1996/1/d/
где подробно расписана подобная ситуация и ведется полемика с Гинзбургом. Там показано, что сильный принцип эквивалентности не работает и нужен был Эйнштейну только на первых порах создания теории. Кстати и Гинзбург и Логунов сошлись на мнении, что бесконечно однородных гравитационных полей не бывает , как и бесконечной равноускоренной системы. Поскольку Гинзбург с коллегами прервал дискуссию в одностороннем порядке, я ошибки у Логунова так и не вижу.

[Munin]

schekn в сообщении #549013 писал(а):

Там показано, что сильный принцип эквивалентности не работает

LOL

schekn в сообщении #549013 писал(а):

Кстати и Гинзбург и Логунов сошлись на мнении

LOL

Кстати, после смерти Гинзбурга, конечно, можно всякое говорить, но это грязно.

[VladTK]

epros в сообщении #548847 писал(а):

...Вспоминаем, что Вы таким образом обещали "оскалярить" сохраняющиеся величины. В итоге, что же мы "оскалярили"? Осмелюсь предположить, что Вы принимаете за "скаляры" величины:

$dP^{(k)}= T^{0 \nu} \xi_{\nu}^{(k)} d^3 x$,

ибо теперь $k$ - это уже не "векторный индекс", а просто "номер поля Киллинга". Так?

Не так!!!! Что я подразумевал под выражением "оскалярить" я уже написал http://dxdy.ru/posting.php?mode=quote&f=29&p=547869 , а Вы благополучно пропустили это мимо. И $k$ - это все-таки векторный индекс. Четыре величины $P^{(k)}$, как показано у Фока, образуют так называемый свободный 4-вектор.

epros в сообщении #548847 писал(а):

...Кстати, а то, что в формуле для этого "скаляра" в индексе тензора стоит нулик, Вас не смущает?

Ни капли. Если акуратно выполнить интегрирование дифференциального уравнения сохранения свертки тензора энергии-импульса с Киллинговым вектором, то можно доказать общековариантность данного определения 4-импульса.

epros в сообщении #548847 писал(а):

...Вот это я и называю плясками с бубном... Потому что в пространстве Минковского (а полный набор полей Киллинга редко где ещё имеется), определённые в разных точках векторы можно спокойно складывать без всякого оскаляривания - просто потому, что результат переноса здесь не зависит от пути.

Про редкость Киллинговых полей Вы правы и это проблема ОТО. А вот про суммирование векторов из разных точек в пространстве-времени Минковского нет. Как Вы проинтегрируете векторное поле в криволинейных координатах?

epros в сообщении #548847 писал(а):

Не офтопствуйте. Напоминаю, что речь изначально была не о "сейчас", не о 13 миллиардах лет и вообще не о нашей Вселенной, а о некой заданной метрике с переменным масштабным фактором. И вопрос заключался в том, будет ли сохраняться энергия излучения, распространяющегося в таком пространстве-времени. А Вы почему-то в доказательство своей точки зрения стали приводить какие-то формулы Стефана-Больцмана, которые вообще не в тему.

Равновесное излучение это не электромагнитное поле? Или его плотность энергии не описывается законом Стефана-Больцмана? Я вообще не понимаю, что Вам в этом примере не нравиться. Если не считать, конечно, что он показывает ошибочность Ваших взглядов на энергию-импульс в ОТО.

Ну хорошо, не нравиться этот пример - приведу еще более наглядный, который даже в ЛЛ-2 есть. Рассмотрим движущуюся частицу (или систему частиц) в той же плоской метрике ФРУ. С течением времени скорость этой частицы будет меняться. Конкретная формула дана в ЛЛ-2 (114.21) и (114.22). Откуда частица получает или куда отдает энергию при изменении масштабного фактора?

epros в сообщении #548847 писал(а):

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Реальные скорости - это те что Вы фиксируете приборами.

Какими именно приборами?

Какая разница?

epros в сообщении #548847 писал(а):

Что такое "видимое им пройденное расстояние"? И почему он должен отсчитывать промежуток времени по своим часам? Он что, обязан будет отсчитывать промежутки времени по своим часам даже если видит показания часов, расположенных непосредственно там, где пролетает объект? Какое вообще отношение имеют ЕГО часы к движению удалённого объекта?

По второму кругу пошли?

epros в сообщении #548847 писал(а):

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

Ага, меня вводит в ступор Ваше пространственно распределённое тело отсчёта, которое еще к тому же колбасится по жизни похоже не слабо

А в чём проблема-то? Как Вы, например, можете рассматривать СО вращающейся карусели, не учитывая, что оная карусель - пространственно распределена?

Ну приблизительно так, как это сделано в ЛЛ.

epros в сообщении #548847 писал(а):

VladTK в сообщении #548698 писал(а):

А по Вашему "доказательству"... Строго говоря, Вы похоже вообще успели забыть о чем мы здесь спорим уже который день. Где Вы взяли смысл у величины $\int\limits^{}_{V(t_1)} T^{i j} dV_j$? Так что Ваше "доказательство" ф топку.

Это Вы забыли о чём говорили, причём, похоже, сразу же как только сказали. Если Вы не видите смысла, то это не значит, что его нет. Вывод о сохранении этой величины - совершенно формально-математический, независимый ни от каких "смыслов".

Тут я с Вами почти согласен - Ваше определение свободно от любых смыслов :)

Paganel в сообщении #548922 писал(а):

VladTK в сообщении #548844 писал(а):

Меня беспокоит вот этот переход от интервала Someone-а к Вашему. Вроде выполняется простое преобразование переменных $z \to z'$ с $z=1-3gz'$. Но интервал тогда должен иметь вид
$ds^2 = (1-3gz')^{-2/3}dt^2 - (1-3gz')^{4/3}(dx^2 + dy^2) - 9 g^2 dz'^{2}$
А у Вас почему-то при $dz'^{2}$ стоит 1...

Это потому, что по дороге я проглотил (умолчал) некоторые тривиальные изменения масштабов. Без таких умолчаний цепочка преобразований выглядит так. Сначала подстановкой $z = A-z'$ (сдвигом начала и обращением направления) решение Тауба записывается в виде
$ds^2 = (A-z')^{-2/3}dt^2 - (A-z')^{4/3}(dx^2 + dy^2) - {dz'}^2$.
Затем меняем масштабы на осях $t = A^{1/3}t'$, $x = A^{-2/3}x'$, $y = A^{-2/3}y'$ и приходим к форме, которую я выписал:
$ds^2 = (1-z'/A)^{-2/3}{dt'}^2 - (1-z'/A)^{4/3}({dx'}^2 + {dy'}^2) - {dz'}^2$.
Физсмысл параметра $A$ дается соотношением $1/A = 3g$, где $g$ - ускорение свободного падения в точке $z'=0$. Вот и вся хитрость.

Цитата:

Не понял, зачем "продолжать" решение? Пространство-время разбито плоскостью на две несвязные области $z>0$ и $z<0$. Интервал в каждой области задается выражением
$ds^2 = z^{-2/3}dt^2 - z^{4/3}(dx^2 + dy^2) - dz^2$.
Хотя когда-то epros писал, что между этими областями частицы могут запросто путешествовать, но мне что-то в это не верится.

Вы чего-то не поняли в конфигурации задачи. Гравитирующую плоскость я располагаю не при $z=0$, а при $z=A$. Поэтому свободное решение Тауба действует на участке $0<z<A$. В области $z>A$ (после гравиплоскости) его надо заменить другим - зеркально отраженным вокруг $z=A$ и продленным до $z=2A$. Другими словами, решение делается симметричным по $z'$, а не по $z$. Вводимый излом решения при $z'=0$ означает присутствие на изломе гравитирующих масс.

Продолжение в область $z<0$ (или в $z>2A$) исходно в задаче не требуется. Но вопрос о нём естественно возникает при рассмотрении поля вдали от гравитирующей плоскости. Я высказался, что область $|z'|>A$ выходит за горизонт, а точнее за границу мира. Вы возразили, что "это и не горизонт, и не граница мира, а просто моё преобразование координат не описывает все исходное пространство". В ответ я предложил вам указать координаты, описывающие большее пространство или хотя бы переходную область между $z>0$ и $z<0$. Иными словами - указать способ продолжения исходной метрики Тауба в область отрицательных $z$, где она становится комплексной и тем самым недопустимой в рамках ОТО. Сам я полагаю, что такого способа нет (фактически, и вы так считаете, судя по высказыванию о словах epros'а), а следовательно поверхность $z=0$ является не просто границей конкретной карты (горизонтом), а настоящей границей мира.

Понятно. Спасибо. А с Ньютоновским пределом у этого решения не возникает проблем?

epros в сообщении #548933 писал(а):

...Однако сама-то величина $P^{(0)}$ - скаляр...

Нет. Это компонента 4-вектора. Чтобы корректно посчитать энергию требуется взять выражение для тензора энергии-импульса, Киллингова вектора в декартовых координатах, преобразовать их в ускоренную СО и выполнить интегрирование по объему. Думаю все сойдется. Я тут прикинул, выражения получаются довольно громоздкими...

Munin в сообщении #548982 писал(а):

Вот уж чего я не хотел в ближайшие годы - это снова открывать книжку Фока по ОТО. Мне и раньше хватило. Всё это там легко заметно в тех местах, где Фок пытается рассуждать о пределах применимости ОТО и её абстракций. Может, вы меня всё-таки избавите от этого неприятного копания?

Без проблем. Сам посмотрю, авось увижу :)

[Paganel]

VladTK в сообщении #549063 писал(а):

А с Ньютоновским пределом у этого решения не возникает проблем?

Откуда там взяться проблемам? $ds^2\approx (1+2g|z'|)dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz'^2$ отвечает ньютоновскому потенциалу $\varphi=g|z'|$ однородного (по каждую сторону плоскости $z'=0$) поля, создаваемого массами, равномерно расределенными по плоскости.