Разница между градиентом и дифференциалом

[wallflower]

Читаю учебник и запутался напрочь

Пусть $f:M\to N$ -- гладкое отображение многообразий, $\dim N=1$, $x\in M$. Я знаю, что такое дифференциал $d_x f:T_x M\to T_{f(x)} N$. А что такое градиент $\operatorname{grad}_x f$? Везде пишут по-разному. Моя попытка найти компромисс следующая (прошу исправить, если бред):

Так как $T_{f(x)} N\simeq \mathbb R$, то градиент -- это тот же дифференциал, только с изменённой областью прибытия. То есть градиент -- это функционал (= ковектор) из $(T_x M)^*$. Если у нас есть скалярное произведение, то мы можем найти ему соответствующий вектор $\vec g$ из $T_x M$ такой, что $\operatorname{grad}_x f(\vec h)=\vec g\cdot \vec h$. В декартовых координатах он будет иметь такие же координаты, как у градиента. Вот этот $g$ подразумевают в классических учебниках под градиентом, его поле рисуют на всяких картах и т.п.

[Munin]

По-моему, градиент и дифференциал - разные названия для одного и того же, исторически развивавшиеся разными путями, и только потом "сошедшиеся" в одной точке. Не надо слишком пытаться найти между ними различия. Ещё, они связаны с разными наглядно-интуитивными образами, и если изучать математику ниже какого-то уровня, могут показаться различными. Всё это тоже по историческимм причинам. Всё это делает подобную тему флеймогенерационной.

[bot]

Не, ну всё-таки дифференциал - это линейная функция, а градиент - вектор.

[ewert]

Кроме того, градиент имеет непосредственный геометрический смысл, а дифференциал сам по себе -- нет.

Кроме того, градиент -- это лишь очень частный случай дифференциала (если и далее позволять себе терминологические вольности).

Но по большому счёту это -- да, семечки.

[wallflower]

Munin
Различия есть. Например значения дифференциала (как отображения касательных пространств) и градиента (как ковектора) лежат в разных множествах, и только в частном случае отображений на одномерное многообразие их можно отождествить.

Просто в отличии от дифференциала (pushforward), который все определяют примерно одинаково, градиент определяют по-разному. Меня это глубоко нервирует, поэтому я хочу состыковать разные определения. Попытка в первом сообщении. Хочу, чтобы указали на ошибки, если они есть... короче, как сейчас в современной дифгеометрии смотрят на градиент.

(Оффтоп)

Помню даже в какой-то старой теме кому-то сделали замечание в острой форме, мол градиент это не вектор, иди учи матчасть.

[Munin]

bot в сообщении #547716 писал(а):

Не, ну всё-таки дифференциал - это линейная функция, а градиент - вектор.

Градиент - это ковектор, а вектором он становится только в пространствах со скалярным произведением. А ковектор - это та же линейная функция. Впрочем, как я уже говорил, это всё флеймогенерация, можете считать, как вам привычней.

ewert в сообщении #547725 писал(а):

Кроме того, градиент имеет непосредственный геометрический смысл, а дифференциал сам по себе -- нет.

Что такое "непосредственный", и почему геометрический смысл дифференциала (скажем, как вышеупомянутой линейной функции) им не является - тоже всё флеймогенерация.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #547747 писал(а):

тоже всё флеймогенерация.

Как и различие между инвариантностью или нет. Всё есть всё, и всё есть ничто, и наоборот, и наоборот -- Вы правы, спорить не берусь.

[Munin]

wallflower в сообщении #547740 писал(а):

Различия есть. Например значения дифференциала (как отображения касательных пространств) и градиента (как ковектора) лежат в разных множествах, и только в частном случае отображений на одномерное многообразие их можно отождествить.

В классических учебниках, на которые вы ссылаетесь, просто рассматривается простейший случай, когда функция под дифференциалом принимает значения в $\mathbb{R}.$ Если это не так, понятие градиента обобщается, либо просто перестают таскать за собой термин "градиент", и оставляют только "дифференциал" или "производная". Например, если функция под дифференциалом - тензор, о её градиенте говорят, подразумевая тензор коранга +1.

-- 12.03.2012 19:09:06 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #547753 писал(а):

Как и различие между инвариантностью или нет.

Ну не надо, там epros просто неправ...

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #547756 писал(а):

подразумевая тензор коранга +1.

Подразумевать можно что угодно. Тем не менее: дифференциал -- это именно функция. Ковектор же -- лишь метка, которая эту функцию помечает.

Да, я знаю, я в курсе, что физикам это всё пофиг. Им всё равно, какие слова произносить, и безразлично, имеют ли эти слова смысл. Вы меня почти в этом убедили. Почти, поскольку я знаком всё-таки с некоторыми физиками. Ну ничего: я завтра с ними или раззнакомлюсь, или уговорю из впреди не произносить ничего внятного.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #547761 писал(а):

Тем не менее: дифференциал -- это именно функция. Ковектор же -- лишь метка, которая эту функцию помечает.

Ковектор - тоже функция. Линейная. Или, не имеет с ней никаких различий. Погенерируем ещё?

ewert в сообщении #547761 писал(а):

Да, я знаю, я в курсе, что физикам это всё пофиг.

Я почему-то думал, что это математикам всё пофиг, как только между двумя объектами установлен изоморфизм. Как между пространством линейных однородных функций от вектора, и сопряжённым линейным пространством. По крайней мере, встречал я такое у математиков неоднократно.

Физикам, конечно, иногда пофиг тонкости и детали, если они работают в той части объекта, где эти тонкости не влияют на результат. Но здесь даже об этом речи не идёт, имеет место строгий изоморфизм, и никаких гвоздей.

[bot]

Munin в сообщении #547767 писал(а):

Но здесь даже об этом речи не идёт, имеет место строгий изоморфизм, и никаких гвоздей.

Мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел, но гвозди разница всё же имеется.

[wallflower]

(Оффтоп)

bot в сообщении #547783 писал(а):

Мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел, но гвозди разница всё же имеется.

Когда появляется разница, тогда пропадает изоморфизм, ибо мы попадаем уже в другую категорию. В категории групп нет способа отличить $(\mathbb R_{+},\times)$ и $(\mathbb R,+)$.

[Munin]

bot в сообщении #547783 писал(а):

Мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел, но гвозди разница всё же имеется.

Это вам просто кажется из-за контекста: вы привыкли воспринимать положительные действительные числа как часть всех, а сложение и умножение - как конкретные операции с цифрами, а не как чисто групповую структуру. На самом деле разницы нет. Группа одна и та же. И она ещё много других обличий принимать может, оставаясь одной и той же.

Есть ещё педанты, которые ждут, чтобы было произнесено словосочетание "с точностью до изоморфизма", а без него считают объекты разными. Но произносить это словосочетание вслух - устарело уже даже в учебниках.

[Quasus]

Меня учили следующим образом: в каждой точке дифференциал гладкого отображения есть 1-форма (ковектор). А градиент определяется в случае риманова многообразия и является вектором, «физически эквивалентным» дифференциалу, то есть применение к вектору дифференциала эквивалентно скалярному умножению (по первой фундаментальной форме) на градиент.

[Munin]

У меня вопрос: а оно для чего-то надо, их различать? Мы и так знаем, что каждому ковектору, при наличии скалярного умножения, соответствует взаимно однозначно вектор. А при отсутствии - не соответствует.