нить на катушке

[anik]

obar в сообщении #544450 писал(а):

Оторвется сразу, как начнется вращение. Появится горизонтальная компонента скорости, сместится центр масс, изменится распределение скоростей вдоль нити и т.д.

...распадётся связь времён, перестанут сходиться концы с концами и вообще наступит апокалипсис.
1. Откуда оторвётся нить?
2. Откуда появится "горизонтальная компонента скорости"?
Центробежные силы будут. Даже если нить распадётся на крошки (точки), то эти точки будут двигаться по касательным к окружности катушки. Нить сматывается с катушки вертикально вниз, по касательной. Центробежная сила не будет отклонять нить от вертикали, по которой она движется.

-- Пт мар 02, 2012 10:04:37 --

obar в сообщении #544450 писал(а):

Даже если в начальный момент катушка будет сбалансирована, то при разматывании нити все нарушится.

При разматывании нити сбалансированность катушки не нарушается.

[anik]

Потенциальная энергия нити.
Пусть вся нить намотана на катушку, тогда ц.м. нити находится на оси катушки.(Здесь мы пренебрегаем "довеском" нити от нецелого числа витков. Также, пренебрегаем небалансом катушки от незамкнутого последнего витка.)
Пусть за время $t$ с катушки смоталось $x$ нити. Ц.м.смотанной нити расположен на расстоянии $x/2$ от оси катушки. Потенциальная энергия катушки уменьшилась на величину $\rho gx/2$. Эта потенциальная энергия перешла в кинетическую энергию вращения катушки, с оставшейся на ней частью нити, и кинетическую энергию движения свисающей части нити.
Найдём кинетическую энергию катушки $T_K$.
$T_K=1/2J_K\omega^2$.
Найдём кинетическую энергию нити $T_N$
$T_N=1/2\rho xv^2$, Где $v$ - линейная скорость движения нити. Итого, имеем:

$$\rho gx=J_k\omega^2+\rho xv^2\eqno(1)$$

Подставим в (1) значения $v=\omega R$, и $J_K=J+\rho(l-x)R^2$, получим:

$$\rho gx=[J+\rho (l-x)R^2]\omega^2+\rho x\omega^2R^2\eqno(2)$$

Сюда можно подставить $x=\varphi R$, и $\omega=\dot\varphi$.
Получим:

$$\rho g\varphi R=[J+\rho (l-\varphi R)R^2]\dot\varphi^2+\rho \varphi R\dot\varphi^2R^2\eqno(3)$$

Возможно, где ошибся, тщательно не проверял.

[obar]

anik в сообщении #544456 писал(а):

...распадётся связь времён, перестанут сходиться концы с концами и вообще наступит апокалипсис.

Вначале разберитесь, а потом пишите. Возможно это предотвратит написание глупости.

anik в сообщении #544456 писал(а):

При разматывании нити сбалансированность катушки не нарушается.

Нарушится. Рассмотрите простой случай, когда на катушку изначально намотано целое число витков. Тогда катушка сбалансирована без всяких довесков. Но стоит катушку повернуть и освободившаяся от нити часть ничем уже не уравновешена.

anik в сообщении #544474 писал(а):

Потенциальная энергия катушки уменьшилась на величину $\rho gx/2$.

Проверьте размерность. Если исправить ошибки и учесть начальные условия, то ваше уравнение (3) совпадет с тем, что я писал в самом начале.

[Omega]

Решая,имел в виду, что приращение кинетической энергии верёвки плюс приращение кинетической энергии катушки плюс изменение потенциальной энергии верёвки равно работе силы тяжести над свисающим куском.Вообще у меня получилось также как и у obar-а:
$(\frac{x''}{R})^{2}(I+mR^{2})=\frac{mg(x^{2}+2xx_{0})}{l};x(0)=0;x''=x \omega^{2}$ и далее...
Сомнения остались проверю ещё раз....

[anik]

obar в сообщении #544478 писал(а):

anik в сообщении #544456 писал(а):

При разматывании нити сбалансированность катушки не нарушается.

Нарушится. Рассмотрите простой случай, когда на катушку изначально намотано целое число витков. Тогда катушка сбалансирована без всяких довесков. Но стоит катушку повернуть и освободившаяся от нити часть ничем уже не уравновешена.

Вопрос не так прост, как кажется на первый взгляд. Небаланс, как таковой, вызывает последняя часть витка. Этот небаланс вызывает неравномерность вращения и создаёт динамические нагрузки на опоры оси. Его можно устранить добавив или убрав часть массы с катушки.
"Небаланс" возникающий от сматывающейся части нити не вращается вокруг оси, а стоит на одном и том же месте, а именно там, где нить отделяется от катушки. Этот, с позволения сказать "небаланс", и вызывает вращающий момент, приводящий к угловому ускорению катушки. Он не приводит к биениям, каковы могли бы возникнуть от статической несбалансированности катушки.

-- Пт мар 02, 2012 13:52:27 --

obar в сообщении #544478 писал(а):

anik в сообщении #544474 писал(а):

Потенциальная энергия катушки уменьшилась на величину $\rho gx/2$.

Проверьте размерность. Если исправить ошибки и учесть начальные условия, то ваше уравнение (3) совпадет с тем, что я писал в самом начале.

Вы правы. Я здесь ошибся. Массу свисающей части $\rho gx$ нужно умножить на $1/2x$, получится: $\rho gx^2/2$.
Спасибо за подсказку!

[ewert]

obar в сообщении #544450 писал(а):

Оторвется сразу, как начнется вращение.

Участок нити в предполагаемой точке отрыва прижимается к катушке силой натяжения, которая вовсе не мала. А центробежная сила поначалу -- мала, так что поначалу отрыва не произойдёт. Потом, когда разгонится -- может и оторваться.

obar в сообщении #544450 писал(а):

Даже если в начальный момент катушка будет сбалансирована, то при разматывании нити все нарушится.

Момент сил, вызываемый разматыванием, меняется по синусоиде. И момент, возникающий из-за смещения центра масс самой катушки -- тоже по синусоиде. Так что забив подходящий гвоздик в подходящее место, вполне можно всё сбалансировать. Только вот формулировать задачу таким образом нельзя -- совсем уж занудство выйдет.

[anik]

ewert в сообщении #544490 писал(а):

Момент сил, вызываемый разматыванием, меняется по синусоиде.

Это не так!

-- Пт мар 02, 2012 14:11:29 --

ewert в сообщении #544490 писал(а):

Потом, когда разгонится -- может и оторваться.

Это тоже не так!

[ewert]

anik в сообщении #544491 писал(а):

Это не так!

Посчитайте.

anik в сообщении #544491 писал(а):

Это тоже не так!

Рассмотрите предельный случай невесомой катушки и тяжёлой нити.

[anik]

ewert в сообщении #544490 писал(а):

Момент сил, вызываемый разматыванием, меняется по синусоиде

Вы здесь читали:

anik в сообщении #544484 писал(а):

Вопрос не так прост, как кажется на первый взгляд. Небаланс, как таковой, вызывает последняя часть витка. Этот небаланс вызывает неравномерность вращения и создаёт динамические нагрузки на опоры оси. Его можно устранить добавив или убрав часть массы с катушки.
"Небаланс" возникающий от сматывающейся части нити не вращается вокруг оси, а стоит на одном и том же месте, а именно там, где нить отделяется от катушки. Этот, с позволения сказать "небаланс", и вызывает вращающий момент, приводящий к угловому ускорению катушки. Он не приводит к биениям, каковы могли бы возникнуть от статической несбалансированности катушки.

Почему "момент силы вызываемый разматыванием" должен меняться по синусоиде?

[obar]

ewert в сообщении #544490 писал(а):

А центробежная сила поначалу -- мала, так что поначалу отрыва не произойдёт. Потом, когда разгонится -- может и оторваться.

Малость силы здесь роли не играет. Главное то, что эти силы не коллинеарны и значит компенсировать друг друга не могут.

ewert в сообщении #544490 писал(а):

Так что забив подходящий гвоздик в подходящее место, вполне можно всё сбалансировать.

Попробую переубедить вас вашими же формулами. Пусть в начальный момент намотка нити имеет целое число витков. В каком месте катушки нужно забить гвоздик для ее сбалансирования? Думаю, вы ответите "ни в каком, т.к. катушка уже сбалансирована и любой гвоздик нарушит этот баланс". Если так, то положите в вашей формуле $l-x_0=2\pi Rn$ и посмотрите, уйдут ли косинусы из левой части.

[ewert]

obar в сообщении #544498 писал(а):

Пусть в начальный момент намотка нити имеет целое число витков. В каком месте катушки нужно забить гвоздик для ее сбалансирования?

В верхушке.

obar в сообщении #544498 писал(а):

эти силы не коллинеарны и значит компенсировать друг друга не могут.

При чём тут коллинеарность? Участок нити не отрывается от поверхности из-за баланса сил: две силы натяжения и сила реакции катушки. Эти три силы должны придавать участку тангенциальное и нормальное ускорения. Отрыв произойдёт при слишком большом нормальном ускорении -- настолько большом, что для его обеспечения потребовалась бы отрицательная сила реакции. Т.е. при достаточно большой скорости и достаточно малом радиусе, вот и всё.

anik в сообщении #544496 писал(а):

Почему "момент силы вызываемый разматыванием" должен меняться по синусоиде?

Посчитайте. Там совсем простенький интегральчик.

[anik]

ewert в сообщении #544503 писал(а):

anik в сообщении #544496 писал(а):

Почему "момент силы вызываемый разматыванием" должен меняться по синусоиде

Посчитайте. Там совсем простенький интегральчик.

А откуда этот простенький интегральчик взялся? Я могу искусственно вставить интегральчик, который даёт циклоиду, и буду говорить: "Посчитайте. Там совсем простенький интегральчик".

-- Пт мар 02, 2012 15:30:23 --

ewert в сообщении #544503 писал(а):

obar в сообщении #544498 писал(а):

Пусть в начальный момент намотка нити имеет целое число витков. В каком месте катушки нужно забить гвоздик для ее сбалансирования?

В верхушке.

Здесь я с Вами согласен. И уж коли мы сбалансировали катушку, то никаких синусов и синусоид не будет!

[obar]

ewert, убедили, я ошибался.

[ewert]

anik в сообщении #544506 писал(а):

А откуда этот простенький интегральчик взялся?

$$M=\int\limits_0^{\frac{l-x}R}g\frac ml\cdot R\,d\theta\cdot R\cos\theta$$

[anik]

ewert в сообщении #544512 писал(а):

anik в сообщении #544506 писал(а):

А откуда этот простенький интегральчик взялся?

$$M=\int\limits_0^{\frac{l-x}R}g\frac ml\cdot R\,d\theta\cdot R\cos\theta$$

Прелестно! Вы этот интеграл сами придумали или взяли откуда-то?